北京四中含绝对值符号的不等式的解法与证明.doc

含绝对值符号的不等式的解法与证明重点难点 1实数绝对值的定义: |a|=这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。 2最简单的含绝对值符号的不等式的解。 若a0时，则 |x|a -axa xa。 注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。 3常用的同解变形 |f(x)|g(x) -g(x)f(x)g(x) f(x)g(x)；|f(x)|g(x)| f2(x)g2(x)。 4三角形不等式: |a|-|b|ab|a|+|b|。 例题选讲: 例1解不等式 |x2+4x-1|4. 解: -4x2+4x-14 -5x-3或-1x2x. 解: x2-32x x2+2x-30 -3x1或x3 x3。 即原不等式的解集（-，1）（3，+）。 例3解不等式|1. 解: (2) |2x+3|2|x-1|2 (2x+3)2-(x-1)20 (2x+3-x+1)(2x+3+x-1)0 (x+4)(3x+2)0,-4x-。 (3) x1。 原不等式的解集为-4，-。 例4解不等式|x+1|+|x-2|5. 分析:为了去掉绝对值符号，首先找到两式的零点-1和2，它们把（-，+）分成了三个区间；（-，-1），-1，2，（2，+）。从而可将不等式化为三个不等式组。求它们的解集的并集即可。 解:将不等式化为三个不等式组 （I） -2x-1；（II） -1x2；（III） 2x3。 原不等式的解集为(-2,-1)-1,2(2,3)，即（-2，3）。 例5解不等式|x+1|+|x-2|1。 解: |x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3， 原不等式无解。说明:本题没有采用例4的解法，而是利用三角形不等式直接判断出结果。它提示我们今后解这一类问题，应先判断。 例6已知:|a|1, |b|1。求证:|1. 证法1：欲证，只需证1, 只需证|a+b|1+ab|, 只需证(a+b)2(1+ab)2, 只需证(a+b)2-(1+ab)20, 只需证(a2+b2-a2b2-1)0, 只需证-(a2-1)(b2-1)0. |a|1, |b|1。a21, b21，即a2-10, b2-10。式成立， 原不等式成立。 证法2：欲证，只需证-11, 只需证（+1）（-1）0, 只需证 0, 只需证 0, 只需证 0. |a|1, |b|1, a21, b21，即a2-10, b2-10, 式成立， 原不等式成立。 例7求证:+。 证法1: |a+b|(1+|a|+|b|)(|a|+|b|)(1+|a+b|) |a+b|a|+|b|。 上式显然成立， 成立。 又=+。 原命题成立。 证法2：这里只证明分析:观察两式结构均为的形式，又|a+b|a|+|b|，而原不等式要成立，只需证明函数y=在0，+）上单调递增即可。 证明:设0x1x2, 则-=， 0x1x2, x2-x10, 1+x10, 1+x20, 0。 -0, 即, 设x1=|a+b|, x2=|a|+|b| |a+b|a|+|b|, 。 参考练习: 1解不等式 |x2+3x-8|10。 2解不等式 |x+7|-|x-2|1。 4解不等式 |log3x|+|log3(3-x)|1。 5求y=的值域。 6设f(x)=x2+ax+b是整系数二次三项式，求证:|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|,不可能同时成立。 7已知|x|, |y|, |z|0)。求证:|x+2y-3z|。 参考答案: 1. -6, -2-1, 3；2. (-, -1)；3. , 2)(6, +)；4. 提示:首先求定义域（0，3）。其次求出二零点1，2。分三个区间（0，1，（1，2，（2，3）解即可。解集（0，3）。 5提示:可用反解法解出sinx=，则解不等式|1得y-4, -。 6提示:用反证法 略证:假设|1+a+b|, |4+2a+b|, 及|9+3a+b|0的解集是( ) A.x B. x或x- C. x- D. x-1 窗体底端窗体顶端2不等式|x-2|+|x+2|5B.x2C. -5x7 窗体底端窗体顶端3解关于x的不等式x2-2ax-a2+1( ) A.a-1xa+1B.a+1xa-1 C.axa+1D.a-1xa 窗体底端窗体顶端4解不等式( ) A.x2 B.x=-2或 C.D.x=-2 窗体底端窗体顶端5解不等式：( ) A.B. C.D.答案与解析 答案：1、B 2、C 3、A 4、B 5、A解析：1.分析：首先观察不等式，不难发现(1+|x|)是非负的，所以(|2x+1|-4)必须大于0。解(|2x+1|-4)0就可以了。2.分析：首先寻找零点，就是|x-2|=0和|x+2|=0，得到x=2和x=-2。然后分x-2和-2x2和2x三个区间分别去掉绝对值符号求解。 注：也可取特殊值代入验证：0满足不等式，所以解集中应该有0，排除A、D；再代入-5验证。 3.分析：原不等式等价于 x2-2ax+a21。即 (x-a)21，-1x-a1。 原不等式的解集为a-1xa+1。4.分析：原不等式5.分析：原不等式 绝对值不等式内容归纳 1、含有绝对值的不等式的性质 (1) |a|-|b|a+b|a|+|b| 证明： -|a|a|a|, -|b|b|b|, -(|a|+|b|)a+b(|a|+|b|), |a+b|a|+|b|. 又 a=a+b-b, |-b|=|b| 由得|a|=|a+b-b|a+b|+|-b|，即|a|-|b|a+b|. 由得 |a|-|b|a+b|a|+|b| 由以上定理很容易推得以下的结论： (2) |a|-|b|a-b|a|+|b| (3) |a1+a2+a3|a1|+|a2|+|a3| 2 几个基本不等式的解集 (1) |x|a-ax0)(2) |x|axa或x0)(3) |x-m|0)-ax-mam-axa(a0)x-ma或x-mm+a 或 x|g(x)|f2(x)g2(x) |f(x)|g(x)f(x)g(x) 或 f(x)-g(x) |f(x)|g(x)-g(x)f(x)|b| (2) |a+b|a|+|b|取等号a,b同号 (3) |a|-|b|a-b|取等号a,b同号且|a|b| (4) |a-b|a|+|b|取等号a,b异号7拓展 (1)定理在形式上包含两部分：|a+b|a|+|b|和|a|-|b|a+b|，但|a|-|b|a+b|a+b+(-b)|a+b|+|(-b)|，这说明前者与后者在本质上是一致的，故可先证明前者，再由前者推出后者。 (2)定理可改写为|a|-|b|a+b|a|+|b|，当a,b同号或至少有一个为0时右侧等号成立，当a,b异号或至少有一为0时左侧等号成立。等号成立的条件常可用于求最值问题。 (3)推论1：|a1+a2