线性代数讲义858212632.doc

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肁节袀膈莀芁薀羀芆芀蚂膆膂艿螅罿肈荿袇螂莇莈薇羇芃莇虿螀艿莆袁肅膅莅薁袈肁莄蚃肄荿莃螆袆芅莃袈肂膁蒂薈袅肇蒁蚀肀羃蒀螂袃莂葿薂腿芈蒈蚄羁膄蒇螆膇肀蒇衿羀莈蒆薈螂芄薅蚁羈膀薄螃螁肆薃蒃羆肂薂蚅蝿莁薂螇肄芇薁袀袇膃薀蕿肃聿蕿蚂袆莇蚈螄肁芃蚇袆袄腿蚆薆聿膅芃螈袂肁节袀膈莀芁薀羀芆芀蚂膆膂艿螅罿肈荿袇螂莇莈薇羇芃莇虿螀艿莆袁肅膅莅薁袈肁莄蚃肄荿莃螆袆芅莃袈肂膁蒂薈袅肇蒁蚀肀羃蒀螂袃莂葿薂腿芈蒈蚄羁膄蒇螆膇肀蒇衿羀莈蒆薈螂芄薅蚁羈膀薄螃螁肆薃蒃羆肂薂蚅蝿莁薂螇肄芇薁袀袇膃薀蕿肃聿蕿蚂袆莇蚈螄肁芃蚇袆袄腿蚆薆聿膅芃螈袂肁节袀膈莀芁薀羀芆芀蚂膆膂艿螅罿肈荿袇螂莇莈薇羇芃莇虿螀艿莆袁肅膅莅薁袈肁莄蚃肄荿莃螆袆芅莃袈肂膁蒂薈袅肇蒁蚀肀羃蒀螂袃莂葿薂腿芈蒈蚄羁膄蒇螆膇肀蒇衿羀莈蒆薈螂芄薅蚁羈膀薄螃螁肆薃蒃羆肂薂蚅蝿莁薂螇肄芇薁袀袇膃薀蕿肃聿蕿蚂袆莇蚈螄肁芃蚇袆袄腿蚆薆聿膅芃螈袂肁节袀膈莀芁薀羀芆芀蚂膆膂艿螅罿肈荿袇螂莇莈薇羇芃莇虿螀艿莆袁肅膅莅薁袈肁莄蚃肄荿莃螆袆芅莃袈肂膁蒂薈袅肇蒁蚀肀羃蒀螂袃莂葿薂腿芈蒈蚄羁膄蒇螆膇肀蒇衿羀莈蒆薈螂芄薅蚁羈膀薄螃螁肆薃蒃羆肂薂蚅蝿莁薂螇肄芇薁袀袇膃薀蕿肃聿蕿蚂袆莇蚈螄肁芃蚇袆袄腿蚆薆聿膅芃螈袂肁节袀膈莀芁薀羀芆芀蚂膆膂艿螅罿肈荿袇螂莇莈薇羇芃莇虿螀艿莆袁肅膅莅薁袈肁莄蚃肄荿莃螆袆芅莃袈肂膁蒂薈袅肇蒁蚀肀羃蒀螂袃莂葿薂腿芈蒈蚄羁膄蒇螆膇肀蒇衿羀莈蒆薈螂芄薅蚁羈膀薄螃螁肆薃蒃羆肂薂蚅蝿莁薂螇肄芇薁袀袇膃薀蕿肃聿蕿蚂袆莇蚈螄肁芃蚇袆袄腿蚆薆聿膅芃螈袂肁节袀膈莀芁薀羀芆芀蚂膆膂艿螅罿肈荿袇螂莇莈薇羇芃莇虿螀艿莆袁肅膅莅薁袈肁莄蚃肄荿莃螆袆芅莃袈肂膁蒂薈袅肇蒁蚀肀羃蒀螂袃莂葿薂腿芈蒈蚄羁膄蒇螆膇肀蒇衿羀莈蒆薈螂芄薅蚁羈膀薄螃螁肆薃蒃羆肂薂蚅蝿莁薂螇肄芇薁袀袇膃薀蕿肃聿蕿蚂袆莇蚈螄肁芃蚇袆袄腿蚆薆聿膅芃螈袂肁节袀膈莀芁薀羀芆芀蚂膆膂艿螅罿肈荿袇螂莇莈薇羇芃莇虿螀艿莆袁肅膅莅薁袈肁莄蚃肄荿莃螆袆芅莃袈肂膁蒂薈袅肇蒁蚀肀羃蒀螂袃莂葿薂腿芈蒈蚄羁膄蒇螆膇肀蒇衿羀莈蒆薈螂芄薅蚁羈膀薄螃螁肆薃蒃羆肂薂蚅蝿莁薂螇肄芇薁袀袇膃薀蕿肃聿蕿蚂袆莇蚈螄肁芃蚇袆袄腿蚆薆聿膅芃螈袂肁节袀膈莀芁薀羀芆芀蚂膆膂艿螅罿肈荿袇螂莇莈薇羇芃莇虿螀艿莆袁肅膅莅薁袈肁莄蚃肄荿莃螆袆芅莃袈肂膁蒂薈袅肇蒁蚀肀羃蒀螂袃莂葿薂腿芈蒈蚄羁膄蒇螆膇肀蒇衿羀莈蒆薈螂芄薅蚁羈膀薄螃螁肆薃蒃羆肂薂蚅蝿莁薂螇肄芇薁袀袇膃薀蕿肃聿蕿蚂袆莇蚈螄肁芃蚇袆袄腿蚆薆聿膅芃螈袂肁节袀膈莀芁薀羀芆芀蚂膆膂艿螅罿肈荿袇螂莇莈薇羇芃莇虿螀艿莆袁肅膅莅薁袈肁莄蚃肄荿莃螆袆芅莃袈肂膁蒂薈袅肇蒁蚀肀羃蒀螂袃莂葿薂腿芈蒈蚄羁膄蒇螆膇肀蒇衿羀莈蒆薈螂芄薅蚁羈膀薄螃螁肆薃蒃羆肂薂蚅蝿莁薂螇肄芇薁袀袇膃薀蕿肃聿蕿蚂袆莇蚈螄肁芃蚇袆袄腿蚆薆聿膅芃螈袂肁节袀膈莀芁薀羀芆芀蚂膆膂艿螅罿肈荿袇螂莇莈薇羇芃莇虿螀艿莆袁肅膅莅薁袈肁莄蚃肄荿莃螆袆芅莃袈肂膁蒂薈袅肇蒁蚀肀羃蒀螂袃莂葿薂腿芈蒈蚄羁膄蒇