八年级数学下册课后补习班辅导轴对称性的应用讲学案苏科版.docx

轴对称性的应用【本讲教育信息】一. 教学内容： 轴对称性的应用目标 研究轴对称性及其相关性质，进行实际问题的应用。二. 重点、难点： 深刻体会轴对称性，来解决现实中的实际问题。 常用知识点： 线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等。 三角形两边之和大于第三边。【典型例题】 例1. 请找出下列符号所蕴含的内在规律，然后在横线上设计一个恰当的图形。（哈佛大学77年入学考试试题） 分析：这几幅图分别是阿拉伯数字1、2、3、4、7在右半边，然后，通过轴对称画出左半边的图像。你看出来了吗？那么横线上就应该是6，然后按照轴对称性画出左半边的图。那么按照这种规律，接下来还有什么样的图像呢？你会画吗？ 例2. 如图，有20根钉子，相邻两个钉子间的距离等于1cm，请从1号钉子开始到2号钉子为止绷上一根19cm长的线，使得这根线通过所有的钉子。 解：如图所示。 例3. 如图，牧童在处放牛，其家在处，到河岸的距离分别为，且，若到河岸CD的中点的距离为500m。 （1）牧童从处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短?在图中作出该处，并说明理由； （2）最短路程是多少? 解：（1）已知直线同侧两点、。求作：上一点，使最小。 作法：作点关于的对称点； 连结交于点，则点即为所求的点。 证明：在上任取一点，连结， 直线是、的对称轴，、在上， ， ， 在中， ，即最小。 （2）由（1）可得：， ， 即为的中点且， ， 最短路程为。 例4. 如图，OA、OB是两条相交的公路，点P是一个邮电所，现想在OA、OB上各设立一个投递点，要想使邮电员每次投递路程最近，问投递点应设立在何处？ 作法：作点P关于直线AO的对称点M，作点P关于直线BO的对称点N； 连结MN分别交AO、BO于E、F； 连接EF、PE、PF，PEF即为所求三角形。证明：在AO上任取一点E，连结ME、FE、PE。 M是P关于直线AO的轴对称点， PE=ME，PE=ME。 在中， 即的周长的周长。 同理，在BO上任取一点F亦可证的周长的周长。 的周长最小。 例5. 如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？ 作法：设a、b的距离为r。 把点B竖直向上平移r个单位得到点B； 连接AB，交a于C； 过C作CDb于D； 连接AC、BD。 证明：BBCD且BBCD， 四边形BBCD是平行四边形，CBBD ACCDDBACCBBBABBB 在a上任取一点C，作CD，连接AC、DB，CB 同理可得ACCDDBACCBBB 而ACCBA B ACCDDB最短。 例6. 在正方形ABCD上，P在AC上，E是AB上一定点，则当点P运动到何处时，PBE的周长最小? 作法：连接DE交AC于Q，当P运动到Q点处时，PBE的周长最小。证明：连接BQ。 P、Q都在正方形对角线AC上， PB=PD，QB=QD BP+PE=DP+PE，BQ+QE=DQ+QE=DE 而DP+PE DE BP+PE BQ+QE 又PBE的周长=BE+ BP+PE，QBE的周长=BE+ BQ+QE PBE的周长QBE的周长 即当P运动到Q点处时，PBE的周长最小。【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 将一张正方形的纸片按下图方式三次折叠，沿MN裁剪，则可得（ ） （A）多个等腰直角三角形 （B）一个等腰直角三角形和一个正方形 （C）两个相同的正方形 （D）四个相同的正方形 2. 请你将一个等边三角形分割成三角形或四边形（至少4块），然后将它们重新组合，拼成轴对称图案。 3. 设正三角形ABC的边长为2，M是AB上的中点，在BC边上找一点，使PA+PM的值最小? 4. 如图，A、B是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在a上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？ 5. 如图，P为AOB内一点，试在OA，OB上各找一点M、N。使PMN周长最小。【试题答案】 1. D。动手做做看 2. 如图所示。长方形是轴对称图案。 3. 解：取点A关于BC的对称点A，连接MA交BC于P，连接PA、PM 证明：在BC上任取一点P，连接PA、PM 由对称性知：PA=PA，PA=PA PA+PM= PA+ PM=MA，PA+PM= PA+ PM 又MA PA+ PM PA+PM最小。 4. 作法：作BBCD且BBPQ 作点A关于a的对称点A 连接AB交a于P，在a上向右取定长PQ。则此时的位置，AP+PQ+QB的长最短。 证明（略） 5. 分析：若能在OA，OB找到点M、N，使PM+MN+NP为某一线段的长，而另找到的OA、OB上的点与P构成的三角形周长都大于该线段长，则M、N为所求两点，故可考虑分别作P关于OA的对称点P1、P关于OB的对称点P2。连P1P2与OA、OB分别交于M、N。PMN即为所求。解：分别作P关于OA、OB的对称点P1，P2，连P1、P2交OA于M，OB于N。PMN即为所求。 证：在OA上任取一点M1，OB上任取一点N1（M1N1中至少有一点异于M、N），连MP1、N1P2。 OA为P1P中垂线，OB为P2P中垂线 MP=MP1 M1P=M1P1 P