静定结构的位移计算.ppt

第三章第三章 静定结构的位移计算静定结构的位移计算 displacement of statically determinate structures 3.1 3.1 结构位移计算概述结构位移计算概述 一、结构的位移一、结构的位移 ( (displacement of structures)displacement of structures) a 位移位移 转角位移转角位移 线位移线位移 a a点线位移点线位移 a a点水平位移点水平位移 a a点竖向位移点竖向位移 a a截面转角截面转角 p 3.1 3.1 结构位移计算概述结构位移计算概述 一、结构的位移一、结构的位移 ( (displacement of structures)displacement of structures) a p 引起结构位移的原因引起结构位移的原因 制造误差制造误差 等等 荷载荷载 温度温度改变改变 支座移动支座移动 还有什么原还有什么原 因会使结构产因会使结构产 生位移生位移? ? 为什么要计算为什么要计算 位移位移? ? 铁路工程技术规范规定: 二、二、 计算位移的目的计算位移的目的 (1) 刚度要求 在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度； 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 1/700 和1/900跨度 高层建筑的最大位移 1/1000 高度。 最大层间位移 1/800 层高。 (2) 超静定、动力和稳定计算 (3）施工要求 （3）理想联结 (ideal constraint)。 三、三、 本章位移计算的假定本章位移计算的假定 叠加原理适用叠加原理适用（principle of superposition) (1) 线弹性 (linear elastic), (2) 小变形 (small deformation), 四、四、 计算方法计算方法 单位荷载法单位荷载法 (dummy-unit load method) 3.2 3.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 (principle of virtual work) 一、功(work)、实功(real work)和虚功 (virtual work) 功：力对物体作用的累计效果的度量功：力对物体作用的累计效果的度量 功功= =力力作用点沿力方向上的位移 实功：实功：力在自身所产生的位移上所作的功 虚功：虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功 3.2 3.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 (principle of virtual work) 一、功(work)、实功(real work)和虚功 (virtual work) 力状态力状态 位移状态 （虚力状态） （虚位移状态） 注意：注意： （1）属同一体系； （2）均为可能状态。即位移 应满足变形协调条件； 力状态应满足平衡条件。 （3）位移状态与力状态完全无关； 3.2 3.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 (principle of virtual work) 二、广义力(generalized force)、广义位移 (generalized displacement) 一个力系作的总虚功一个力系作的总虚功 w=pw=p p-p-广义力广义力; ; - -广义位移广义位移 例例: : 1)1)作虚功的力系为一个集中力作虚功的力系为一个集中力 2)2)作虚功的力系为一个集中力偶作虚功的力系为一个集中力偶 3)3)作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶反向的集中力偶 4)4)作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值 反向的集中力反向的集中力 （1）质点系的虚位移原理 具有理想约束的质点系，在 某一位置处于平衡的必要和 充分条件是： 三、变形体的虚功原理三、变形体的虚功原理 fi ri=0 . . 对于任何可能的虚位移， 作用于质点系的主动力所 做虚功之和为零。也即 （2）刚体系的虚位移原理 去掉约束而代以相应的 反力，该反力便可看成外 力。则有：刚体系处于平 衡的必要和充分条件是： 对于任何可能的 虚位移，作用于刚 体系的所有外力所 做虚功之和为零。 p 2 3/2 原理的表述： 任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功we，恒等于变 形体各微段外力在微段变形位移上作的虚 功之和wi。也即恒有如下虚功方程成立 we =wi （3）变形体的虚功原理 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚 位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功we,恒 等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和wi。 变形体虚功原理的证明: 1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 w 微段外力分 为两部分 体系外力 相互作用力 微段外力功 分为两部分 体系外力功dwe 相互作用力功dwn 微段外力功 dw= dwe+dwn 所有微段的外力功之和: w=dwe+dwn =dwe =we 2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 w 微段外力功 分为两部分 在刚体位移上的功dwg 在变形位移上的功dwi 微段外力功 dw= dwg+dwi 所有微段的外力功之和: w=dwi =wi 微段位移分 为两部分 刚体位移 变形位移 故有we=wi成立。 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚 位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功we,恒 等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和wi。 变形体虚功原理的证明: 1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 w 微段外力分 为两部分 体系外力 相互作用力 微段外力功 分为两部分 体系外力功dwe 相互作用力功dwn 微段外力功 dw= dwe+dwn 所有微段的外力功之和: w=dwe+dwn =dwe =we 2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 w 微段外力功 分为两部分 在刚体位移上的功dwg 在变形位移上的功dwi 微段外力功 dw= dwg+dwi 所有微段的外力功之和: w=dwi =wi 微段位移分 为两部分 刚体位移 变形位移 故有we=wi成立。 几个问题: 1. 虚功原理里存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调 条件。因此原理仅是必要性命题。 2. 原理的证明表明:原理适用于任何 (线性和非线性)的 变形体，适用于任何结构。 3. 原理可有两种应用： 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态， 将平衡问题化为几何问题来求解。 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态， 将位移分析化为平衡问题来求解。 wi 的计算: wi =n+q+mds 微段外力: 微段变形可看成由如下几部分组成: （4）变形体虚功方程的展开式 微段剪切 微段拉伸 微段弯曲 对于直杆体系，由于变形互不耦连，有: we =n+q+mds 四、虚功原理的两种应用四、虚功原理的两种应用 1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的 平衡力状态之间。 例. 求 a 端的支座反力(reaction at support)。 解：去掉a端约束并代以反力 x，构造相应的虚位移状态. ab a c (a) b p x (b) p (c) 直线 待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态 由外力虚功总和为零，即： 将代入得: 通常取 单位位移法(unit-displacement method) (1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是 实际受力状态的平衡方程 (2)虚位移与实际力状态无关,故可设 (3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。 (4)用几何法来解静力平衡问题 例. 求 a 端支座发生竖向位移 c 时引起c点的竖向位移 . 2）虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协 调位移状态之间。 解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之 点（c点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。 a b a c b c 1 ab c 由 求得 ： 解得： 这是单位荷载法 (dummy-unit load method) 它是 maxwell, 1864和mohr, 1874提出，故也称为 maxwell-mohr method (1)所建立的虚功方程, 实质上是几何方程。 (2)虚设的力状态与实 际位移状态无关，故 可设单位广义力 p=1 (3)求解时关键一步是 找出虚力状态的静力 平衡关系。 (4)是用静力平衡法来 解几何问题。 虚功方程为： 单位位移法的虚功方程 平衡方程 单位荷