参证材料--有关群的相关问题探究.doc

有关群的相关问题探究 摘 要 群论是代数学的重要组成部分，群作为一个非常重要的研究对象，其应用已经发展到各个学科领域，本文对群的相关基本概念和性质进行了探究首先介绍了群的由来和发现；然后给出群的几个等价定义及其证明，并且对子群、正规子群、共轭、子群、同态和同构等重要概念及相关性质进行了探讨；最后对交换群、循环群、变换群、二面体群和四元数群等几类特殊的群的构造和相关性质进行了探讨关键词：群；子群；正规子群；Sylow子群；二面体群； 四元数群.Abstract The group theroy is an important part of algebra. As a very important research subject, the applications of groups has been developed to various disciplines. In this paper, the related concepts and properties of the group are discussed. Firstly, the origin and discovery of groups are introduced. Secondly, the several equivalent definitions and proofs of the group are given, and then some important concepts and properties of the group are discussed , such as subgroups, normal subgroups, conjugate, sylow subgroups, homomorphics and isomorphics, and so on. Finally, the structures and properties of the abelian groups, cyclic groups, transformation groups, Dihedral group and Quaternion group are analyzed.Keywords: group; subgroup ; normal subgroup; Sylow subgroup; Dihedral group; Quaternion group目 录第一章 群的由来和发现1第二章 群的基本概念32.1 群的定义3 2.1.1群的等价定义及其证明3 2.1.2群的阶及元素的阶72.2 子群92.3 正规子群102.4 共轭122.5 同态与同构122.6 子群13第3章 几类特殊的群143.1 交换群143.2 循环群153.3 变换群和置换群163.4 线性群183.5 二面体群193.6 四元数群193.7 欧式空间的正交变换群20参考文献22谢辞. 23 代数学是数学的一部分，而群论又是近世代数的重要研究对象，群是现代代数最基本和最重要的概念之一数是数学研究的基本对象，数的基本运算与各种性质组成一个代数系统，因此群论的研究就变得非常有意义.对于群的概念，虽然定义很简单，但只有真正理解了才能深刻体会到探究群的意义及其重要性.群已经渗透到了各个数学学科分支，群与数、高等代数、线性方程、几何等都有联系与应用，甚至与物理中的运动群，晶体群，量子力学都有应用研究，群论已经成为了研究对称性的有力工具第1章 群的由来与发现 群的发现追溯于19世纪代数中高次方程求解的问题，群概念的发现时代数学的一个新突破由于代数对象出现扩张，导致群的发现，除了伽罗瓦的有限置换群，克莱因的无限置换群，还有离散的群、无限群、连续群随着研究的逐步深入，数学家们慢慢认识到代数系统中的元素有代数运算及其规则，于是得出了群的普遍概念 关于群的概念是有法国数学家伽罗瓦首先提出来的，当时是为了解决代数高次方程根式解的问题，形如的代数方程其最初的萌芽是由猜测的提出与论证所产生出来的，拉格朗日第一个明确宣布“不可能用根式解四次以上的方程”，但是从中看出方程的根与置换的关系，第一个提出了预解式的概念以一元二次方程为例:二次方程 