初中数学重点：从一道数学压轴题谈起.doc

初中数学重点：从一道数学压轴题谈起由于工作的关系，我经常接到一些学生的咨询，反映在考试时，一见数学压轴题就发怵，经常折腾个把小时做不完；还有的学生以为压轴题一定很难，不敢碰它，所以不如干脆放弃，挪些时间检查，保证基础题少丢分，这也是部分老师的谆谆教导和学生家长的千叮万嘱.这种做法是否明智？数学压轴题是在初中主干知识的交汇处命制，是多个基础知识点的融合或深挖，所涉及的知识点多，覆盖面广，综合性强，对思维能力思维品质的考查要求很高，几乎都涉及到数学学科的基础知识、基本技能、基本思想与基本方法，如三角形的全等、相似；函数解析式的求法与应用、方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等，所以具有一定难度，绝大部分学生难以全部完成.1 压轴题真的就不能碰吗？下面以2009年东营市压轴题为例谈谈我们的看法题目：（2009年东营市24题）已知正方形abcd中，e为对角线bd上一点，过e点作efbd交bc于f，连接df，g为df中点，连接eg，cg（1）求证：eg=cg；（2）将图中bef绕b点逆时针旋转45，如图所示，取df中点g，连接eg，cg问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中bef绕b点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）fbadceg图fbadceg图dfbace图 这一压轴题改编自广州市2007年初中学生学业考试数学试题第25题，原题如下：已知rtabc中，ab=ac，在rtade中，ad=de，连结ec，取ec中点m，连结dm和bm.（1）若点d在边ac上，点e在边ab上且与点b不重合，如图，求证：bm=dm且bmdm；（2）如图中的ade绕点a逆时针转小于45的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明该题主要考查三角形、图形的旋转、特殊四边形等基础知识，考查空间观念、演绎推理能力命题组给出的参考解答及评分意见如下：fbceg图 解：（1）证明：在rtfcd中， g为df的中点， cg=fd1分同理，在rtdef中， eg=fd 2分 cg=eg3分（2）（1）中结论仍然成立，即eg=cg4分证法一：连接ag，过g点作mnad于m，与ef的延长线交于n点fbadcegmnn图 （一）在dag与dcg中， ad=cd，adg=cdg，dg=dg， dagdcg ag=cg5分在dmg与fng中， dgm=fgn，fg=dg，mdg=nfg， dmgfng mg=ng 在矩形aenm中，am=en 6分在rtamg 与rteng中， am=en， mg=ng， amgeng ag=egfbadcegm图 （二） eg=cg 8分证法二：延长cg至m,使mg=cg，连接mf，me，ec， 4分在dcg 与fmg中，fg=dg，mgf=cgd，mg=cg，dcg fmgmf=cd，fmgdcg mfcdab5分在rtmfe 与rtcbe中， mf=cb，ef=be，mfe cbe6分fbadce图gmecmeffeccebcef90 7分 mec为直角三角形 mg = cg， eg=mc 8分（3）（1）中的结论仍然成立，即eg=cg其他的结论还有:egcg10分分析：解答压轴题，除了要具备扎实的数学知识和良好的的读题习惯外，还要具备较高的应考能力，要特别关注题目中的特殊图形，如题目中的“正方形的对角线”；特殊的位置关系，如“efbd”；特殊的点“中点g”等；要找准压轴题的“题眼”， “题眼”一般在于某一个特殊图形中或在于某个思想方法中该压轴题由3个小题组成.第（1）题要求证明两条线段相等，这可以分别在rtfcd和rtdef中利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到要证得结论，这一问是比较简单的，容易上手；第(2)题是改变图中bef的位置，将图中bef绕b点逆时针旋转45，如图所示，取df中点g，连接eg，cg问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由这一问稍难，但仍还属于常规题型，证明的过程需要添加辅助线，通过证两次三角形的全等，借助于等量代换，得到；第(3)题较难，能力要求较高如果从合情推理的角度出发，可以通过量一量、猜一猜的办法解决在解答时把最容易的第（1）小题的分数完全拿到，中等难度的第（2）小题力争拿到全分，最难的第（3）小题要争取得到一点分，这样就大大提高了获得数学高分的可能性另外，从评分标准可以看出，一定要重视分段得分.