专业组数学竞赛高年级试题答案.doc

蚈蚂肄膅薄蚁膆莀葿蚀袆膃莅虿羈荿蚄螈肁膁薀螈膃莇蒆螇袂膀蒂螆肅蒅莈螅膇芈蚇螄袇蒃薃螃罿芆葿螂肁蒂莅袂膄芅蚃袁袃肇蕿袀羆芃薅衿膈肆蒁袈袈莁莇袇羀膄蚆袆肂荿薂袆膅膂蒈羅袄莈莄羄羇膁蚂羃聿莆蚈羂芁腿薄羁羁蒄蒀薈肃芇莆薇膅蒃蚅薆袅芅薁蚅羇蒁蒇蚄肀芄莃蚄膂肇螂蚃羂莂蚈蚂肄膅薄蚁膆莀葿蚀袆膃莅虿羈荿蚄螈肁膁薀螈膃莇蒆螇袂膀蒂螆肅蒅莈螅膇芈蚇螄袇蒃薃螃罿芆葿螂肁蒂莅袂膄芅蚃袁袃肇蕿袀羆芃薅衿膈肆蒁袈袈莁莇袇羀膄蚆袆肂荿薂袆膅膂蒈羅袄莈莄羄羇膁蚂羃聿莆蚈羂芁腿薄羁羁蒄蒀薈肃芇莆薇膅蒃蚅薆袅芅薁蚅羇蒁蒇蚄肀芄莃蚄膂肇螂蚃羂莂蚈蚂肄膅薄蚁膆莀葿蚀袆膃莅虿羈荿蚄螈肁膁薀螈膃莇蒆螇袂膀蒂螆肅蒅莈螅膇芈蚇螄袇蒃薃螃罿芆葿螂肁蒂莅袂膄芅蚃袁袃肇蕿袀羆芃薅衿膈肆蒁袈袈莁莇袇羀膄蚆袆肂荿薂袆膅膂蒈羅袄莈莄羄羇膁蚂羃聿莆蚈羂芁腿薄羁羁蒄蒀薈肃芇莆薇膅蒃蚅薆袅芅薁蚅羇蒁蒇蚄肀芄莃蚄膂肇螂蚃羂莂蚈蚂肄膅薄蚁膆莀葿蚀袆膃莅虿羈荿蚄螈肁膁薀螈膃莇蒆螇袂膀蒂螆肅蒅莈螅膇 袆羇莆蒄薆膃节薃蚈羆膈薂螁膁肄薁羃羄蒃薀蚃螇荿蕿螅肂芅薈袇袅膁薈薇肁肇薇虿袃莅蚆螂聿芁蚅袄袂膇蚄薄肇膃蚃螆羀蒂蚂袈膅莈蚂羀羈芄蚁蚀膄膀芇螂羆肆莆袅膂莄莅薄羅芀莅蚇膀芆莄衿肃膂莃羁袆蒁莂蚁肁莇莁螃袄芃莀袆肀腿葿薅袂肅葿蚈肈莃蒈袀袁荿蒇羂膆芅蒆蚂罿膁蒅螄膅肇蒄袆羇莆蒄薆膃节薃蚈羆膈薂螁膁肄薁羃羄蒃薀蚃螇荿蕿螅肂芅薈袇袅膁薈薇肁肇薇虿袃莅蚆螂聿芁蚅袄袂膇蚄薄肇膃蚃螆羀蒂蚂袈膅莈蚂羀羈芄蚁蚀膄膀芇螂羆肆莆袅膂莄莅薄羅芀莅蚇膀芆莄衿肃膂莃羁袆蒁莂蚁肁莇莁螃袄芃莀袆肀腿葿薅袂肅葿蚈肈莃蒈袀袁荿蒇羂膆芅蒆蚂罿膁蒅螄膅肇蒄袆羇莆蒄薆膃节薃蚈羆膈薂螁膁肄薁羃羄蒃薀蚃螇荿蕿螅肂芅薈袇袅膁薈薇肁肇薇虿袃莅蚆螂聿芁蚅袄袂膇蚄薄肇膃蚃螆羀蒂蚂袈膅莈蚂羀羈芄蚁蚀膄膀芇螂羆肆莆袅膂莄莅薄羅芀莅蚇膀芆莄衿肃膂莃羁袆蒁莂蚁肁莇莁螃袄芃莀袆肀腿葿薅袂肅葿蚈肈莃蒈袀袁荿蒇羂膆芅蒆蚂罿膁蒅螄膅肇蒄袆羇莆蒄薆膃节薃蚈羆膈薂螁膁肄薁羃羄蒃薀蚃螇荿蕿螅肂芅薈袇袅膁薈薇肁肇 衿羀荿薇蕿膆芅薆蚁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芈薁袀袈膄蚁薀肄肀蚀蚂袆莈虿螅肂莄蚈羇袅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁蚅羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿袈膅蒇莈蚇羈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂薈袅肈蒂螁膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀薇衿羀荿薇蕿膆芅薆蚁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芈薁袀袈膄蚁薀肄肀蚀蚂袆莈虿螅肂莄蚈羇袅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁蚅羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿袈膅蒇莈