的求根公式显然，则称的预解式，结合韦达定理得出：所以得出 拉格朗日还研究出三次方程和四次方程的预解式，但当解决五次方程时，他发现这种方法行不通了，于是当时的数学家就怀疑有可能是五次以上的代数方程根本不存在根式求解1在预解式的研究中，拉格朗日第一次正确地指出方程的根的排列与置换的理论，也是解五次以上代数方程的关键所在后来挪威数学家阿贝尔证明了对于一般的五次方程和五次以上的方程根式解不可能后来法国数学家伽罗瓦就解决这样一个问题：什么样的特殊方程能够用根式来求解? 于是就在他的论文中，建立了判别方程根式可解的充分必要条件. 伽罗瓦证明了方程根式解的充分必要条件是方程的群为可解群. 其思想是将一个次方程的个根作成一个整体，将它们进行排列，也就是进行置换这些置换的全体构成的集合，并且其中任意两个置换的乘积在这个集合内，伽罗瓦称为“群”，即方程的置换群，称之为“伽罗瓦群”，其中伽罗瓦提出的群的概念并不是现在我们所说的抽象的群概念，而是置换群的概念2这是数学史上最早的“群”的定义伽罗瓦就是根据他所提出的群的概念来解决方程根式可解性问题的，伽罗瓦证明，当且仅当方程的群满足一定的条件，即方程的群是可解群，方程才是根式可解的2伽罗瓦群刻画了方程的根的对称性，一直到现在群都是作为研究对称性的有力工具伽罗瓦的工作是代数学的新开端，最重要的是群的概念的引进导致了代数学在对象、内容、方法上的深刻变革 到19世纪后半叶，数学家们又认识到，“群”可以是一个更加普遍的概念，而不仅仅限于置换群2从拉格朗日建立置换概念，伽罗瓦成功地运用群的性质解决方程根式解问题起，群概念作为一种思想与基本工具，已逐步成为数学研究的一种常用手段与方法3伽罗瓦提出群概念后，英国数学家凯莱就意识到群的一般性，于1949年引入“抽象群”的概念，他指出矩阵在乘法下、四元数在加法下都可构成群，于是具体群的研究有了较深入广泛的发展凯莱之后，德国数学家戴德金又一个给出了抽象群定义，他由置换群出发引导出有限群的抽象定义，还给出了抽象的有限交换群的定义1870年，数学家克隆尼克类似凯莱抽象群概念给出了相当于有限群的抽象定义他规定了抽象的元素和抽象的运算，说明运算具有封闭性、结合性和交换性以及一元素的逆元存在且唯一1其中一位法国数学家若尔当给出了许多重要的抽象代数的概念，比如：商群、同构、同态、群等，他还在物理学家布拉维斯关于运动群的理论的启发下开展了无限群的系统的研究3这有影响了克莱因对无限变换群的研究，以及挪威数学家李又研究了无限连续变换群，也就是李群的研究 19世纪末，数学家们已经对各类不同的群的研究有了一定的积累，已基本认清了群的本质，群作为整体它是具有某种联系的元素的一个集合，我们无需认识这些元素是什么，也无需知道具体是哪一种联系，只需明确这些元素间的联系具备怎样的基本规则，于是就形成了抽象群的概念3经过抽象定义的群，群是一个这样的集合，带有一个运算，即乘法运算，满足封闭性与结合律，即集合中的任意两个元素运算后仍在这个集合内，且在这个集合内有单位元与逆元的存在也就是公认的定义的群:一个非空集合对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，这种运算满足:1、 封闭性，即都有;2、 结合性，即都有;3、 存在单位元，使都有;4、 对于，存在唯一的逆元，使得第二章 群的基本概念2.1 群的定义2.1.1 群的等价定义及其证明对于群的定义有很多个，下面就给出群的几个等价定义及其证明 定义2.1.1.1 (群的第一定义) 设一个非空集合定义了一个叫做乘法的代数运算，且满足: (1)乘法封闭，即都有; (2)结合律成立，即都有; (3)，方程和在里都有解，则称对于这个乘法的代数运算作成一个群 定义2.1.1.2 (群的第二定义) 设一个非空集合定义了一个叫做乘法的代数运算，且满足: (1)乘法封闭，即都有; (2)结合律成立，即都有; (3)在中至少存在一个左单位元，使得都有; (4)中的每一个元至少都存在一个左逆元，使得,则称对于这个乘法的代数运算作成一个群 定义2.1.1.3 (群的第三定义) 设一个非空集合定义了一个叫做乘法的代数运算，且满足: (1)乘法封闭，即都有; (2)结合律成立，即都有; (3)在中至少存在一个右单位元，使得都有; (4)中的每一个元至少都存在一个右逆元，使得,则称对于这个乘法的代数运算作成一个群 定义2.1.1.4 (群的第四定义)4 设一个非空集合定义了一个叫做乘法的代数运算，且满足: (1)乘法封闭，即，都有; (2)结合律成立，即，都有; (3)在中至少存在一个单位元，使得，都有; (4)中的每一个元至少都存在一个逆元，使得,则称对于这个乘法的代数运算作成一个群 命题2.1.1.1 群的上述四个定义是相互等价的.证明: 1) 第一定义与第四定义等价.首先证明第一定义可以推导出第四定义. 由第一定义知第四定义中(1)，(2)成立.现在来证明第四定义中(3)，(4)成立.事实上，设，由第一定义中(3)知方程有解，设其解，即方程成立可以证明为中的单位元.事实上，由第一定义中(3)知方程在中有解，设其解为，即,于是 . 又由第一定义中(3)知方程在中有解，设其解为，即，于是 .从而 ，故.即都有.即中存在单位元，第四定义中(3)成立 下证中有逆元由第一定义中(3)知方程与在中有解，设其解为，即 .从而 于是，即第四定义中(4)成立5 再证第四定义可以推导出第一定义.对第四定义中(4)知存在，使得.设，且，则 .所以.即在中有解.同理可证在中有解.故第一定义等价于第四定义. 2) 证明第一定义与第二定义等价.由第一定义中(3)知方程在中有解，设解，则 ，.又因为在中有解，设解为，有.从而 ,即在中至少存在一个左单位元，使得对任一,都有得证 现来证有左逆元存在由第一定义中(3)知方程有解，解为.即.从而第一定义等价于第二定义 3) 证明第二定义等价第三定义.首先证明左单位元也是右单位元.设是群的左单位元，,有，使,从而 即左单位元也是右单位元6下证群中元素的左逆元也是的右逆元.根据第二定义中(4)有.设，于是 .从而,即左逆元等于右逆元7故第二定义等价与第三定义 4) 证明第三定义与第四定义等价. 因为已证明第一定义等价第四定义，第一定义等价第二定义，第二定义等价第三定义，所以显然第三定义等价第四定义 因此，群的四个定义都相互等价 例2.1.1.1 设是全体整数的集合，则对于普通加法来说作成一个群 解:(1)两个整数相加还是一个整数，满足封闭性 (2)整数，满足结合性 (3)整数时，都有整数解例2.1.1.2 设，则对于运算来说作成一个群 解:(1)，任意两个数相乘仍在内，满足封闭性 (2)， ， ， ， ， ， ， ，所以，满足结合律 (3)，方程在都有解 例2.1.1.3 集合在数的普通加法之下做成一个群. 例2.1.1.4 所有正有理数的集合在数的乘法之下作成一个群. 例2.1.1.5 全体阶可逆矩阵作成一个群 定理2.1.1.1 设是一个群，则 (1)中的单位元存在且唯一. (2)中的任意元素的逆元存在且唯一. (3)中满足消去律. 证明:(1)先证存在性，前面在证第一定义等价第四定义时，已经证明了存在单位元,即单位元存在已证明现再证唯一性，设和是群的单位元，则有,因此, 唯一性得证(2) 存在性已证.现证唯一性，设都是群中的的逆元，则有 因此.唯一性得证 (3)设，同时在等式的两边左乘，于是 , .因为,所以.同理，由，同时在等式的两边右乘，于是有 ,.因为 ,所以 . 2.1.2 群的阶及元素的阶 如果一个群的元素的个数是一个有限整数的话，那么这个群就叫做有限群如果不是，那么就叫做无限群 定义2.1.2.1(有限群的另一定义) 一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足: （1）封闭性，即都有; （2）结合性，即都有; （3）消去律，若，那么; 若，那么, 定义2.1.2.2 若一个有限群的元的个数为，则叫做这个群的阶，记为.