在高中数学应用题教学中开展研究性学习的认识与实践.doc

在高中数学应用题教学中开展研究性学习的认识与实践 厦门市杏南中学：陈文庆 从1993年以来，应用题作为高考的热点问题而倍受人们广泛关注，它也已经成为每年高考必考题，而且还在加大考查的力度。这给学生的能力提出了挑战，也对从事数学应用题教学提出了新的要求。高考应用题发挥了良好的甄别和选拔功能，而其中体现的研究性学习的教育理念具有鲜明的时代特色，是高考应用问题命制的又一新的探索和突破。研究性学习课程作为重要内容已被我国，国家教育部于2000年1月颁布的亦把研究性学习课程规定为重要内容。研究性学习课程作为一个独具特色的课程领域，首次成为我国基础教育课程体系的有机构成，被公认为是当前课程改革的一大亮点。在高中数学应用题教学中，应自觉体现研究性学习的这些基本特征，本文拟结合教学实践，谈谈在高中数学应用题教学中涉透数学研究性学习的认识和一些做法。一、对数学研究性学习的认识 数学研究性学习是学生数学学习的一个有机组成部分，是在基础性、拓展性课程学习的基础上，进一步鼓励学生运用所学知识解决数学的和现实的问题的一种有意义的主动学习，是以学生动手动脑主动探索实践和相互交流为主要学习方式的学习研究活动。数学研究性学习具有整体性、实践性、生成性、自主性、开放性和协作性等基本特性，是师生共同探索新知识的学习过程，是师生围绕着解决问题共同完成研究内容的确定、方法的选择以及为解决问题相互合作和交流的过程。二、在应用题教学中开展研究性学习的做法1、 关注学生整体发展，创设合理的问题情境研究性学课程具有整体性。研究性学课程主题的选择范围应包括学生本人、社会生活和自然世界。对任何主题的探究都必须体现个人、社会、自然的内在整合，体现科学、艺术、道德的内在整合。如例1：2002年全国高考题：某市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车不应超过多少辆？本题体现了人与自然的协调发展，社会经济与环境保护协调的以人为本的社会发展战略。这就要求师生要不断吸收新知识、新信息和新材料，及时了解社会热点问题，把课本内容引出课堂，把生活实践引入课堂，用课本知识分析解决社会热点问题。而不是永远照搬课本上的陈旧的甚至与现实生活不相符合的例子。如在一章的实习作业中，我们可依据我市城市建设发展的特点，让学生解决下面问题：例2：我市2005年初有常住人口200万，流动人口50万，已知流动人口的年增长率为1%，常住人口的年增长率为0.5%，请你预测到2055年初我市拥有的人口数。如在一节中，我就学校即将建造的科技综合楼让学生作如下探讨：例3：房屋建筑成本由土地使用权取得费和材料工程费两部分组成。设我市今年的土地使用权取得费为2000元/m2；材料工程费在建造第一层时为400元/m2，以后每增加一层费用增加40元/m2，请你帮助设计学校科技综合大楼的层数，使每层每平方米建筑面积的平均成本最省。略解：设学校科技综合大楼共层，底层的建筑面积为S，则总成本费为F=2000S+400S+480S+400+(n-1)40S =(20n2+380n+2000)S故每层每平方米建筑面积的平均成本费为f=380+20n+当且仅当20n=，即n=10时等号成立。所以当学校科技综合大楼的层数为10层时，每层每平方米建筑面积的平均成本费最低为780元/m2通过这样设计研究使学生的思维与问题情景的距离接近了，学生可以设想问题涉及的具体模型，充分发挥了自己的创造性思维，培养学生用数学的意识，享受学数学和用数学的乐趣。这对于改进传统数学教学模式，推进数学教学改革是十分有利的。2、 关注学生思维发展和生成过程，增强实践动手能力应用问题的实践性反映了研究性学习课程的特色。教学中应以学生的现实生活和社会实践为基础，挖掘信息资源。如例4：02年高考题：在用三角形剪拼折叠成多面体的问题中，给出基本条件，即“两块相同的正三角形纸片”；提出基本要求：用其中一块剪拼成正三棱锥，另一块剪拼成正三棱柱，使它们的全面积与原来的三角形面积相等。