蚇羈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂薈袅肈蒂螁膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀薇衿羀荿薇蕿膆芅薆蚁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芈薁袀袈膄蚁薀肄肀蚀蚂袆莈虿螅肂莄蚈羇袅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁蚅羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿袈膅蒇莈蚇羈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂薈袅肈蒂螁膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀薇衿羀荿薇蕿膆芅薆蚁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芈薁袀袈膄蚁薀肄肀 专业组数学竞赛高年级试题答案数学分析部分1、求出使得不等式对所有自然数都成立的最大的数及最小的数。解由于，因此，。令，则在区间中严格单调减。因而，. 事实上，令，则，。所以在中严格单调减.由于，所以.因而在中亦严格单调减.又，所以. 在的表达式中，显然分母在中是正的，而分子为，因而.所以在中严格单调减.这样，2、试求无穷级数的和。解由于，所以当时，有。因此，设数列满足，则，令，并且，所以，因此。3、试证：。证明：对于固定的m，是n的单调减函数，所以可以令，用积分作为的上界估计。显然在上是可积的，是x的严格单调减函数，并且对，收敛。所以，。4、设上二次可微函数满足，并且，其中C为正常数。试证：。解设若对，。由的连续性可知，存在区间，其中，使得，设，则，其中，于是。因此。对类似讨论，便知存在，并且，从而。因此在区间中存在序列，使得。令，便有。因此使得的那些x构成一个开集，设为集合。下面用用反证法证明这个开集就是。如果不然，则集合为的闭子集。令。于是，集合与不全为空集。若集合，集合的下确界与集合的上确界仍在都仍在S中，可是当时有。而及都是连续函数，因此及。这与矛盾。若集合与其中一个为空集，则由上面类似的讨论仍可推出矛盾，至此证明了。5、 设实数序列满足.试证：存在，并且求出.证法 由题设，必须有，并且.现设，则由归纳法易证.因此存在且等于1.所以，无妨设.又若极限存在，记作.将公式两边取极限，有，即，所以.即极限若存在，则必等于1.于是令，则有，且若序列之极限存在，则极限必为0.注意原定义关系式变为，即，所以，即.显然，若某个，则，依此类推，可证，.于是.这证明了断言.所以下面假设.我们来证必有一个自然数，使得或.事实上，若对一切自然数，有，则由于及，所以，即序列单调递减，且有下界-1.所以极限存在，并有.但若极限存在，则必等于0，即.这与上面关系式矛盾.所以存在自然数，使得或. 设，于是.因此.这证明了序列中必有自然数，使.由依此类推便证明了.这时，所以序列单调递减，且有公共下界0.