参证材料--数学教学中思维能力的培养.doc

数学教学中思维能力的培养龙 胜（吉首大学数学与计算机科学学院，湖南 吉首，416000） 摘要：本文试从课堂教学和学生自主学习两个方面来研究数学思维能力的培养，其主要内容为两大部分：第一部分是课堂教学中，教师通过对数学教材的解剖分析，充分揭示数学思维过程的再创造，让学生亲自参与数学知识的发生和发展过程；第二部分是重视学生的主体地位，指导学生独立自主阅读教材获取新知，及时整理知识和反思，培养学生良好的思维习惯，形成良好的思维策略，增强解决问题，分析问题的能力。关键词：数学教学；培养思维能力；问题解决Thinking Ability in Mathematics Teaching TrainingPeng Ying(Jishou university college of Mathematics and Computer Science , JiShou Hunan 416000)Abstract:This paper studies training the ability of mathematical thinking on two aspects, teaching in classroom for teachers and studying independently for students. The main content consists of the two parts: The first part is teaching in classroom. Teachers of mathematics teaching anatomy analysis and fully reveal the re-creation of the process of Mathematical Thinking. Make sure that students are personally involved in the mathematical knowledge of the occurrence and development; the second part is attaching importance to the dominant position of the students. To cultivate good thinking habits and create a good thinking strategy and enhance their thinking, students should learn to get new knowledge through reading materials independently and summarize and make a reflection timely under teachers direction.Key words: Mathematics teaching; thinking ability training; problem solving 目前我们已进入信息时代，知识更新速度越来越快，各类技术在不断进步，产品日益复杂精巧，市场日益短暂。这就要求工作人员在智力上能适应工作，随时准备吸收新思想，感知新事物，适应变革，解决新出现的问题。正是这种要求使得数学成为很多行业必备的知识。在数学教育研究中，一直以来人们对数学思维的研究持续不断，近十几年始终方兴未艾，几乎每一本数学教育学方面的著作都有一定篇幅论述数学思维在我国数学教育界，有从数学方法论角度去探讨数学思维，如徐利治等编著的数学方法论教程、张楚延著的数学方法论等。也有着重于从哲学、认识论与思维科学或脑科学的角度来研究数学思维，如王仲春等编著的数学思维与数学方法论，徐利治、王前著的数学与思维等。还有从数学思维教育与教学的角度来研究，例如郭思乐、喻伟著的数学思维教育论以及张乃达著的数学思维教育学1等。本文根据现行大纲要求，主要从课堂教学和学生自主学习两个方面来阐述数学思维能力的培养。数学思维教育的意义，不仅仅是为了培养数学家，而是为所有人的未来发展打下基础，在于培养人的数感、数学观念和数学思想。1在课堂教学中，充分揭示思维过程 “数学是训练思维的体操”这句名言的寓意在于我们教学要使学生感到一切都是当着学生的面发生的，而不是以教条形式灌输的。