要求学生观察、思考、实验、探究、创作，是一个“考察”和“做”的过程，以思维和活动为主要形式，强调学生的亲身经历，要求学生积极参与活动。在第二问中将感性的、形象的思维上升到理性的、逻辑的思维，应用立几的基本原理进行比较和计算。在此基础上，进一步总结一般规律，因为第三问又提出了更高的要求,学生要将两题的条件和结论加以比较，条件一般化：由“正三角形”变为“任意三角形”；同时要求也降低了：由“正三棱柱”变为“直三棱柱”。但其中不变的是什么？本题是在涂、画、剪拼、组合、探索、尝试等一系列的活动中发现和解决问题，体验和感受生活，发展实践能力和创新能力。这就要求教师要建立以人为本的学生主体观，要为学生提供一个学数学、做数学、用数学的环境和动脑、动手的自学实践时间，并充分表达自己的想法的机会，在我校开设数学校本课程时，笔者使用的教材中有这样一个问题：例5：一条河宽1km，两岸各有城镇A与B，A与B的直线距离为4km，今需铺设一条电缆连结A与B，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假设两岸为平行的直线，问应如何架设电缆方可使总的修建费用最少？教材中提供了两种常见的解法，而我在本节课教学时，先让学生就题目分小组分析讨论，有一个学生运用转化、构造的数学思想提出了一种更为简洁的解法，教材中的解法利用了公式“总的修建费用=2陆路距离+4水路距离”，该学生根据单位长度地下与水下电缆的修建费用之比为1：2的关系作出了以下大胆构造：如图1，过点A作与AO成300的射线AL，过N作NPAL于P，过B作BQAL于Q，BQ交AO于M(如图1所示)，则MBO=MAQ=300，总的修建费用S=2陆路距离+4水路距离 =4陆路距离的一半+4水路距离 =4(NP+BN)图1当且仅当点N与M重合时成立，这时巧妙的解法赢得了大家的称赞，许多学生拍案叫绝，我和学生一起分享了这一创新的成果，这时我深切地感到了只有在这种民主、和谐、自由的课堂学习氛围中，才能为学生提供一个展现他们创造力的舞台，蕴藏在学生身上的禀赋和创造潜能才能得到最大限度的开发。3、 关注学生个性发展，贯彻多元化评价理念研究性学习课程具有开放性。研究性学习课程面向每一个学生的个性发展，尊重每一个学生的特殊需要。关注学生在活动过程中所产生的丰富多彩的学习体验和个性的创造性表现，其评价具有多元性，因而其活动过程与结果均具有开放性。对此教学中我们既要兼顾全体学生的发展，又要为思维敏捷，能力超长的学生提供展示其才能的机会。从数学考试中引进一定的结合现实背景的问题和开放性问题，已引起了广大数学教育工作者的极大关注，开放题的研究已成为数学教育的一个热点。有了开放的意识，加上方法指导，开放才会成为可能。开放问题的构建主要从两个方面进行，其一是问题本身的开放而获得新问题，其二是问题解法的开放而获得新思路。21n3456780.250.50.751.01.25图2比如就上面的例3，可增设以下两问：例6：房屋造价(元/m2)与建筑层数有关，可表示为一般造价(元/m2)乘以层数系数。根据经验数据，给出其关系如图2，其中2层到5层建筑，由于共用地基和层顶等原因，随层数增加沿抛物线下降，而5层到8层及以上则由于防震、防风等因素需增加成本，随层数增加而增加。(1)请根据所给图与表格建立随层数增加而改变的函数关系式=f(n)()，并将表中数据填齐：n123456781.081.0311.081.171.26(2)某单位为建造楼房筹集资金850万元，用于支付房屋造价和土地使用权购置费，若一般造价为800元/m2，土地价为300元/亩(1亩=6000/9m2)，试利用(1)中条件求出最多能建房多少m2(精确到1m2)?此问题的实际背景是结合我校在建综合楼而设置的，问题(1)是根据经验数据建立函数式，而问题(2)则是在总造价一定的情况下求总建筑面积最多的问题，即要求单位建筑面积造价最低，是在例2的基础的继承和发展，并延伸为解决一般问题的方法，体现出由特殊到一般、一般再到特殊的思维顺序。