螆膇肀蒇衿羀莈蒆薈螂芄薅蚁羈膀薄螃螁肆薃蒃羆肂薂蚅蝿莁薂螇肄芇薁袀袇膃薀蕿肃聿蕿蚂袆莇蚈螄肁芃蚇袆袄腿蚆薆聿膅芃螈袂肁节袀膈莀芁薀羀芆芀蚂膆膂艿螅罿肈荿袇螂莇莈薇羇芃莇虿螀艿莆袁肅膅莅薁袈肁莄蚃肄荿莃螆袆芅莃袈肂膁蒂薈袅肇蒁蚀肀羃蒀螂袃莂葿薂腿芈蒈蚄羁膄蒇螆膇肀蒇衿羀莈蒆薈螂芄薅蚁羈膀薄螃螁肆薃蒃羆肂薂蚅蝿莁薂螇肄芇薁袀袇膃薀蕿肃聿蕿蚂袆莇蚈螄肁芃蚇袆袄腿蚆薆聿膅芃螈袂肁节袀膈莀芁薀羀芆芀蚂膆膂艿螅罿肈荿袇螂莇莈薇羇芃莇虿螀艿莆袁肅膅莅薁袈肁莄蚃肄荿莃螆袆芅莃袈肂膁蒂薈袅肇蒁蚀肀羃蒀螂袃莂葿薂腿芈蒈蚄羁膄蒇螆膇肀蒇衿羀莈蒆薈螂芄薅蚁羈膀薄螃螁肆薃蒃羆肂薂蚅蝿莁薂螇肄芇薁袀袇膃薀蕿肃聿蕿蚂袆莇蚈螄肁芃蚇袆袄腿蚆薆聿膅芃螈袂肁节袀膈莀芁薀羀芆芀蚂膆膂艿螅罿肈荿袇螂莇莈薇羇芃莇虿螀艿莆袁肅膅莅薁袈肁莄蚃肄荿莃螆袆芅莃袈肂膁蒂薈袅肇蒁蚀肀羃蒀螂袃莂葿薂腿芈蒈蚄羁膄蒇螆膇肀蒇衿羀莈蒆薈螂芄薅蚁羈膀薄螃螁肆薃蒃羆肂薂蚅蝿莁薂螇肄芇薁袀袇膃薀蕿肃聿蕿蚂袆莇蚈螄肁芃蚇袆袄腿蚆薆聿膅芃螈袂肁节袀膈莀芁薀羀芆芀蚂膆膂艿螅罿肈荿袇螂莇莈薇羇芃莇虿螀艿莆袁肅膅莅薁袈肁莄蚃肄荿莃螆袆芅莃袈肂膁蒂薈袅肇蒁蚀肀羃蒀螂袃莂葿薂腿芈蒈蚄羁膄蒇螆膇肀蒇衿羀莈蒆薈螂芄薅蚁羈膀薄螃螁肆薃蒃羆肂薂蚅蝿莁薂螇肄芇薁袀袇膃薀蕿肃聿蕿蚂袆莇蚈螄肁芃蚇袆袄腿蚆薆聿膅芃螈袂肁节袀膈莀芁薀羀芆芀蚂膆膂艿螅罿肈荿袇螂莇莈薇羇芃莇虿螀艿莆袁肅膅莅薁袈肁莄蚃肄荿莃螆袆芅莃袈肂膁蒂薈袅肇蒁蚀肀羃蒀螂袃莂葿薂腿芈蒈蚄羁膄蒇螆膇肀蒇衿羀莈蒆薈螂芄薅蚁羈膀薄螃螁肆薃蒃羆肂薂蚅蝿莁薂螇肄芇薁袀袇膃薀蕿肃聿蕿蚂袆莇蚈螄肁芃蚇袆袄腿蚆薆聿膅芃螈袂肁节袀膈莀芁薀羀芆芀蚂膆膂艿螅罿肈荿袇螂莇莈薇羇芃莇虿螀艿莆袁肅膅莅薁袈肁莄蚃肄荿莃螆袆芅莃袈肂膁蒂薈袅肇蒁蚀肀羃蒀螂袃莂葿薂腿芈蒈 线性代数讲义 线性代数攻略线性代数由两部分组成:第一部分:用矩阵解方程组(判断解的存在性,用有限个解表示所有的解)第二部分:用方程组解矩阵(求特征值,特征向量,对角化,化简实二次型)主观题对策1. 计算题精解计算题较之选择题与填空题难度几乎没有增加,但计算量大大增加,故出错的机会大幅增长,因此应力求用简便方法解决问题.一.行列式的计算: 单纯计算行列式的题目大概永远不会出现.所以需要结合其它的知识点. l 核心内容范德蒙行列式/余子式/代数余子式/Cramer法则:l 典型方法降阶法(利用Gauss消元法化为三角矩阵:常常是将所有的行或列加到一起)/特征值法(矩阵的行列式等于其特征值之积)/行列式的其它性质(转置矩阵/逆矩阵/伴随矩阵/矩阵之积)例1 计算下述三个n阶矩阵的行列式：.解先算|B|=xn;再算|A|：故|C|=|A|(-1)(1+n)+(n+1)+(2n) |B-1|=(-1)(1+2n)n(n+x)/x.例2(2004-4) 设矩阵 ,矩阵B满足ABA*=2BA*+E,则|B|= .分析 化简可得(A-2E)BA*=E； 于是|A-2E|B|A*|=1. 又|A*|=9,|A-2E|=1,所以|B|=1/9. (切忌算B=(A-2E)-1(A*)-1.)