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高二数学竞赛辅导第三讲 立体几何解题的基本策略 一、点、线、面间关系的转化 立体几何的知识告诉我们，最核心的内 容是线面间的的垂直、平行关系，而它们又 通过判定定理、性质定理而相互转化。定理 的应用过程实质上就是下述诸关系的联系与 转化。 点面 点点 点线 线面 面面 线线 例1 (如图) 二面角 AB 的平面角为 300，在上作 ADAB，AD=10，过D作 CD于D,若ACB = 600，求AC与BD的 距离。 解 作BEAC，CEAB,连 EC,ED，则AC面BCE，直线AC到 面BDE的距离就是AC到BD的 距离. 这时，AC上任一点到面BDE的距离 就是所求. C B E A H D 由DC知，DCAC;又AD AB，根据三垂线定理 ， AC AB.但ABAC,故AC CE.从而AC 面CDE 。又 BEAC ,得BE 面CDE, 进而面BDE面CDE， 在RtCDE上作高CH，由RtACD中, CAD = 300为二面 角的平面角. AD =10, 得AC = 5 , CD = 5; 又在RtABC 中， ACB = 600 ,有CE=AB = AC = 15, 最后在 RtACD 中，由CE=AB =15, 得DE = 5 , 从而CH = = 三个步骤: 一、线线距离转化为线面距离 A B C D E H 二、再转化为点面距离 三、计算距离 解法二 用体积法计算 VD-BCE=VC-BDE. 解法三 外接于一个长方体用补形的方法解决 C E B A D H 二、 平 面 化 的 思 考 在空间,选取一个恰当的平面,使问题在这个平面上获得突 破性的进展,甚至全部解决,是一种自然而重要的思考,怎样选 取平面呢?有以下几个主要方法 1、 截面法 2、隔离法 3、展平法 4、投影法 例2、 在正方体ABCDA1B1C1D1中，设C1 D1 B 所在的半 平面为 ，C D1 B所在的半平面为 ，BD1 所在的直线是 与 的交线。求二面角 BD1 的度数 A B C D A1B1 C1D1 M N 因为二面角的平面角的度数是 由相应平面角的来表示的，所以解 题的一个方向是找平面角。 分析 解 在平面 A B C1 D1 上，由 点 A 向 B D1 引垂线，与BD 1 交于M,与BC1 交于N，连CM， 由于正方体关于面BB1D1D的对 称性，必有CMBD1 ，因此， NMC就是二面角的平面 设正方体的棱长为，则AC2 =CD12 =2a2 ，AM2 =MC2 = a2 ,在 AMC中，由余弦定 理得 AMC=1200 ，从而 MAC=600 ，即二面角 BD1 的度数为600。 M C D A B N A B C D M N 例5、若空间四边形的两组对边相等，则两条对角线的中点 连线垂直对角线。 三、 图 形 变 换 证明 如图，空间四边形ABCD中，M,N是对角AC,BD的中 点，现将A与C交换,B与D交换，得到同一位置的空间四边形 ，而这个四边形又可看作一个绕着某一轴（轴对称）旋转1800 得到另一个，由A与C关M于对称，B与D关于N 对称知，对称 轴必经过MN，从MNAC，MNBD。 A B C D M M C D A B N 证明2、 将ACD 绕AC展平到面ACD上，得 ABCD，则 BD与AC相交与M，BM=MD。再将图形复原，由BM=MD， BN=ND知MN是等腰三角形MBD 底边上的高，有 MNBD。 同理MNAC。 D C B A N M 图形变换包括 1、空间的对称 2、空间的旋转 3、空间的折叠 4、空间的展平 直观上补充成为长方体，则MN是上下底面中 心的连线，它与上下底面都垂直，当然是同时垂 直于AC,BD. C1 C1 C A A BC D D B1 D1 例4、 如图，已知给一个长方体，其共顶点的3条棱互不相 等，现在要由一顶点沿表面到对角顶点，求最短的线路。 AB D C A1B1 C1 D1 分析： 将长方体各面展于同一 平面上（可省去底面ABCD ）由两点间距离最短知， 有三条相对短的走法，设 三条共点棱长为AB=a, AD=b， AA1 =c，且由勾 股定理可算 得AFC1最短。 F F 四、 体 积 法 用两种方法计算同一体积，从而得出未知数的等量关 系，这是平面几何的面积法的直接推广，用这种方法求点 到平面的距离时，可免去找距离线段或论证垂直关系的推 理过程，在种方法多用于四面体和长方体，因为它们对底 面的选择有很大的自由度，可以方便地“换底” 例5 如图，已知ABCD是边长 为4的正方形，E，F 分别是 AB ,AD 的中点，CG 垂直于 ABCD 所在的平面，且 CG=2， 求 B 点到平面 GEF 的距离。 E F C AB D G E F A B C D G H 解连BF，BG ,有 =2 记 H 为AC与EF的 交点，由CG为平 面AC的垂线， ACEF知， CHEF,且由 ， 知， 根据等积关系 ，有 得到 B 到平面 GEF 的距离是 . 五、 基 本 图 形 法 立体几何中的基本图形是正方体，熟练掌握正方体的基 本性质和各类线面关系，对于解题是非常有益的，一旦遇到 新问题，我们或者补充为一个正方体，或者分割成几个正方 体，“能割善补”是学习立体几何的诀窍。 例6 有三个边长为的正方形，分别将每一个正方形的 一个角按两邻边中点连线剪下，按图分别接在边长为 a的 正六边形各边上，然后沿正六边形各边将其余部分折起，如 图，求所成立体图形的体积。 P P P H H H K K K G G G AB C DE F G K F E D C B A P H 解法一 （分割）将 立体图形分割为一个正六棱 锥PABCDEF与三个三棱锥P GAF, PHBC,PKDE之和 。 H P K G A B C D E F 解法二 （补充）将立体图形补充为一 个正方体如图， 得 V = a3 则所求的立体图形体积 是正方体体积的一半 六、 投 影 法 投影是实现平面化思考的一条途径,同时也是处理更广 泛空间问题的一个通法. 例7 设PP1 , QQ1是空间中两条异面直线,A,B,C是直线 QQ1上3点,且点B在A,C之间, A1,B1， C1是由A,B,C向直线， PP1所引垂线的垂足, 证明 BB1 max AA 1, CC1 PQ P1Q1 O A B C A1 B1 C1 A2 B2 C2 证明 作平面 垂直于PP1 ，则直线PP1在平面 上 的投 影为一点，记为O，由 AA1 PP1，BB1 PP1, CCPP1 知, AA1 , BB1 , CC1 从而 AA1在 上