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长沙市第一中学高二数学备课组3.1.2空间向量的数乘运算(一)教学目标:1 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论;2掌握空间直线、空间平面的向量方程和线段中点的向量公式教学重点:难点:共线、共面定理及其应用教学过程:1、 复习旧知空间向量的概念及表示;见学案的学法导引 二 、新课讲解(1)共线(平行)向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作:平行于,记作:问题1:两个向量共线,两个向量所在直线是否共线?2共线向量定理:对空间任意两个向量的充要条件是存在实数,使(唯一)问题2:共线向量定理定理的充分性与必要性分别是什么?问题3;为什么要强调其中一个向量不为零向量?推论:如果为经过已知点,且平行于已知向量的直线,那么对空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,满足等式 ,其中向量叫做直线的方向向量。在上取,则式可化为或当时,点是线段的中点,此时和都叫空间直线的向量表示式,是线段的中点公式(1)空间任意一直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定;(2)利用(2)式可以判定空间任意三点A、B、P共线。(有三种方式:,)例1设是平面上不共线的向量,、,若A、B、D三点共线,则k= 。(-8)例2如图:ABCD-ABEF都是平行四边形,且不共面,M、N分别是AC、BF的中点,判断、是否共线?3向量与平面平行:已知平面和向量,作,如果直线平行于或在内,那么我们说向量平行于平面,记作:通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量说明:空间任意的两向量都是共面的空间任意的三向量不一定是共面的4共面向量定理:如果两个向量不共线,与向量共面的充要条件是存在实数使问题4:共面向量定理定理的充分性与必要性分别是什么?推论:空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对,使或对空间任一点,有, 式叫做平面的向量表达式 二 、新课讲解例3已知三点不共线,对平面外任一点,满足条件,试判断:点与是否一定共面?解:由题意:, ,即, 所以,点与共面问题5:对空间任一点和不共线的三点,问满足向量式 (其中)的四点是否共面?解:, , 点与点共面练习:(1)已知A、B、M三点不共线,对于平面ABM外一点O,给定的下列条件,点P与A、B、M是否共面? (1) (2)(2) (3)例4:习案28的第2题与学案28的第2题 三 、课堂练习1已知分别是空间四边形边的中点,(1)用向量法证明:四点共面;(2)用向量法证明:平面2
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