例3 设44矩阵A=(x,a,b,g), B=(h,b,g,a). 若|A|=1, |B|=2,则行列式|A+B|= .正解：|A+B|=|x+h, a+b, b+g, g+a|=|x+h, 2(a+b+g), b+g, g+a|=2|x+h, a+b+g, b+g, g+a|=2|x+h, a, b+g, g+a|=2|x+h, a, b+g, g|=2|x+h, a, b, g|=2(|x, a, b, g|+|h, a, b, g|)=2(|A|+|B|)=6.巧解:正解令人羡慕,但可能想不起来.于是令A=E,则 .但|B|=2,所以取最简单的 .于是 ,故|A+B|=6.例4 若四阶方阵A的特征值分别为-1,1,2,3,则行列式|A-1+2A*|= .解此题考查对特征值的理解.特征值的性质中最重要(也是最简单的)的有两条，即所有特征值的和等于矩阵的迹(=对角线元素之和),而所有特征值的积等于矩阵的行列式.因此|A|= -6!剩余的就是简单的变形了:A-1+2A* = A-1 (E+2A A*) = A-1 (E+2|A|E)=-11A-1.故|A-1+2A*|=|-11A-1|=(-11)4|A-1|=-114/6.本题有巧解,你想到了吗?对!就让A是那个满足条件的最简单的矩阵!例2(上海交大2002) 计算行列式其中, .本题只要对特征多项式有一定认识,则易如反掌.所求行列式对应的矩阵A=xE+B, 其中B=(aibj)的任意两行均成比例,故其秩为1(最重要的矩阵类型之一)或0,但由题中所给条件,B0,于是,B至少有n-1个特征值为0,另有一特征值等于trB= a1b1+ a2b2+ anbn0. 从而,A有n-1个特征值x,另有一个特征值x+trB.OK例3(2001) 设A为三阶矩阵,X为三维向量,X,AX, A2X线性无关,A3X=4AX-3A2X.试计算行列式|2A2+3E|.很多人觉得此题无从下手,实在冤枉了出题人.由A3X=2AX-3A2X可知, A(A2+3A-4E)X=0.由此知, |A|=0:否则,A可逆,X,AX, A2X将线性相关,矛盾!从而(A2+3A-4E)X=0:故X是齐次线性方程组(A2+3A-4E)Y=0的非零解.于是|A2+3A-4E|=0.故A的三个特征值为0,1,-4.于是2A2+3E的三个特征值为3,5,35.所以,|2A2+3E|=3535=525.例4(1995) 设n阶矩阵A满足AA=I,|A|n时,必有行列式|AB|0.B.当mn时,必有行列式|AB|=0.C.当mn时,必有行列式|AB|0.D.当mn时,必有行列式|AB|=0.二. 矩阵与n维向量空间l 核心内容矩阵运算(主要是乘法)/矩阵的秩/可逆矩阵/伴随矩阵与逆矩阵/线性方程组的一般解/线性相关与线性无关/极大线性无关组/向量组的秩/向量组的等价/n维线性空间/维数/基/坐标/过渡矩阵/线性空间与线性方程组的关系/欧氏空间/内积/标准正交基/正交矩阵/Gram-Schmidt正交化方法l 典型方法初等变换与初等矩阵l 典型例题1.