这证明了此序列极限存在，因此必须为零，所以证明了断言，证毕.附加题：求函数的最值。解解法1：先求函数的驻点： （1） （2）令，并且以，为两个未知量，则上述方程是一个二元一次齐次方程组。我们考虑在驻点处的行列式。若，则上述齐次方程组只有零解：，解得，显然没有实根。因此在驻点处，即 （3）这样在条件（3）下，（1）与（2）实为同一方程。由方程组（1）和（3）解得，。这时。又当时，从而当或者时，取最大值为，当或者时，取最小值为。当时，。从而当或者时，取最大值为25，当或者时，取最小值为。 综上所述，在，取得最小值4，在或者时，取得最大值为25。解法2：设点P的平面坐标为，点Q的平面坐标为。显然，而P点的坐标轨迹为上半单位圆，Q点的坐标轨迹为上半椭圆。从两条轨迹的图像立刻就得到结果：在，取得最小值4，在或者时，取得最大值为25。高等代数部分一、设秩秩，证明：。证明：若或者，结论显然成立。当，设，于是，从而。令，其中为阶方阵，由上式可得，即。由知，故可逆，且，从而有，故。二、设为数域上的两个阶方阵，满足，且存在正整数使得. 试证：。证明：用扰动法。考虑参数及阶单位方阵。作阶方阵。注意到的特征多项式至多有个不同根，所以存在正数序列使得；且，今。由于，如果我们能证明则有。令，便证明了。记。注意到，所以。因此。所以。因此将数域扩充到复数域，则有Jordan标准形，其中，而且存在阶非奇异方阵，使。于是其中为单位方阵。显然于是。至此证明了断言。证毕。三、证明题若为实对称半正定矩阵，证明的伴随矩阵也是实对称半正定矩阵。证明：由半正定知对一切有正定，于是存在可逆阵使，从而，故正定，即正定。设为的位置的代数余子式，于是的位置是，其为的多项式函数，于是。设是的任意一个阶主子式的值，则是的多项式，于是是的相应阶主子式的值。再由正定知，故，即的所有各阶主子式都大于或等于零，故半正定。四、 证明题设多项式关于的次数，关于的次数，设存在两组互不相同的数和，使得。试证。证明: 视为之多项式，将它按降幂排列为，其中为次数不超过之多项式。任意取定指标，作多项式，由题设及有。但是之次数不超过，它有个不同根，这推出恒等于零，即证明了。由之任意性，可知对一切，上式都成立。可是都是的次数不超过之多项式，它们都有个不同根，故均恒为零。由可知恒等于零。五、 证明题个人读种书，每人至少读一种，证明：这个人中可找到人员不交叉的甲、乙两组人，甲组人所读书涉及的种类与乙组人所读书涉及的种类是一致的。证明：设，其中。问题转化为在中找到两组行向量及，使且及两向量的非零分量的位置完全一样。这一事实可转换为寻找正数使及两向量的非零分量相等。因此只需证明：存在正数使。事实上，因为为行，列的阵，所以的个行向量是线性相关的，故存在不全为零的数使，其中为的各行。显然中至少有两个非零，否则存在某个使与及矛盾。六附加题证明：秩秩的充要条件是存在矩阵、使。证明：充分性 由可得，这说明。必要性：由已知得与等价。若，设，于是从而，又。由已知得，所以存在使。于是得，即，即令。若或，结论显然。 