数学课堂教学中应突出数学思维过程和认知环节的实际过程，然而实际教学的缺陷之一，却恰好表现为忽视或压抑学生的思维过程，有的采取注入式和结论式教学，一猜就中，一选就准，一证就对，一用就灵，忽略了给学生思考的过程，让学生感到教师就像变魔术，捉摸不透；有的进行题海战术，强调纯技能技巧，解题程式化，让学生机械模仿，生搬硬套，造成学生思维的惰性和封闭，缺乏创造性。这些都是素质教育的大忌！数学思维过程是主体以获取数学知识，解决数学问题为目的，更是素质教育的需要。在课堂教学中，教师要注重从思维教育的角度，展示必要的数学思维过程和实际的认知过程，使学生更多地参与知识的发生发展过程。根据现使用的数学教材体系，数学课堂教学可分为概念教学、公式定理法则教学和解题教学，本人认为在课堂教学中应充分揭示以下三个思维过程。1.1抓概念教学，形成过程充分揭示概念的形成过程数学概念在数学学习过程中有着重要的地位，它类似于思维的“细胞”，必须认真构建。首先，数学概念是数学的基础知识，一切思维都是以概念为基础，凭借概念进行，大量科学知识都是以概念之间的联系表达的。其次，数学概念是逻辑的导出有关定理和法则的出发点。再次，数学概念是确定研究对象和任务的着眼点，一堂课出现的思维障碍，有许多情况是没有明确概念的内涵和外延，没有把握概念间的关系，如同一关系、交叉关系、从属关系。最后，概念是前一知识阶段发展到后一知识阶段的转折点。要使学生建立正确的概念，必须尊重学生的概念形成过程。概念的形成实质上是一种思维形式，是由具体到抽象，由感性认识到理性认识，以归纳、概括为主的思维过程。但事实上，在数学教学中，我们往往会看到这样的现象：教师对直接给出的概念作一些解释后，就立即进入运用概念，解题阶段。这种回避知识的发生过程，忽视学生对问题的感知而失去真正体会领悟知识的教法，易导致学生对问题的一知半解甚至是错误的理解。在数学教学中，每个概念的意义都必须是确定的，清晰的。例如：多项式的次数是2，如果学生没有理解多项式的次数的概念，就会出现不应有的错误，如认为该多项式次数为3。又如：初中学生如果不清楚方程和同解的概念，他们就不理解这两个等式的关系，而出现把方程过程写成之类的错误。因此教师应将此过程充分揭示出来，让学生体会到概念的形成过程，抓住数学概念的实质，进而更准确地把握概念，增强思维力，从中学到研究问题、提出概念的思想方法。在概念教学中，我们可以采用以下几种方法揭示概念的形成过程：（1）提供大量的感性材料，使模型、实物、实例成为理解数学概念的思维载体形成准确概念的首要条件，是使学生获得十分丰富且足以反映某一数学概念本质属性的感性材料。因此，在教学中要密切联系数学概念的现实原型，引导学生进行观察有关的模型、实物、实例，分析日常生活和生产十几种常见的事例，抽象出他们在形或数方面的共同性质，舍去非本质属性，突出其本质属性，在具有充分的感性认识的基础上引入概念。例如，圆的概念教学中，首先让学生讨论说出生活中所见到的实物，然后通过演示教具引导学生观察并记录在形成圆的过程中什么量变了，什么量没有变，进一步分析出圆所具有的本质属性，最后让学生从的集合的角度概括出圆的精确定义：“平面内，到定点的距离等于定长的点的集合。”从具体的例子中归纳引入新概念也属于这种方式，例如，先举出几个实例，通过观察、分析，发现它们都是研究两个相互依赖的变量与之间的变化规律；再进一步引导学生认识这些实例的共同特性：尽管所举实例的表现形式不同，有的是有一个公式反映，有的是通过一条曲线体现，有的是有一个表格给出，但他们都是对其中一个变量变化范围内的每一个值，另一个变量都有相应确定的值与之对应，且与每一个值对应的值是唯一的；这样就抽象、概括出函数概念的本质属性，最后便可以给出函数概念的描述性定义了。（2）从数学发展本身需要产生新概念并不是所有概念都能找到感性材料的。有的概念产生于实际需要，随着科学的发展而一步步发展起来的。在生产生活中，数学问题暴露出的矛盾就要求人们对已有知识进行再认识，对概念加以扩充并形成新概念，这一过程体现了思维再创造性。例如，在实数范围内，方程是没有解的。怎样才能使它有解呢？于是引入了一个新数，使得满足，它和实数在一起可以按照通常的四则运算法则，进行计算，由此再引入复数的概念。