解矩阵方程:原则是先化简后计算例6设矩阵B满足方程 .求B.解 A显然可逆,故将方程两端右乘A-1,得 ;再左乘A,由 ,得,所以例7 设解移项得,(2E-A)X=B,所以X=(2E-A)1B.再使用初等变换(如此较少出错,不要先求逆,再计算矩阵的乘积:除非矩阵比较特殊或非常简单)求(2E-A)-1B：例8(2000) 设矩阵A的伴随矩阵 ,且 ,求B.解先化简可得AB=B+3A,即(A-E)B=3A,故B=3(A-E)-1A.而A与其伴随矩阵的关系为A*A=|A|E,从而A=|A|(A*)-1.|A|n=|A|A*| =8|A|, n=4, |A|=2. 所以B= 3(A-E)-1A=6A*(A-E)-1=6 (2E-A*)-1.因为 ,故由初等变换可得.(实际上不用作具体计算,因为是将单位矩阵的第1行的-1倍加到第3行, 再将第四行乘以-6,再将第2行的3倍加到第4行;反其道而行之-注意顺序:矩阵乘积的逆要反序,即可).例9(2001)设矩阵A满足A2+A-4E=O,则(A-E)-1= .2.解线性方程组例10(1998)已知线性方程组(I)的一个基础解系为 , .试写出线性方程组(II)的通解,并说明理由.解求线性方程组的通解的前提是知道系数矩阵的秩,未知数的个数:方程组(I)与(II)均有2n个未知数;由已知条件(I)的一个基础解系含有n个解向量,从而其系数矩阵r(A)=的秩为2n-n=n. 显而易见,方程组(I)与(II)有某种密切的联系,为了看清楚这种联系,最好的办法是采用矩阵形式:将方程组(I)与(II)分别改写为矩阵形式可得:Ax=0与(II)Bx=0.由于B的行向量组是一个基础解系,故线性无关,所以r(B)=n.因此方程组(II)的一个基础解系含n个解向量.由已知条件,B的每一行的转置向量都是(I)的解,即ABT=0.从而知(ABT)T=0,即BAT=0.因此A的每一行的转置向量都是(II)的解.但r(A)=n,所以A的行向量线性无关,因此AT的全体列向量组恰好构成(II)的一个基础解系,所以通解迎刃而解.Ok.下面是一个轻松的例子:例11 解线性方程组 ,其中a与b是参数.解注意,当系数矩阵或增广矩阵含参数时,不要让参数参与初等变换(以免无意中用0作了分母):所以当a2时方程组有唯一解:当a=2,b1时无解；当a=2,b=1时有无穷多组解：，k为任意常数.注意事项：尽可能避免使用参数的倒数作因子，以防漏解。万不得已时，应先讨论可能使分母为0的情况。例12(1994) 设四元线性齐次方程组(I)为又已知某线性齐次方程组(II)的通解为 .求线性方程组(I)的通解;问线性方程组(I)与(II)有无非0公共解?若有,则求出.若无,则说明理由.解(1) 此容易.未知数的个数n=2,系数矩阵的秩r=2,故基础解系含两个解向量(选x2与x3为自由变量),比如 ,故(I)的通解为 .(2)线性方程组(I)与(II)的公共解需满足(左边为(II)的解,右边为(I)的解).