江苏2017届高三数学第六章数列推理与证明课时跟踪检测理.docx

第六章 数列、推理与证明第一节 数列的概念与简单表示法1数列的有关概念概念含义数列按照一定次序排列的一列数数列的项数列中的每个数数列的通项数列an的第n项an通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式前n项和数列an中，Sna1a2an叫做数列的前n项和2.数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和an1f(an)或a1，a2和an1f(an，an1)等表示数列的方法3.an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，则an4数列的分类单调性递增数列nN*，an1an递减数列nN*，an1an常数列nN*，an1an摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列周期性周期数列nN*，存在正整数常数k，ankan小题体验1已知数列an的前4项为1,3,7,15，则数列an的一个通项公式为_答案：an2n1(nN*)2已知数列an中，a11，an1，则a5_.答案：3(教材习题改编)已知数列an的通项公式为ann2n，数列an仅在n3时取得最小的项，则实数的取值范围是_解析：法一：因为ann2n 2，由于数列an仅在n3时取得最小的项，所以，从而得7na3且a4a3，即50，故7an，求实数k的取值范围解：(1)由n25n40，解得1nan知该数列是一个递增数列，又因为通项公式ann2kn4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到nN*，所以3.所以实数k的取值范围为(3，)三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知an满足an1an2n，且a133，则的最小值为_解析：由已知条件可知，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)33242(n1)n2n33，又n1时，a133满足此式所以n1.令f(n)n1，则f(n)在1,5上为减函数，在6，)上为增函数，又f(5)，f(6)，则f(5)f(6)，故f(n)的最小值为.答案：2若单调递增数列an满足anan1an23n6，且a2a1，则a1的取值范围是_解析：由anan1an23n6，a2a1得，a33a1，所以a4a13，由an是单调递增数列知，a4a3a2a1，即a133a1a1a1，解得a10,5a88a13，则前n项和Sn取最大值时，n的值为_解析：设数列an的公差为d，由5a88a13，得5(a17d)8(a112d)，解得da1，由ana1(n1)da1(n1)0，可得n21，所以数列an的前21项都是正数，以后各项都是负数，故Sn取最大值时，n的值为21.答案：212已知数列an的前n项和Snn26n，则|an|的前6项和T6_.解析：由Snn26n得an是等差数列，且首项为5，公差为2.所以an5(n1)22n7，当n3时，an3时，an0；所以T6a1(a2)(a3)a4a5a653113518.答案：18题组练透1(2015全国卷改编)已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S84S4，则a10_.解析：公差为1，S88a118a128，S44a16.S84S4，8a1284(4a16)，解得a1，a10a19d9.答案：2(2015南通调研)设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2，Sn2Sn36，则n_.解析：法一：由题知Snna1dnn(n1)n2，Sn2(n2)2，由Sn2Sn36得，(n2)2n24n436，所以n8.法二：Sn2Snan1an22a1(2n1)d22(2n1)36，解得n8.答案：83(2016衡水中学模拟)已知Sn是数列an的前n项和，a11，a22，a33，数列anan1an2是公差为2的等差数列，则S25_.解析：由题可得a43，所以a2a3a48，S25a1(a2a5a23)(a3a6a24)(a4a7a25)1233.答案：2334(易错题)设Sn为等差数列an的前n项和，a128，S99，则S16_.解析：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由已知，得解得S16163(1)72.答案：72谨记通法等差数列运算的解题思路及答题步骤(1)解题思路由等差数列的前n项和公式及通项公式可知若已知a1，d，n，an，Sn中三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解(2)答题步骤步骤一：结合所求结论，寻找已知与未知的关系；步骤二：根据已知条件列方程求出未知量；步骤三：利用前n项和公式求得结果典型母题已知数列an的前n项和为Sn且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：是等差数列；(2)求an的表达式.