这种通过揭示复数产生背景的教学过程，可以让学生更好理解复数的意义及其在数学学习中的重要性。数学教学中应尝试从数学内在需要去引入概念，可以激发学生解决问题、进行创造的积极性，例如，讲述“一元一次不等式组及其解法”，很多教师都是先给出一元一次不等式组及其解集的定义后，再分析实例的。但是，在直接给出两个定义后，不少学生往往只能从形式上接受，并不领会它的实质。至于为什么要学习这一内容，更觉茫然。我们不妨改变教法，一开始提出问题：某校选拔参加运动会的选手，规定参加者年龄不超过20岁，不小于14岁，问有几种年龄是合适的？这样，由于学生已经有了一元一次不等式的知识经验，自己便提出了的表示式。这个表示式反映了不等式组、不等式组的解集以及解法的背景，对于学生领会一元一次不等式组及其解集的定义，具有很重要的意义。 这种形成概念的方法使学生增强了问题意识，学会了充分利用已有的认知经验进行再认识，培养了创造能力。（3）用比较的方法引入或区别概念比较是在思维中确定所研究的对象的相同点和不同点的过程，比较是一个判断性的思维过程。数学中很多概念从表面上看似乎差不多，如“大于与不小于”，“正数与非负数”，“全不相等与不全相等”，“或”与“且”。所有这些，在教学时可引导学生通过纵向比较和横向比较找出它们的异同点，从概念的内涵和外延加以区别，这样比较能使概念的本质更加明确，将新旧知识有机的联系起来，形成概念系统，使得思维更加严密。 需要注意的是，概念一旦形成，教师还应借助适量练习深化学生对概念的理解、巩固概念，最终完成“具体抽象具体”的发展阶段。由于学生亲历了由感性认识上升到理性认识的过程，不但能够准确地掌握概念，而且学生的理性思维得到了训练，思维力也得以增强。1.2. 抓公式、定理教学，揭示结论的探索、发现过程 数学教材中公式、定理的给出，基本上是数学思维结果的系统表述，采取的方式是通过演绎，将知识展开。为使教材的叙述精练简洁，数学知识和方法在教材中是以定论的形式出现的，往往看不到公式、定理的发现过程，而数学结论的发现与提出实际上经历了曲折的试验、归纳、猜想、检验等一系列探索过程。如果在数学教学过程中，教师把教材内容的安排不作处理而直截了当地呈现在学生面前，然后要求学生死记硬背公式，就会掩盖公式、定理发现的思维过程，使得大量的学生知其然而不知其所以然，对公式、定理只能进行简单的模仿，不能灵活运用，这对培养学生的数学思维能力是极为不利的。因此，教师应充分挖掘教材，对它进行充实、重组和处理，将作为思维结果的教材内容看成思维过程的材料，向学生揭示结论的探索、发现过程，使其亲历科学发现的过程，体验成功后的喜悦，促进学生思维的发展，还能使其了解结论的由来，强化对公式、定理的理解和记忆。教师在落实教学设计和实施教学过程中，要根据具体的公式、定理灵活处理。我想从以下几个方面谈谈自己的探索：（1） 通过对具体事物的观察、测量、计算等实践活动，来猜想，推出公式、定理的具体内容。例如在教学边形的外角和定理时，我的师傅宋加斌老师的一个课例，很好的揭示了其结论发现的过程。首先画了三张图：图 2.1图2.2中（1）的3个外角和设为；（2）的4个外角和设为；（3）的5个外角和设为.接着，教师提问：“你认为、这三个量中，哪一个量最大？”有的学生认为是5个角的和，因此最大；有的学生则认为虽然是5个角的和，虽然是3个角的和，但前者的每个角不一定比后者的每个角大，因此不一定最大。这时教师引导学生：“如果你站在图2.3 中的点A，视线沿着AC的方向，第一次转一个角，使你的视线方向是AP，第二次转一个角，使得你的视线AQ与BC平行，这样，图中的与式同位角， 因而相等。”学生仿照老师的办法转两次，发现正好是两个外角和.教师让学生 图2.3继续转，使得视线回到原来的位置AC.此时会发现第三次转的角与第三个外角 又是同位角，就是说转一圈，正好是三个 图2.3外角的和。便可以得出为.接着教师让学生用同样的方法研究的大小，学生会惊奇的发现仍然是转了一圈，即.教师又说：“我们再来研究的大小。”学生说：“不用转了，肯定还是一圈。”为了发展学生的空间观念，教师对图2.3又作了进一步解说：设想让三角形BC平行移动到，得图2.4的，原来的三角形“变小了”，但它的每个外角大小不变，继续让平行 移动到，三角形再“变小”，它的每个外角的大小也是不变，直至原三角形“退化”到一点（点A），或者说，使所有的外角都“聚”到一点，便得到所有外角和都是的结论。