故需求不全为0的系数,即下面的线性方程组的非0解:系数矩阵为故所求不全为0的系数为因此(I)与（II）的非0公共解为例13(2001) 设是线性方程组Ax=0的一个基础解系, 是实常数.试问满足什么关系时, 向量组也是Ax=0的一个基础解系?解一个向量组什么时候可以成为一个齐次线性方程组的基础解系?两个条件:一是精干(即本身是线性无关的),二是能干(即该组能够表示所有解向量).所以欲使该向量组构成一个基础解系,必要且只要其线性无关(因为它只有s个向量).将其改写为下述矩阵形式:可知需要右端的矩阵A可逆:当且仅当行列式|A|0.直接计算可知所以当时,该向量组也是一个基础解系.例14(2004) 设有齐次线性方程组试问a取何值时,该方程组有非0解,并求出其通解.解该方程有n个未知数,n个方程,故可由Cramer法则解决:即它有非0解当且仅当系数行列式等于0.但还要求出通解,此法就不行了,此时必须使用初等变换.故先算行列式:容易看出系数行列式的规律,即所有列的和均相等,故其值为(此还可由特征值得到,你看出来了吗?).所以当a=0或时,方程组有非0解.当a=0时,方程组变为,因此其通解为为任意常数,其中.当时,对系数矩阵作初等变换:故通解为(取x1为自由变量!)为任意常数.例15(2002) 已知四阶方阵 ,其中线性无关, .如果 ,求线性方程组Ax=b的通解.解首先要知道Ax=0的解.由于r(A)=3,n=4(未知数的个数),故只需求一个非0解即可.什么是非0解?当然是0向量的组合系数,也就是由得到的的向量a=(1,-2,3,0)T.其次需要一个特解,即由得到的系数g=(1,1,1,1)T. 最后,将上述解组合起来即可得到通解:x=k(1,2,-3,0)+(1,1,1,1).例16(1998)设矩阵是满秩的,则直线与直线 ( )A. 相交于一点. B. 重合.C.平行但不重合. D.异面.例17(1996)求齐次线性方程组的基础解系.例18(1997)设A是可逆方阵,将A的第i行和第j行对换得到的矩阵记为B.(1)证明B可逆;(2)求AB-1.三.线性相关与线性无关例19(基本运算技能) 设向量组求该组的一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.解构造矩阵 ,并利用行初等变换求其简化阶梯形矩阵：因此,该向量组的秩为3, 构成一个极大线性无关组,且 .例20(2000) 设n维列向量线性无关,则n维列向量线性无关的充分必要条件是A.向量组可由向量组线性表示;B.向量组可由向量组线性表示;C.向量组与向量组等价;D.矩阵与矩阵等价.解 B最错:此时向量组的特征完全没有体现;A也错,因为此时向量组当然线性无关,故是充分条件,但不必要;C也是充分条件,不必要.故选D.例21(2003) 设向量组I: 可由向量组II: 线性表示;则A.当rs时,向量组II必线性相关;C.当rs时,向量组I必线性相关.解由于只知道I能由II线性表示,故只能讨论I的线性相关性, 对II则一无所知(它可能线性相关,也可能线性无关).所以A,B错.