2019高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系单元测试（一）新人教A版必修2.docx

第二章 点、直线、平面之间的位置关系注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1长方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于（ ）A30B45C60 D902已知平面和直线l，则内至少有一条直线与l（ ）A平行 B相交C垂直 D异面3下列命题中，错误的是（ ）A一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交B平行于同一平面的两个不同平面平行C若直线l不平行于平面，则在平面内不存在与l平行的直线D如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面4已知、是两个平面，直线，若以l；l；中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有（ ）A；B；C；D；5对于两条不相交的空间直线a与b，必存在平面，使得（ ）Aa，b Ba，bCa，b Da，b6设直线l平面，过平面外一点A与l，都成30角的直线有（ ）A1条 B2条C3条 D4条7如图，A是平面BCD外一点，E、F、G分别是BD、DC、CA的中点，设过这三点的平面为，则在图中的6条直线AB、AC、AD、BC、CD、DB中，与平面平行的直线有（ ）A0条 B1条C2条 D3条8已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心O，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为（ ）A BC D9等腰RtABC中，ABBC1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角CBMA的大小为（ ）A30 B60C90 D12010如图，l，A，B到l的距离分别是a和b，AB与，所成的角分别是和，AB在，内的射影长分别是m和n，若，则（ ）ABCD11如图，在三棱柱ABCABC中，点E，F，H，K分别为AC，CB，AB，BC的中点，G为ABC的重心，从K，H，G，B中取一点作为P，使得该三棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则点P为（ ）AKBHCGDB12如图，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是（ ）A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13直线l与平面所成角为30，lA，m，则m与l所成角的取值范围是_14如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若B1MN是直角，则C1MN等于_15如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD（只要填写一个你认为是正确的条件即可）16如图正方体ABCDA1B1C1D1，棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上的动点，过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号）当时，S为四边形当CQ时，S为等腰梯形当CQ时，S与C1D1交点满足C1R1当时，S为六边形当CQ1时，S的面积为三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）如图，在三棱锥PABC中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点，已知PAAC，PA6，BC8，DF5求证：（1）直线PA面DEF；（2）平面BDE平面ABC18(12分)如下图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点D是AB的中点（1）求证：ACBC1；（2）求证：AC1平面CDB1；（3）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值19（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABAC2AA12，BAC120，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点（1）在平面ABC内，试作出过点P与平面 A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面ADD1A1；（2）设（1）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1QC1D的体积（锥体体积公式：VSh，其中S为底面面积，h为高）20（12分）如下图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是CD的中点（1）证明：CD平面PAE；（2）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥PABCD的体积21（12分）如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60，（1）求三棱锥PABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值22（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB3，AD2，PA2，PD，PAB60（1）求证：AD平面PAB；（2）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；（3）求二面角PBDA的正切值2018-2019学年必修二第二章训练卷点、直线、平面之间的位置关系（一）答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1【答案】D【解析】由于ADA1D1，则BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显BAD90故选D2【答案】C【解析】1直线l与平面斜交时，在平面内不存在与l平行的直线，A错；2l时，在内不存在直线与l异面，D错；3l时，在内不存在直线与l相交无论哪种情形在平面内都有无数条直线与l垂直故选C3【答案】C【解析】直线l不平行于平面，可能直线l在平面内，此时，在平面内存在与l平行的直线故选C4【答案】A【解析】因为，所