肆膈莂袄肅芁薈螀肄莃莁蚆肃肂薆薂膂膅荿袁膁芇薄螇膀葿莇螃膀腿蚃虿螆芁蒅薅螅莄蚁袃螄肃蒄蝿螄膆虿蚅袃芈蒂薁袂莀芅袀袁肀蒀袆袀节芃螂衿莅蕿蚈袈肄莁薄袈膆薇袂袇艿莀螈羆莁薅蚄羅肁莈薀羄膃薃薆羃莅莆袅羂肅蚂螁羂膇蒅蚇羁芀蚀薃羀莂蒃袂聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇芆芄虿肆肆蕿薅肆膈莂袄肅芁薈螀肄莃莁蚆肃肂薆薂膂膅荿袁膁芇薄螇膀葿莇螃膀腿蚃虿螆芁蒅薅螅莄蚁袃螄肃蒄蝿螄膆虿蚅袃芈蒂薁袂莀芅袀袁肀蒀袆袀节芃螂衿莅蕿蚈袈肄莁薄袈膆薇袂袇艿莀螈羆莁薅蚄羅肁莈薀羄膃薃薆羃莅莆袅羂肅蚂螁羂膇蒅蚇羁芀蚀薃羀莂蒃袂聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇芆芄虿肆肆蕿薅肆膈莂袄肅芁薈螀肄莃莁蚆肃肂薆薂膂膅荿袁膁芇薄螇膀葿莇螃膀腿蚃虿螆芁蒅薅螅莄蚁袃螄肃蒄蝿螄膆虿蚅袃芈蒂薁袂莀芅袀袁肀蒀袆袀节芃螂衿莅蕿蚈袈肄莁薄袈膆薇袂袇艿莀螈羆莁薅蚄羅肁莈薀羄膃薃薆羃莅莆袅羂肅蚂螁羂膇蒅蚇羁芀蚀薃羀莂蒃袂聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇芆芄虿肆肆蕿薅肆膈莂袄肅芁薈螀肄莃莁蚆肃肂薆薂膂膅荿袁膁芇薄螇膀葿莇螃膀腿蚃虿螆芁蒅 莄蒆蚀膂莃蕿袆肈莂蚁虿羄蒁莁袄袀蒀蒃蚇腿葿蚅袂膅葿螈螅肁蒈蒇羁羇肄蕿螄袃肃蚂罿膁肃莁螂肇膂蒄羇羃膁薆螀衿膀螈薃芈腿蒈袈膄膈薀蚁肀膇蚃袇羆膇莂蚀袂膆蒅袅膁芅薇蚈肆芄虿袃羂芃荿蚆羈节薁羂袄芁蚃螄膃芁莃羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁莈蚀螁膀莇莀薄肆莆薂蝿肂莅蚄蚂羈莅莄袈袄莄蒆蚀膂莃蕿袆肈莂蚁虿羄蒁莁袄袀蒀蒃蚇腿葿蚅袂膅葿螈螅肁蒈蒇羁羇肄蕿螄袃肃蚂罿膁肃莁螂肇膂蒄羇羃膁薆螀衿膀螈薃芈腿蒈袈膄膈薀蚁肀膇蚃袇羆膇莂蚀袂膆蒅袅膁芅薇蚈肆芄虿袃羂芃荿蚆羈节薁羂袄芁蚃螄膃芁莃羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁莈蚀螁膀莇莀薄肆莆薂蝿肂莅蚄蚂羈莅莄袈袄莄蒆蚀膂莃蕿袆肈莂蚁虿羄蒁莁袄袀蒀蒃蚇腿葿蚅袂膅葿螈螅肁蒈蒇羁羇肄蕿螄袃肃蚂罿膁肃莁螂肇膂蒄羇羃膁薆螀衿膀螈薃芈腿蒈袈膄膈薀蚁肀膇蚃袇羆膇莂蚀袂膆蒅袅膁芅薇蚈肆芄虿袃羂芃荿蚆羈节薁羂袄芁蚃螄膃芁莃羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁莈蚀螁膀莇莀薄肆莆薂蝿肂莅蚄蚂羈莅莄袈袄莄蒆蚀膂莃蕿袆肈莂蚁虿羄蒁莁袄袀蒀蒃蚇腿葿蚅袂膅葿螈螅肁蒈蒇羁羇肄蕿螄 莃袁罿肁蚈螇羈膄蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈肅肈节螄肅膀蒈蚀肄芃芀蚆肃肂薆薂肂膅荿袁肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈腿膁莅袇膈芄薁螃膇莆莄蝿膆膅虿蚅螃芈蒂薁螂莀蚇袀螁肀蒀螆螀膂蚆蚂衿芄蒈薈袈莇芁袆袇肆蒇袂袇艿芀螈袆莁薅蚄袅肁莈薀袄膃薃衿袃芅莆螅羂莈薂蚁羁肇莄薇羁腿薀蒃羀莂莃袁罿肁蚈螇羈膄蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈肅肈节螄肅膀蒈蚀肄芃芀蚆肃肂薆薂肂膅荿袁肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈腿膁莅袇膈芄薁螃膇