再如例7：“已知,并且，求证（高中代数第二册(上)第12页例2）”除教材介绍的方法外，根据目标的结构特征，改变一下考察问题的角度，或同时对目标的结构作些调整、重新组合，可获得如下思路：两点（b,a）、(-m,-m)的连线的斜率大于两点（b,a）、(0,0)的连线的斜率；b个单位溶液(糖水)中有a个单位溶质(糖)，其浓度小于加入m个单位溶质后的浓度(也即糖水更甜了)；建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比不小于10%，并且这个比越大，住宅的采光条件越好。问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏了？如例8：试用实际例子说明函数所表示的意义。给变量赋予不同的内涵，就可得出函数不同的解释，从物理和经济两个角度出发给出实例。设x表示时间（单位：s），y表示速度（单位：m/s），开始计时后质点以10m/s的初速度作匀加速运动，加速度为2m/s2，5秒钟后质点以20/s的速度作匀速运动，10秒钟后质点以-2m/s2的加速度作匀减速运动，直到质点运动到20秒末停下。季节性服饰在当季即将到来之时，价格呈上升趋势，设某服饰开始时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售，10周后当季即将过去，平均每周削价2元，直到20周末该服饰不再销售。研究性学习的开展需要有合适的载体，而数学开放题作为研究性学习的载体，满足了学生求知的欲望，充分调动了学生学习数学的积极性，使学生创造潜能得到了极大的发挥。实践证明，数学开放题用于研究性学习是合适的。如前所述，研究性学习植根于学生的本性，尊重每一个学生个性的独特性与具体性，因此，它必然是面向全体学生的，同时为“尖子”学生提供发展空间；秉持多元价值标准，而不是划一标准。高考应用题的创新设计正在逐步实现着研究性学习的教育目标。三、关于在应用题教学中研究性学习内容选择的认识1、要充分发挥课本中应用问题的辐射作用在新教材中，每章都有多处内容、习题涉及到数学的应用问题：第一册中有：水池、寄信邮资、细胞分裂、钢板下料等应用问题；第二册有：堆放钢管、升价降价、增长率问题、深度问题、排列组合、概率问题等等。中有围绕异面直线的距离、最短距离问题，侧面展开图等等而展开的实际应用问题；中有拱桥、天体运行轨道、平抛运动、探照灯反射面等等。另外有六个研究性学习参考课题：数列在分期付款中的应用，向量在物理中的应用，线性规划的实际应用，多面体欧拉定理的发现；杨辉三角，定积分在经济生活中的应用。尽管这些问题有些比较简单，但它们仍然为将实际问题“数学化”提供了丰富的材料和最基本的实例。我们应充分挖掘这些实际应用问题的潜力，从中体味所用的数学知识、方法和思想，帮助学生在学习过程中储存一些“基本模式”，为以后进行应用问题的教学打下坚实的基础。2、通过学生社会实践获取信息和研究素材学生通过对事物的观察、了解并亲身参与取得的第一手资料，可以用所学的数学知识予以解决。如以下的问题均可作为数学研究性问题来进行讨论：购房贷款决策问题 （通过调查银行利率，利税及房价决定哪种方式购房划算）对当地或国家近年来人口增长的情况调查，预测今后人口数量，给政府提出几点建议。气象学中的数学问题 （温度、湿度、空气污染指数、臭氧层的变化）当地耕地面积的变化情况，预测今后的耕地面积。拍照取景角最大问题；足球运动员在何处射门最好(不考虑其它因素)等商品营销策略问题:1)调查某种商品的销量与它的利润的关系,并决策如何可使其获利最大?2)对报亭买报情况调查，（进价、售价，及卖不出去而退回每份赔钱多少），统计一个月的销售情况，问怎样决策收益最大？总之，在数学应用的教学中开展研究性学习活动符合社会需要，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于增加学生的应用意识，有利于