对于多边形，可以做类似的设想。最后，学生得出结论：所有外角形和都等于。为了验证学生经过实践活动所猜想的结论，教师还可带领学生进行证明，在此不再赘述。此种教学调动了学生的积极性，促进学生的心理活动更加丰富，有助于他们更深刻地认识事物的本质和规律，即使把定理彻底忘记了，仍然可以根据所学的研究方法得出结论。（2） 某些公式定理的教学，要重视推导与证明过程3。如现行数学教材中推导公式的关键是作出，但怎么想到用这一辅助角的呢？在课堂教学中应着重揭示并突出引入的思维过程，可以进行如下设计：如下图：在单位圆上 由余弦定理得 ， 由两点间距离公式得 图2.5 ， 式与式是同一关系式，于是推导受阻，再考虑在中，由余弦定理有： ， 由两点间距离公式有 ， 将式代入式得 . 推导成功，于是进一步扩大“战果”，可立即推出 . 这时再引导学生思考：我们能不能直接利用单位圆推出呢？上述推导过程表明，从推出的关键是用代替，因此在图中做出的辅助角就是很自然的了。这种服务于教材而不拘泥于教材的思路揭示，无疑可培养学生的探索能力和创新能力。1.3.抓解题教学，揭示问题解决的思路探索过程数学技能的训练和能力的培养离不开解题，解题是使学生牢固掌握数学基础知识和基本技能的必要途径，也是检验知识、运用知识的基本形式，是思维教学的核心。有效的培养数学解题能力，有助于学生进行独立的有创造性的认识活动，也可以促进数学能力的发展。然而教师在讲授例题、习题等问题的证明与求解时，往往以最简约的形式给出，省去了复杂的思路探索过程。学生学到得最多时只会解这一个题或者是机械的模仿，当面对一个新情景的问题时，便会束手无策。事实上，一种解题方法的得出并不是一蹴而就的，往往要经历艰苦的思路探索过程。面对一个问题，解题者首先是通过观察弄清问题，然后凭借已有知识和经验，作出直觉性的理解和判断，选择总体思路或入手的方向。可以应用联想、类比、想象、简单化、特殊化、一般化、数性结合、反过来想、顺推与逆推前后夹击等策略进行思路探索。每种策略就是一条思路，解题者要根据自己的经验对所选择的思路进行探索和评价，当思维受阻时，就立即进行调整，换另一条思路在进行分析思考，如此进行下去，直至探索到正确的解题思路，这是一个尝试，错误，调整，再尝试，再错误，再调整的过程。由于问题解决所重视的是实用信息和事实的能力，是解题的思维过程、策略和思维方法，是构造算法或模型的设计技巧，是把非常规题变换或变更为常规题的转化能力，因此教师要想使学生学会创造性地解决问题，提高思维能力，就必须在平时的教学中最好让学生看到另一面教师是如何碰壁的，又是怎样调整自己的解题方案的，将问题解决的思路探索过程充分暴露在学生面前，使学生从中学会问题解决的思路探索方法。 常规教学中，教师都能将解题计划的实施过程和反思过程展示在学生面前，而忽略了前两个展示思路探索过程的环节。(1)审题审题是认识问题并对其进行表征的过程。审题能力如何，直接影响到解题的成败。在课堂教学中，要引导学生分清题目的两个组成部分：条件和结论，弄清题目的结构、特征、类型等，提高学生的审题能力主要是培养分析隐藏条件的能力，化简、转化已知和未知的能力。例如8，已知方程有两个相等的实根，为的三个内角，求证三角形的三边成等差数列。 根据已知条件，很自然想到要用一元二次方程根的判别式，再用正弦定理，便可得到。因式分解，得。可见，成等差数列。这样便顺理成章的得出结论。上面的思路比较常规，学生也很容易接受，但教师的教学不能停留，要继续引导学生挖掘隐含条件，从不同角度思考，这样才能透彻的理解题意，培养学生思维的深刻性和灵活性。通过挖掘隐含条件，会发现这个方程的左边各项系数之和为零，表明使这个方程的根。根据已知条件，另一个根也必为1，于是由韦达定理，得 再由正弦定理，可得。 由此可见，在审题时，把条件和结论分析的透彻明确时发现解法的前提。要提高审题能力，就要在课堂教学中展示审题过程，有意识的培养学生具有认真审题的习惯。(2)提出解决方案解决方案就是解决问题的原则、途径和方法，提出解决方案是问题解决得以顺利进展的关键环节和核心内容。进行这一环节的教学时，要让学生清晰的认识到：解题思路的源泉是数学的基本概念、基础知识（如公式、定理）和基本技能，离开了它们，解题就成了无本之木，无源之水。