只与C,D就较为明显了:向量越多则越容易线性相关.当rs时,I中的向量个数多于II,只能线性相关.例22(2004) 设A，B为满足AB=0的任意两个非0矩阵，则必有A.A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关B.A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关C.A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关D.A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关分析(2004-12) 这实际上是考察我们对矩阵乘法的理解:”左行右列”原则说AB的列是A的列的线性组合,而其行是B的行的线性组合,现在AB=0,故A的列的线性组合为0,B的行的线性组合为0,从而A的列线性相关,B的行线性相关,选A.这是概念性很强的线性代数题,50的考生早在上线性代数课的时候就晕过无数次,现在又要再晕一次了(我们将在线性代数的复习中帮助大家苏醒过来).但现在我们是在做选择题!选最简单的矩阵(当然11的不行-为什么?故12的最简单)如下: .如此,A的行线性无关,C,D错;B的列线性无关,B,D错!例23(1997) 设则三条直线交于一点的充分必要条件是A. 线性相关;B. 线性无关;C.秩( )=秩( );D. 线性相关; 线性无关.解实际上是解线性方程组:交于一点等价于有唯一解,等价于系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩等于2.所以选D.(试试用特殊值法)例24(1998) 设A是n阶矩阵,若存在正整数k使得线性方程组Akx=0有解向量a,且Ak-1a0.证明:向量组a,Aa,Ak-1a是线性无关的.证明设b0a+b1Aa+bk-1 Ak-1a=0,我们证明所有的系数只能等于0.为此, 两边同乘以Ak-1,可得b0 Ak-1a+b1Ak-1Aa+bk-1 Ak-1Ak-1a=0,a是Akx=0的解,所以Aka=0,因此b0 Ak-1a=0;但Ak-1a0,只有b0=0. 再乘以Ak-2,可得b1Ak-2Aa+bk-1Ak-2Ak-1a =0,即b1Ak-2Aa=0,因此b1=0.类似地,可以证明b2=b3=bk-1=0.例25(1996) 设a是n维非0列向量,a是a的转置向量,E是n阶单位矩阵,A=E-aa.证明: (1)A2=A的充分必要条件是aa=1.(2)当aa=1时,A是不可逆矩阵.证明:例26(应用) 设Amp,Bpn,则r(A)+r(B)-p r(AB) minr(A),r(B).证明先看第二个不等式:矩阵的乘法具有什么样的性质?”左行右列”.更进一步,乘积矩阵的行等于右边矩阵的行的线性组合,组合系数是左边矩阵相应的行;乘积矩阵的列等于左边矩阵的列的线性组合,组合系数是右边矩阵相应的列.于是,AB的列均可由A的列线性表示,而其行可由B的行线性表示,从而其列秩不超过A的列秩,其行秩不超过B的行秩,因此该不等式成立.