解(1)证明：anSnSn1(n2)，又an2SnSn1，Sn1Sn2SnSn1，Sn0.因此2(n2)故由等差数列的定义知是以2为首项，2为公差的等差数列.(2)由(1)知(n1)d2(n1)22n，即Sn.由于当n2时，有an2SnSn1，又a1，不适合上式an类题通法等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于n2的任意自然数，anan1(n2，nN*)为同一常数an是等差数列解答题中证明问题等差中项法2an1anan2(n3，nN*)成立an是等差数列通项公式法anpnq(p，q为常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列填空题中的判定问题前n项和公式法验证SnAn2Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列越变越明变式1试说明母题中数列an是不是等差数列解：当n2时，an1，而an1an.当n2时，an1an的值不是一个与n无关的常数，故数列an不是等差数列破译玄机本题在求解时，可以举出反例，也可以用反证法 变式2若将母题条件变为“数列an的前n项和为Sn(nN*)，2Snnann，”求证：an为等差数列证明：2Snnann，当n2时，2Sn1(n1)an1n1，得：(2n)an(n1)an11，(1n)an1nan1，2anan1an1(n2)，数列an为等差数列变式3若母题变为：已知数列an中，a12，an2(n2，nN*)，设bn(nN*)求证：数列bn是等差数列证明：an2，an12.bn1bn1，bn是首项为b11，公差为1的等差数列典例引领1(2016金陵中学检测)在等差数列an中，a3a927a6，Sn表示数列an的前n项和，则S11_.解析：因为a3a927a6,2a6a3a9，所以3a627，所以a69，所以S11(a1a11)11a699.答案：992已知an为等差数列，若a1a2a35，a7a8a910，则a19a20a21_.解析：法一：设数列的公差为d，则a7a8a9a16da26da36d518d10，所以18d5，故a19a20a21a712da812da912d1036d20.法二：由等差数列的性质，可知S3，S6S3，S9S6，S21S18成等差数列，设此数列公差为d.所以52d10，所以d.所以a19a20a21S21S1856d51520.答案：203等差数列an中，设Sn为其前n项和，且a10，S3S11，则当n为多少时，Sn取得最大值解：法一：由S3S11，可得3a1d11a1d，即da1.从而Snn2n(n7)2a1，因为a10，所以0，S3S11可知d0，a80，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.即时应用1(2016南通中学检测)设Sn是等差数列an的前n项和，若，则_.解析：1.答案：12一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227，则该数列的公差d_.解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得解得又S偶S奇6d，所以d5.答案：53设等差数列an的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn324(n6)，求数列an的项数及a9a10.解：由题意知a1a2a636，anan1an2an5180，得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，a1an36，又Sn324，18n324，n18.a1an36，n18，a1a1836，从而a9a10a1a1836.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1若等差数列an的前5项之和S525，且a23，则a7_.解析：由S525a47，所以732dd2，所以a7a43d73213.答案：132(2016苏州名校联考)在等差数列an中，a10，公差d0，若ama1a2a9，则m的值为_解析：ama1a2a99a1d36da37，所以m37.答案：373已知数列an满足a115，且3an13an2.若akak10，则正整数k_.解析：3an13an2an1anan是等差数列，则ann.ak1ak0，0，k，k23.答案：234设等差数列an的前n项和为Sn，S36，S412，则S6_.解析：设数列an的公差为d，S36，S412，S66a1d30.答案：305已知等差数列an中，an0，若n2且an1an1a0，S2n138，则n等于_解析：2anan1an1，又an1an1a0，2ana0，即an(2an)0.an0，an2.S2n12(2n1)38，解得n10.答案：10二保高考，全练题型做到高考达标1在单调递增的等差数列an中，若a31，a2a4，则a1_.解析：由题知，a2a42a32，又a2a4，数列an单调递增，a2，a4.公差d.a1a2d0.答案：02(2016南京调研)数列an的前n项和Sn2n23n(nN*)，若pq5，则apaq_.