无限群的阶称为无限，大于任意的正整数 定义2.1.2.38 设是群的一个元，若存在使的最小正整数，就把叫做的阶；若不存在这样的，即对于任意正整数，都有，则称的阶无限元素的阶常用表示 性质2.1.2.1 一个有限群的每一个元的阶是有限的证明:设,且.则 从而存在正整数，使得，于是有，即.故存在正整数使得成立.因此，一定存在最小的正整数，使得成立，即的阶有限 性质2.1.2.2 在一个有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数证明:设是一个有限群.对任一，且,有, 设正整数，同样可得，这与矛盾因为得出，所以 .这与矛盾，这样，就有和两个元不同的阶大于2. 设任一，且，同样，由，可得. 所以，除和外，还有一对不同的阶大于2的元和因此在一个有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数 性质2.1.2.37 设群中元素的阶是，则. 证明:设，并令，因此可得 ,因为，所以得出.又，所以.反之，设，且令，则.由此可知，且若,则. 性质2.1.2.4 设是一个有限群，则 证明:设是有限群的一个阶元素，则是的一个阶子群，易知整除群的阶，即.2.2 子群 定义2.2.1 群的一个子集叫做的一个子群，如果它对于群的运算也构成一个群 例2.2.1 是一个群， ，. 例2.2.2 正有理数乘群是非零有理数乘群的一个子群，正实数乘群又是非零实数乘群的子群 定理2.2.17 群的一个非空子集作成子群的充要条件是: (1); (2). 证明:1) 封闭性，由(1)知运算封闭因为，所以的代数运算也就是的代数运算，所以有成立; 2)结合律，因为满足结合律，所以也满足结合律; 3)在中至少有一个元，由(2)，总也有元，由(1)，所以有; 4)对，有，使得，所以是的子群 定理2.2.27 群的非空子集作成子群的充要条件是：.证明:设，若，由定理2.2.1中(1)，知，从而.若.特别地，取，则;取，则.于是有(2)成立若，有，所以成立 定理2.2.37 群的一个非空有限子集作成子群的充要条件是:. 证明: 1)代数运算封闭; 2)中的运算满足结合律，因此中的运算也满足结合律; 3)中的运算满足消去律，因此中的运算也满足消去律,所以，. 例2.2.1 设是一个群，并且 ,容易证明，称为的中心 性质2.2.1 设是群，,则 证明:设，且.令单位元，那么，则.对，有，,由，得.因此，群的两个子群的交是群的子群性质2.2.2(拉格朗日定理) 设是有限群的一个子群,如果,并且,那么.证明:因为是有限整数,也是有限整数,所以也是有限整数.由可知在被分成个左陪集或右陪集,其中的左陪集分解为 ,则,所以,即.2.3 正规子群 定义2.3.17 设是群的一个子群，.则称群的子集为关于子群的一个左陪集.而称为群关于子群的一个右陪集.我们得出了陪集的定义，陪集还有一些重要的性质. 1); 2); 3); 4)，都在左陪集的; 5)若，则; 6)一个子群的右陪集的个数与左陪集的个数相等，它们要么都是无限大，要么都是有限且相等; 7)一个子群与的每一个左陪集之间都存在一个一一映射的关系7 定义2.3.27 一个群的一个子群叫做一个正规子群，假如对于的每一个元都有 ，即，则称是的一个正规子群，记为. 设，又，那么显然也是的一个正规子群群的平凡子群与，都是 的正规子群，并且称其为群的平凡正规子群 定理2.3.14 群的一个子群是一个正规子群的充分必要条件是：对. 定理2.3.24 群的一个子群是一个正规子群的充分必要条件是: 注7:正规子群的正规子群不一定是原来那个群的正规子群 群的一个正规子群的全体陪集所作成的一个群，就叫做关于的商群，用符号来表示.这是商群的定义. 例2.3.1 设是一个群，则. 性质2.3.1 设是群，,则 证明:设是的两个正规子群，且,则对任一，任一,所以.又，所以，由，得，.