再来看第一个不等式:回忆可逆矩阵不改变矩阵的秩,且存在可逆矩阵P与Q使得 ,其中r= r(A). 于是PAB=PAQQ-1B = (PAQ)Q-1B=C,其中C的前r行为Q-1B的前r行，后m-r行均为零。注意r(Q-1B)=r(B),故共有p行的矩阵Q-1B的前r行的秩至少为r(B)-(p-r)=r(A)+r(B)-p,即C的秩至少为r(A)+r(B)-p,但r(C)=r(AB),ok.例27 设A为n阶矩阵，证明r(An)=r(An+1).证明(此题较难)显然有r(An)r(An+1).若A0或A可逆,则An与An+1也等于0或可逆,从而秩相等. 现设A0且A不可逆,则A, A2,An,An+1这n+1个矩阵的秩只能是0,1,2,n-1这n个数;从而必有两个矩阵的秩相同,设为r(As)=r(At),1s0.证明|2A*+9E|=0,其中A*是A的伴随矩阵。证明只要证明A*有特征值-92.由于|A+2E|=0,故A有特征值-2;又因为ATA=3E,A|0,所以|ATA|=|3E|34.但|ATA|AT|A|A|2,所以,|A|9.因此A*有特征值-92. Ok.例36设A 是n阶矩阵,A2+3A-4E=0,证明:(1)r(A+4E)+r(A-E)=n;(2)A可以对角化;(3)2A+3E可逆,并求其逆.证明因为(A+4E)(A-E)=0,故(A-E)的每一列都是齐次方程组(A+4E)x=0的解，从而是矩阵A的属于特征值-4的特征向量；因此，r(A-E)n-r(A+4E)，即r(A-E)r(A+4E)n。又, r(A-E)+r(A+4E) = r(-A+E)+r(A+4E) r(-A+E+A+4E)=r(5E)=n,所以(1)成立。(2) 由(1)的证明可知，r(A-E)与r(A+4E)分别是A的属于特征值1与-4的线性无关特征向量的个数，从而A共有n个线性无关的特征向量，故A可以对角化。(3) 由(1)可知,A的特征值只能是1或-4，故行列式|2A+3E|0，故2A3E可逆(此步论证可以省略,见下).由0=A2+3A-4E=2(A2+3A-4E) =(2A+3E)(A+3E/2)-17E/2,所以(2A+3E)(A+3E/2)=17E/2;因此(2A+3E)-1=2(A+3E/2)/17 =(2A+3E)/17.例37(1995) 设三阶实对称矩阵的特征值为-1,1,1.对应于1的特征向量为(0,1,1),求A.解:四.线性空间/二次型合同/正交变换/正定二次型/正定矩阵/例38(2003) 从R2的基a1=(1,0),a2=(1,-1),到基b1=(1,1),b2=(1,2)的过渡矩阵为 .例39 设求(1)子空间的维数与一组基;(2)设问x取何值时,b ,求b在(1)中基下的坐标.解两个问题可以一起解决.构造矩阵并求其标准阶梯形:所以(1) 的维数为3,一组基是;(2)当x=-71/5时,b ,它在基下的坐标为71/15,-11/15,-81/15.例40已知R3的两组基,若由基到第三组基的过渡矩阵为 .