角平分线的性质(上课).ppt

新乐市实验学校 Section header Section header Section header Section header Section header 16.3角的平分线 新乐市实验学校 A O B C 确定角平分线线 不借助工具，你能将一张纸张纸 片上的AOB分 成相等的两个角吗吗？请试请试 一试试. 方法：折叠 新乐市实验学校 A O B C 如果这这个角不能折 叠怎么办办？ 确定角平分线线 新乐市实验学校 如图图，是一个角平分仪仪，其中 AB=AD,BC=DC。 使用方法： 将点A放在角的顶顶点,AB和AD 沿着角的两边边放下,沿AC画一条 射线线AE,AE就是角平分线线. 原理分析： 你能说说明它的道理吗吗? A D B C E 确定角平分线线 新乐市实验学校 证证明：AD=AB，DC=BC， AC=AC（已知） ACD ACB（SSS） CAD=CAB （全等三角形的对应边对应边 相等 ） AC平分DAB （角平分线线定义义） A D B C E 确定角平分线线推理 新乐市实验学校 根据角平分仪仪的制作原理，你能用直尺和圆圆 规规作一个角平分线吗线吗 ？请试请试 一试试. O A B C E N O M C E N M 确定角平分线线应应用 新乐市实验学校 A O B C 实验实验 ： 1.在角平分线线OC上任取一点P； 2.借助三角板的直角边边，作PDOA，PEOB ，垂足分别为别为 点D、E. P D E PD与PE有怎样样的 数量关系？ 猜想：PD=PE. 你有哪些办办法说说明我们们 的猜想是正确的？（两种 或两种以上方法） 角平分线线的性质质实验实验 、猜想、验证验证 新乐市实验学校 定理：角平分线线上的点到角的两边边的距离相等 用符号语语言表示为为： 1= 2， PDOA ，PEOB PD=PE. A O B C P D E 1 2 角平分线线的性质质概括 条件：（1）角的平分线；（2）点 在该平分线上； （3）垂直距离。 结论结论 ：垂线线段相等 新乐市实验学校 证证明:OC平分AOB （已知） 1=2（角平分线线定义义） PDOA，PEOB（已知） PDO=PEO=90（垂直定义义） OP=OP（公共边边） PDOPEO（AAS） PD=PE （全等三角形的对应边对应边 相等） A O B C P D E 1 2 已知，OC是AOB 的平分线线，P是OC上任意一 点，PDOA，PEOB ，垂足分别为别为 D,E 新乐市实验学校 已知OP平分MON，点A、点B分别别在边边OM、 ON上. （1）如图图1，若OAP=OBP=90，AP等于 PB吗吗？请说请说 明理由； M N OP A B 图图1 （2）如图图2，若OAP=OBP=110，（1）中 的结论还结论还 成立吗吗？请说请说 明理由. M N O P A B 图图2 角平分线线的性质质理解 在上面的基础础上，添加 哪些条件还还可以使PA=PB 成立？请试请试 一试试. 我们们添加的这这些条件，有 什么相同之处吗处吗 ？ 小结结： 1.角是轴对轴对 称图图形，角 平分线线所在直线线是角的 对对称轴轴； 2.可以用全等三角形的 知识识研究角平分线线的性 质质. 新乐市实验学校 AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知 ） = ，（ ） D B DC 角平分线上任意一点到这个 角的两边的距离相等。 不必再证证全等 新乐市实验学校 1、 1= 2,DCAC, DEAB _ (_ ) A C D E B 1 2 DC=DE 角平分线上任意一点到角的两边的距离相等 2、判断题（ ） 如图，AD平分BAC（已知） BD = DC ， ( ) 角平分线上任意一点到角 的两边的距离相等。 新乐市实验学校 A BC E F D 1.已知：如图，ABC中， AB=AC，AD是BAC的平分线， DEAB，DFAC，垂足分别为 E、F.判断下列结论是否正确： (1)DE=DF. （ ） (2)BD=CD. （ ） (3)AD上任一点到AB、AC 的距离相等.（ ） (4)AD上任一点到点B、C的 距离相等. ( ) 新乐市实验学校 2.已知，如图，CD为Rt ABC斜边AB上的高， BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F, FG AB,垂足为G.求证：CE=FG. C A D E F G B 新乐市实验学校 如图，在ABC中，C=90，AD是CAB的角平分线线 ，DEAB于点E，BC=8，BD=5，求DE。 A B C D E 1 2 证明： C=90 DC AC 又AD是CAB的角平分线、 DEAB CD=DE（角平分线上任意一 点到角的两边的距离相等） 又BC=8，BD=5 CD=BCBD=85=3 DE=3 新乐市实验学校 （1）写出角平分线的性质定理的逆命题 （2）根据这个逆命题的内容，画出图形 （3）结合图形，提出你对这个逆命题是否 正确的猜想 （4）验证你的猜想 新乐市实验学校 角的平分线线上的点到角的两边边的距离相等 逆命题题： 到一个角的两边边的距离相等的点在这这个角 的平分线线上 已知：如图,QDOA， QEOB， 点D、E为垂足，QDQE 求证：点Q在AOB的平分线上 新乐市实验学校 证明: 连结OP并延长 QDOA，QEOB（已知）， QDOQEO90（垂直的定义） 在RtQDO和RtQEO中 QOQO（公共边） QDQE (已知) QODQOE RtQDORtQEO QODQOE 点Q在AOB的平分线上 新乐市实验学校 判定：在一个角的内部，到角的两边边距 离相等的点在这这个角的平分线线上。 QDOA，QEOB，QDQE 点Q在AOB的平分线上 用数学语言表示为： 性质质：角平分线线上任意一点到角的两边边的 距离相等. QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线 上 QDQE 用数学语言表示为： 新乐市实验学校 1. 已知：如图，ABC的角平分 线BM、CN相交于点P. 求证：（1）点P到三边AB、BC、CA的距离相等. （2）AP平分A. 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、 BC、CA，垂足为D、E、F BM是ABC的角平分线，点P在BM上（已知 ） PD=PE（在角平分线上的点到角的两 边的距离相等） 同理: PE=PF. PD=PE=PF（等量代换）. 即点P到边AB、BC、CA的距离相等 AP平分A（在一个角的内部，到角两边距离 相等的点在这个角的平分线上） D E F A BC P M N 提高训练 新乐市实验学校 如图，已知ABC的外角CBD和 BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在DAE的平分线上 证明： 过点F作FGAE于G， FHAD于H，FMBC于M G H M 点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBC FGFM 又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBC FMFH FGFH 点F在DAE的平分线 上 新乐市实验学校 1：画一个已知角的角平分线线； 2：角平分线线的