因此，审题之后教师要引导学生回顾题目中涉及哪些主要概念，这些概念是如何定义的，在题目的条件和结论里，与哪些公式、定理有关，能否直接应用，思考题目所涉及的基本技能、方法。这些回顾之后若仍不能解决问题，就不妨思考是否有类似的原理、方法或者类似的结论、命题，进行大胆的猜想，化简和转化。顺推与逆推结合，一般与特殊结合，经过这样一番思考后，解题方案也就逐渐明朗清晰。2在学生自主学习中，培养数学思维能力数学教学中，教师不仅授之“鱼”，还要授之“渔”。教给学生科学而有效的学习方法比传授知识更加重要，建构主义认为，学习是学习者主动的建构活动，并非对知识的被动接受。因此，在数学教学中，教师除了充分展示数学思维的过程，还须真正确立学生学习的主体地位，给学生足够的机会和时间展示自己的思维过程，使其积极主动地去探索知识，促进学生求知欲的增强，最终能逐渐摆脱对教师的依赖，独立自主的获取新知识，理解新知识并加以灵活运用，这对培养学生的思维能力有着积极的作用。 2.1.指导学生阅读教材，培养获取新知的能力阅读是学生自学的起点，教师要适时对学生进行阅读方法的指导，及时检查自学的效果，培养其独立获取新知识的能力。（1） 指导学生带着问题阅读。“思”起于“疑”，指导学生阅读教材时，教师需将所涉及的教学要点按学生的思维层次设计分级要求，为学生的阅读指出“路线”。如在学习高一函数一节时，提出以下问题： 什么叫函数？ 什么叫做函数的定义域？ 什么是函数的值域？ 怎样求函数的解析式？这样的层次性设问，可以引导学生在阅读时定向思维，逐步理解函数的概念。（2） 指导学生有针对性地阅读。学生学习的过程是一个解惑排难的过程，当学生有惑待解，有难需排时，教师不宜急于解答学生的问题，而要不失时机的启发学生针对性地阅读，让学生自己排疑解难，获得成功喜悦，提高学生学习数学的兴趣和独立阅读的自信心。2.2.指导学生整理知识，养成反思的习惯 在教学中，让学生养成反思的习惯是发展学生思维能力的重要途径。学习结束后，学生应能对所学知识进行及时整理，反思自己学习、思维过程中所走过的路，反思自己获得数学概念，发现公式、定理的过程以及题目的解答过程，反思自己在完成任务过程中所遇到的障碍以及所用策略的有效性等。在课堂上老师可引导学生从以下两个方面入手。 （1）在教完每章每节后，指导学生对知识分章节进行系统地梳理，让学生对每章每节每册的内容在大脑中形成清晰的知识网络，学完每章每节后，对数学的概念、公式、定理、典型例题、习题进行全面的回顾，形成“数学知识树”。 可以对所学知识进行科学划分，能清晰的构成概念系统，纲举目张，便于理解和复习整理。如将数系划分为： 在归纳知识系统时可串联不同层次的类似内容，以帮助理解和记忆，这种通过类比的方法既是数学学习的重要方法，也是数学发现的有效方法，其思维作用包含着整理性和探索发现性。 （2）在解题后，指导学生认真考虑解题过程，进行反思，提高解题能力 善于进行总结解题后，可以从解题方法、解题规律、解题策略等方面进行多角度，多侧面地总结。这样才能举一反三，触类旁通，提高解题能力。例如10，若抛物线上存在关于直线对称的两个不同点，求的取值范围。通过审题，可以知道要求的取值范围，可考虑得到一个关于的不等式。因此构造一个关于的不等式成了问题解决的出发点和突破口。分析1 若能得到一个系数与得有关二次方程，且此方程有实根，则有不等式。基于这一思路，可有下面解法：设是抛物线上的点，则关于直线的对称点也在该抛物线上，故有两式相减得因为点不在直线上，则有，此即为直线的方程，与联立，即得该方程有两个不等实根， 即.此解法思路比较简单，也是最常规的方法，借助判别式构造不等式，简捷明了。分析2 设是线段的中点，如图3.1，由于是介于与之间，故必有据此有下面解法：设直线的方程，与抛物线方程联立，并消去得， 又由得即, 解得 图3.1这个解题的策略在于问题的转化，借助数形结合的方法来求得的取值范围。无论哪种解法，都应将解题方法及时进行归纳总结，以促进解题能力的提高。善于引申解完一道题后，要善于指导学生将题目“改头换面”，变成多个与原题内容或形式不同，但解法类似的题目，这样可以扩大视野，深化知识，悟出解题的真谛，从而提高解题能力。例如5,如图3.2 ，边长为4的正方形，截去一角成五边形，其中