(1)求 ;(2)设向量在基下的坐标为 ,求在基下的坐标.解 (1)首先，基到基的过渡矩阵为 ,所以,因此(2) 由于故x在下的坐标为 .例41 设n阶实对称矩阵A满足条件且A+tE是正交矩阵,则t= .解由于所以t=3.例42(2002)已知实二次型经正交变换x=Py可化为标准形f=6y12,则a=.例43设 ,则A与B .A.合同且相似 B.合同但不相似C.不合同且相似 B.不合同且不相似例44 已知二次型通过正交变换可以化为标准形 ,求参数a以及所用的正交变换.解二次型的矩阵为，而A的特征值为7，7，2，所以a+a+6=7+7-2=12,即a=3.对应于特征值7的特征向量满足方程，即，故为两个线性无关的特征向量,单位化,正交化可得;对应于特征值-2的特征向量满足,即 ,即 ,故得 ,单位化得 .令，则所用正交变换为X=QY.例45(1999) 设A为m阶实对称矩阵且正定,B为mn实矩阵,证明:BAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n.证明充分性.关于正定性的证明有多种方法.比较直接的办法是用定义,即证明对任意非0向量x,均有xBABx0.此即(Bx)A(Bx)0.由于A正定,故上式成立只须Bx0.但r(B)=n,故Bx=0只有零解,而x0,从而Bx0.证明完成了吗?没有!因为正定矩阵的前提是对称矩阵:(BAB)=BAB=BAB.必要性.欲证明r(B)=n,只须证明Bx=0只有零解,只须证明对任意x0,均有Bx0.现设x0,则由于BAB正定,故xBABx0,即(Bx)A(Bx)0,因此Bx0.Ok.间接的方法需要对正定矩阵更多的了解.一个n阶矩阵A正定当且仅当存在列满秩矩阵Mmn使得A=MM.对本题而言,由于A正定,故BAB=BMMB=(MB)(MB).由于M列满秩,r(MB)=r(B).所以BAB正定当且仅当MB列满秩当且仅当B列满秩.例46(1997) 设B是秩为2的54矩阵, a=(1,1,2,3), b=(-1,1,4,-1), g=(5,-1,-8,9)是齐次线性方程组Bx=0的解向量,求Bx=0的解空间的一个标准正交基.解:例47(1996) 已知二次型的秩为2,问表示何种曲面?(c=3;特征值为0,4,9.)例48(1998) 已知二次曲面方程可以经过正交变换化为椭圆柱面方程 .求a,b和正交矩阵P.解(a=3,b=1)综合题型例49 设A为r阶方阵,B为rn矩阵, r(B)=r,且AB=0.证明A=0.证明因为r(B)=r,故r(BT)=r.所以齐次线性方程组BTx0只有0解.但已知AB=0,故BTAT0,所以AT的每列均为BTx0的解,从而AT0,即A0.例50设A是mn矩阵，B是ns矩阵,证明：方程组ABX=0与BX=0同解的充要条件是r(AB)=r(B).证明若两方程组同解,则系数矩阵的秩必相等;反之,若系数矩阵的秩相等,则它们的一个基础解系所含向量个数相等,但由于后者的解总是前者的解,从而它们同解.例51(1994) 设A