所以,是群的正规子群 性质2.3.2 群的一个正规子群与一个子群的乘积是一个子群;两个正规子群的乘积仍然是一个正规子群2.4 共轭定义2.4.19 设是群，我们规定，并称为在之下的共轭变形对于的子群或子集，我们同样规定，也叫做在下的共轭变形共轭变形运算满足以下几条: (1)； (2)； (3)如果存在元素，使得，则称群的元素在中共轭.如果存在元素，使得，则称群的子群或子集在中共轭. 性质2.4.1 共轭关系都是等价关系.设是一个群，根据群的所有元素的共轭关系可以分成多个互不相交的等价类(共轭类)，且，其中的类方程为，为的类数，共轭类包含的个数叫的长度. 性质2.4.29 设是一个群，是的一个子集，若，则称元素正规化，而称中所有正规化的元素的集合为在中的正规化子. 性质2.4.39 若元素对所有都恒有，则称元素中心化，而称中所有中心化的元素的集合为在中的中心化子. 其中规定为群的中心.2.5 群的同态与同构 设与是两个群，若到的映射保持运算，即 则称为群到群的一个同态映射若为满射是，则称群与群同态，用来表示;若为一一映射时，则为群到群的一个同构映射，这时称群与群同构，用来表示 定理2.5.14 如果群与对于一个乘法的代数运算来说同态，那么也是一个群 定理2.5.24 设与是两个群，则在到的一个同态满射之下，的单位元的象是的单位元，的元的逆元的象是的象的逆元;子群的象是子群，正规子群的象还是正规子群 定理2.5.3 群到群的同态映射是单射的充分必要条件是，群的单位元的逆象只有. 定理2.5.4(同态基本定理) 假设与是两个群，且群与群同态，那么这个同态满射的核，是的一个正规子群，且. 定理2.5.5(第一同构定理) 设，且，则，且. 定理2.5.6(第二同构定理) 设，则，且9.2.6 子群 我们都知道拉格朗日定理，若是有限群，是的子群，则是的因子但是若果反过来呢？若，那中是不是一定存在阶子群呢? 定义2.6.1 设是一个有限群，并且，其中是质数，是非负整数，且不整除，则称的阶子群为的一个子群.有时也简称子群. 定理2.6.1(引理) 10 任一群具有非平凡的中心. 定理2.6.2(定理) 设是有限群，其中为素数， 1)设，则中必存在阶子群，叫的子群; 2)中的任意两个子群都在中共轭，即所有子群 相互共轭; 3)若中的子群的个数有个，则; 4)中的任意一个群包含于一个子群.第三章 几类特殊的群3.1 交换群(群) 设是一个群，若都满足，则称为群(交换群)群是具有交换律的群. 定理3.1.1 若群的每个元都满足方程，那么是交换群 证明: (方法一)因为，可得出.，,有 ，即 所以是交换群(方法二)对，由，得，又，有 ，成立.对，有，故有 因此, 即是交换群 定理3.1.27 设是一个交换群，中的所有元素有最大阶. 则中每个元素的阶都是的因数，从而群中的每个元素都满足方程. 定理3.1.311 设是一个群，则是交换群当且仅当映射，其中是的一个自同构. 定理3.1.4 设是的正规子群，那么 是交换群的充分必要条件是. 定理3.1.512 设是交换群，则是中的元素，它们的阶分别为，如果互素，那么的阶数为. 性质3.1.1 交换群的子群仍是交换群. 性质3.1.2 交换群的任意两个子群的乘积必定为子群. 例3.1.113 (1)任何一个数域在加法运算下作成一个交换群. (2)全体整数集合在加法运算下作成的交换群，叫整数加法群. 例3.1.2 设是全体次单位根对普通乘法作成的群，即次单位根群.令，则由于一个次单位根与一个次单位根的乘积必是一个次单位根，所以对于普通乘法作成一个交换群.3.2 循环群 设是群，是的子集，则称的所有包含的子群的交为由生成的子群，记作，如果，我们称是的一个生成系，仅由一个元素生成的群叫做循环群. 定理3.2.1 阶群是循环群的充分必要条件是中有阶元证明: 必要性: ，知中有阶元，至少.充分性: 对，则 其中中有个互不相同的元，得.所以，阶群是循环群的充分必要条件是中有阶元 定理3.2.2 循环群的子群仍为循环群 证明:设是循环群的任一子群若，那么为循环群若，当时必定就有，所以可以设为中的最小正整数幂,于是.任取，使,由，有;但为中的最小正整数幂，故可推出.