以在内找到一条直线m，使m，又因为l，所以lm又因为，所以l，即；因为l，所以过l可作一平面n，所以ln，又因为l，所以n，又因为n，所以，即故选A5【答案】B【解析】因为已知两条不相交的空间直线a和b所以可以在直线a上任取一点A，则过A作直线cb，则过a，c必存在平面且使得a，b6【答案】B【解析】如图，和成30角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当ABCACB30且BCl时，直线AC，AB都满足条件，故选B7【答案】C【解析】显然AB与平面相交，且交点是AB中点，AB，AC，DB，DC四条直线均与平面相交在BCD中，由已知得EFBC，又EF，BC同理，AD，在题图中的6条直线中，与平面平行的直线有2条，故选C8【答案】B【解析】由题意知三棱锥A1ABC为正四面体，设棱长为a，则AB1a，棱柱的高A1Oa（即点B1到底面ABC的距离），故AB1与底面ABC所成角的正弦值为故选B9【答案】C【解析】如图，由ABBC1，ABC90，知ACM为AC的中点，MCAM，且CMBM，AMBM，CMA为二面角CBMA的平面角AC1，MCMA，MC2MA2AC2，CMA90，故选C10【答案】D【解析】由勾股定理得又，由已知得sin，sin，而，又，故选D11【答案】C【解析】应用验证法：选G点为P时，EFAB且EFAB，此时恰有AB和AB平行于平面PEF，故选C12【答案】D【解析】由平面图形易知BDC90平面ABD平面BCD，CDBD，CD平面ABDCDAB又ABAD，CDADD，AB平面ADC又AB平面ABC，平面ADC平面ABC故选D二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13【答案】30，90【解析】直线l与平面所成的30的角为m与l所成角的最小值，当m在内适当旋转就可以得到lm，即m与l所成角的最大值为9014【答案】90【解析】因为C1B1平面ABB1A1，MN平面ABB1A1，所以C1B1MN又因为MNMB1，MB1，C1B1平面C1MB1，MB1C1B1B1，所以MN平面C1MB1，所以MNC1M，所以C1MN9015【答案】DMPC（或BMPC）【解析】连接AC，则BDAC，由PA底面ABCD，可知BDPA，BD平面PAC，BDPC故当DMPC(或BMPC)时，平面MBD平面PCD16【答案】【解析】设截面与DD1相交于T，则ATPQ，且AT2PQDT2CQ对于，当时，则，所以截面S为四边形，且S为梯形，所以为真对于，当CQ时，DT1，T与D重合，截面S为四边形APQD1，所以APD1Q，截面为等腰梯形，所以为真对于，当CQ，QC1，DT，D1T，利用三角形相似解得，C1R1，所以为真对于，当时，截面S与线段A1D1，D1C1相交，所以四边形S为五边形，所以为假对于，当CQ1时，Q与C1重合，截面S与线段A1D1相交于中点G，即即为菱形APC1G，对角线长度为和，S的面积为，所以为真，综上，选三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）在PAC中，D、E分别为PC、AC中点，则PADE，PA面DEF，DE面DEF，因此PA面DEF（2）DEF中，DEPA3，EFBC4，DF5，DF2DE2EF2，DEEF，又PAAC，DEACDE面ABC，面BDE面ABC18【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）证明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面三边长AC3，BC4，AB5，ACBC又C1CACAC平面BCC1B1BC1平面BCC1B，ACBC1（2）证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，又四边形BCC1B1为正方形D是AB的中点，E是BC1的中点，DEAC1DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1（3）解：DEAC1，CED为AC1与B1C所成的角在CED中，EDAC1，CDAB，CECB1，异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为19【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行理由如下：由于直线l不在平面A1BC内，lBC，故直线l与平面A1BC平行在ABC中，ABAC，D是线段AC的中点，ADBC，lAD又AA1底面ABC，AA1l而AA1ADA，直线l平面ADD1A1（2）过点D作DEAC于点E侧棱AA1底面ABC，三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，则易得DE平面AA1C1C在RtACD中，AC2，CAD60，ADACcos601，DEADsin60SQA1C1A1C1AA1211，三棱锥A1QC1D的体积20【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：如下图所示，连接AC，由AB4，BC3，ABC90，得AC5又AD5，E是CD的中点，所以CDAEPA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD平面PAE（2）过点B作BGCD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF由（1）CD平面PAE知，BG平面PAE于是BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BGAE由PA平面ABCD知，PBA为直线PB与平面ABCD所成的角由题意，知PBABPF，因为，所以PABF由DABABC90，知ADBC，又BGCD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GDBC3于是AG2在RtBAG中，AB4，AG2，BGAF，所以， 于是PABF又梯形ABCD的面积为S(53)416，所以四棱锥PABCD的体积为VSPA1621【答案】（1）；（2）见解析，【解析】（1）在ABC中，AB1，AC2，BAC60SABCABACsinBAC12sin60又PA面ABC，PA是三棱锥PABC的高，（2）过点B作BN垂直AC于点N，过N作NMPA交PC于M，则ACBM，此时M即为所找点，在ABN中，易知AN22【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】（1）证明：在PAD中，PA2，AD2，PD，PA2AD2PD2，ADPA在矩形ABCD中，ADABPAABA，AD平面PAB（2）BCAD，PCB是异面直线PC与AD所成的角在PAB中，由余弦定理得PB由（1）知AD