解析：当n2时，anSnSn12n23n2(n1)23(n1)4n1，当n1时，a1S15，符合上式，an4n1，apaq4(pq)20.答案：203设等差数列an的公差为正数，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13_.解析：由条件可知，a25，从而a1a310，a1a316，得a12，a38，公差为3，所以a11a12a1323(101112)3105.答案：1054设等差数列an的前n项和为Sn，且a10，a3a100，a6a70，则满足Sn0的最大自然数n的值为_解析：a10，a6a70，a60，a70，等差数列的公差小于零，又a3a10a1a120，a1a132a70，S120，S130，满足Sn0的最大自然数n的值为12.答案：125(2015盐城调研)设数列an的前n项和为Sn，若为常数，则称数列an为“吉祥数列”已知等差数列bn的首项为1，公差不为0，若数列bn为“吉祥数列”，则数列bn的通项公式为_解析：设等差数列bn的公差为d(d0)，k，因为b11，则nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因为对任意的正整数n上式均成立，所以(4k1)d0，(2k1)(2d)0，解得d2，k.所以数列bn的通项公式为bn2n1.答案：bn2n16在等差数列an中，a1533，a2566，则a45_.解析：a25a1510d663333，a45a2520d6666132.答案：1327在等差数列an中，a17，公差为d，前 n项和为Sn ，当且仅当n8 时Sn 取得最大值，则d 的取值范围为_解析：由题意，当且仅当n8时Sn有最大值，可得即解得1d0.(1)求证：当n5时，an成等差数列；(2)求an的前n项和Sn.解：(1)证明：由4Sna2an3,4Sn1a2an13，得4an1aa2an12an，即(an1an)(an1an2)0.当n5时，an0，所以an1an2，所以当n5时，an成等差数列(2)由4a1a2a13，得a13或a11，又a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，所以an1an0(n5)，q1，而a50，所以a10，从而a13，所以an所以Sn三上台阶，自主选做志在冲刺名校1设等差数列an满足a11，an0(nN*)，其前n项和为Sn，若数列也为等差数列，则的最大值是_解析：设数列an的公差为d，依题意得2，因为a11，所以2，化简可得d2a12，所以an1(n1)22n1，Snn2n2，所以222121.故的最大值是121.答案：1212(2016常州调研)设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意nN*都有，则_.解析：因为数列an，bn为等差数列，所以，因为，所以.答案：3已知数列an满足，an1an4n3(nN*)(1)若数列an是等差数列，求a1的值；(2)当a12时，求数列an的前n项和Sn.解：(1)法一：数列an是等差数列，ana1(n1)d，an1a1nd.由an1an4n3，得(a1nd)a1(n1)d4n3，2dn(2a1d)4n3，即2d4,2a1d3，解得d2，a1.法二：在等差数列an中，由an1an4n3，得an2an14(n1)34n1，2dan2an(an2an1)(an1an)4n1(4n3)4，d2.又a1a22a1d2a124131，a1.(2)当n为奇数时，Sna1a2a3ana1(a2a3)(a4a5)(an1an)2424(n1)3.当n为偶数时，Sna1a2a3an(a1a2)(a3a4)(an1an)19(4n7).第三节 等比数列及其前n项和1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：Sn3等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaqa；(3)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，a，anbn，(0)仍然是等比数列；(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.小题体验1(教材习题改编)已知两个数k9和k6的等比中项是k，则实数k_.解析：由两个数k9和k6的等比中项是k，得k2(k9)(k6)，整理得3k540，解得k18.答案：182(教材习题改编)在等比数列an中，已知a12，S3，则公比q_.解析：因为a12，S33a16，所以q1，所以S3，整理得q2q0，解得q或q.答案：或3(教材习题改编)在等比数列an中，a10，a2a42a3a5a4a625，则a3a5_.解析：因为a2a42a3a5a4a6a2a3a5a(a3a5)225，所以a3a55.又a10，a3，a5与a1同号，所以a30，a50，q2.a12，数列an的通项公式为ana1qn12n.答案：2n角度三：求前n项和5(2015安徽高考)已知数列是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列的前n项和等于_解析：设等比数列的公比为q，