可知,又,因此, 即子群也是循环群 性质3.2.1 由有限群元素的阶是群的阶的因数，可知素数阶群一定是循环群 性质3.2.1 循环群必是交换群.3.3 变换群与置换群 定义3.3.1 一个集合上的若干个一一变换对于规定的乘法作成的一个群叫做这个集合的一个变换群 定理3.3.1 一个变换群的单位元一定是恒等变换 证明:设是集合上的双射变换群，是的单位元，, ,即可得 （是单射），所以，是恒等变换. 定理3.3.24 一个集合的所有一一变换作成一个变换群 证明:设集合的所有一一变换作成一个变换群.群适合群的定义的(1)(2)、(3)、(4)四个条件. (1)若是一一变换，那么也是一一变换对任一，因为是一一变换，所以在里有： 由是一一变换，所以在里有： ： 所以是的满射.设，那么, 所以是一一变换 (2)一般的变换都满足结合律，所以一一变换也满足结合律 (3)，是群的单位元，是一一变换 (4)，是的逆变换，且是的逆元： ： ： 所以，是一个变换群 定理3.3.34 任何一个群都同变换群同构 证明:设是一个群，有： ，下证对变换的乘法作成一个变换群.： 是满射：对于,存在，使得 都有,且, 又,有 所以是单射，是一一映射 对任一，所以可得，.所以是同态映射因此，.所以是一个群 下面来证明是一个变换群，是的单位元.： 是单位元，是一个恒等变换，所以由定理可知，中的所有变换都是一一变换所以，是一个变换群于是群与变换群同构,即任何一个群都同变换群同构 定义3.3.2 一个有限集合的若干个置换作成的一个群叫做一个置换群 定理3.3.4 每一个个元的置换都可以写成多个互相没有相同数字的、不相连的循环置换的乘积 定理3.3.5 循环置换的阶是，互不相连的循环置换的乘积的阶是各因子的阶的最小公倍数 定理3.3.6 每一个有限群都与一个置换群同构 性质3.3.1 置换群是变换群的一种特例，是有限集合上的变换群3.4 线性群 设是域上维线性空间，则的所有可逆线性变换对乘法组成一个群，它同构于上全体阶可逆方阵组成的乘法群这个群记作，叫做上的级全线性群记为所有行列式为1的阶方阵组成的集合，则是的子群，叫做上的级特殊线性群 显然可知，是的正规子群，并且由同构定理得， 设为所有阶非零纯量阵组成，所以称为上级射影线性群;又称为上级特殊射影线性群 设为包含个元素的有限域，那么上述的群即可分别记为 性质3.4.19 (1); (2); (3)3.5 二面体群 平面上正边形的全体对称的集合，其中它包含个旋转和个反射(沿条不同的对称轴)，对于变换的乘法，即对于变换的连续施加来说作成一个群，叫做二面体群，其中它包含个元素为了弄清楚二面体群的构造，以表示绕这个正边形的中心沿逆时针方向旋转的变换，则中所有旋转都可以表示成的形式，其中它们组成的一个阶正规子群，再以表示沿某指定的对称轴所坐的反射变换，于是有 (1)最后一式表示为先作反射，接着旋转，又作反射，也就是相当于向反方向旋转于是容易得出其中中的乘法仍然满足：.事实上，由生成并且满足关系 (1)即可以唯一确定群.所以(1)就叫做群的定义关系9例3.5.19 设，定义关系组为,则.解:因为，而 ,所以.,中每个元都可以表示成的形式.因此可得.另外,阶二面体群,对另一组生成系,有,所以为的同态像.又因为已有,所以只能有,并且.3.6 四元数群 哈密顿四元数的单位在乘法下组成一个8阶群，叫做四元数群，记作 中元素的乘法满足： ， 若令，则，且满足 这是的定义关系定理3.6.1 的所有子群都是正规子群证明:设,所以,且.由，则.若，则，或，从而;若，由于中只有一个2阶元，则.根据正规子群的判定定理,显然;又，从而;若，则，又指数为2的子群是正规子群，从而. 综上,的所有子群都是正规子群。如果一个非交换群的每一个子群都是正规子群，那么这个非交换群是一个哈密顿群显然四元数群就是哈密顿群. 群是四元数群的推广，就叫做阶的广义四元数群:93.7 欧式空间的正交变换群 维欧氏空间的全体交变换组成群，我们可以把它看作是全体阶正交方阵在乘法之下组成的群： 其中是矩阵的转置 在中，所有行列式为1的正交方阵组成子群9结束语：群论的简单应用 随着群论的