一道压轴题做不出来，不等于一点思路没有，要考虑各种可能由浅入深的分析，知道一步做一步.因此，对压轴题要理解多少做多少，最大限度地发挥自己的水平所以，我要大声疾呼：千万莫轻易向压轴题投降！2 还有其他解法吗下面再给出（2）的另外几种证法：证法三：过点g作mnad交ab于m，交cd于n，gpad于p，fbadcegpn图 （三）m则bmg与dng均是等腰直角三角形，四边形mncb是矩形，四边形pdng是正方形.所以mg=bm=cn.由于g为df的中点，所以em=am=dn=gn,所以rtemgrtgng,所以证法四：过g作gmad交ab于m，fbadcegmn图 （四）因为efad,dg=gf,所以am=me，所以ga=ge.因为四边形abcd是正方形，所以ad=cd,gd=gd,agd=cgd，所以agdcgd,所以ag=cg.所以3 该压轴题能推广吗？将试题中“e为对角线bd上一点，过e点作efbd交bc于f”变换为“e为直线bd上一点，过e点作efbd交直线bc于f”，可得：变式1：已知正方形abcd中，e为直线bd上一点，过e点作efbd交直线bc于f，连接df，g为df中点，连接eg，cg（1）求证：eg=cg；（2）将bef绕b点逆时针旋转45，取df中点g，连接eg，cg问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 abcdefgabcdefgabcdefg（3）将bef绕b点旋转任意角度，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？.将变式1中“将bef绕b点逆时针旋转45”变换为“将bef绕b点顺时针旋转45”，可得：变式2：已知正方形abcd中，e为直线bd上一点，过e点作efbd交直线bc于f，连接df，g为df中点，连接eg，cg（1）求证：eg=cg；（2）将bef绕b点顺时针旋转45，取df中点g，连接eg，cg问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将bef绕b点旋转任意角度，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？如果将条件“过e点作efbd交直线bc于f，连接df，g为df中点，连接eg，cg”变换为“过e点作efbc交直线bc于f，连接de，g为de中点，连接fg，cg”可得：变式3：已知正方形abcd中，e为直线bd上一点，过e点作efbc交直线bc于f，连接de，g为de中点，连接fg，cg （1）求证：fg=cg；（2）将bef绕b点顺（或逆）时针旋转45，取de中点g，连接fg，cg问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 abcdfgabcabcdeeffgg（3）将bef绕b点旋转任意角度，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？由证法四，可得变式4：如图，p是正方形abcd对角线ac上一动点（p与a、c不重合），点e在射线bc上，且pe=pb.求证： pe=pd ； pepd.若将条件“知正方形abcd中，e为对角线bd上一点，过e点作efbd交bc于f，连接df，g为df中点，连接eg，cg”变换为“知正方形abcd中，p为对角线ac上一点，过p点作pebc交bc于e，pfcd交cd于f”可得：变式5：图2图1如图1，已知p为正方形abcd的对角线ac上一点(不与a、c重合)，pebc于点e，pfcd于点f(1) 求证：bp=dp；(2) 如图2，若四边形pecf绕点c旋转任意一个角度，在旋转过程中是否总有bp=dp？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3) 试选取正方形abcd的两个顶点，分别与四边形pecf的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形pecf绕点c按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论4 能得到什么启示？（1）回归课本，夯实基础近年来中考数学有许多新题型，多数试题取材于教科书，试题的构成是在教科书中的例题、练习题、习题的基础上通过类比、加工改造、加强条件或减弱条件、延伸或扩展而成的，也就是说，教科书中的例题、练习题、习题为编拟中考数学试题提供了丰富的题源.所以，我们要回到教材，认真研究教材，发挥教材的示范作用.（2）注重过程，发展能力要亲身经历数学问题的提出过程、解决方法的探索过程、问题结论的深化过程、方法能力的迁移过程.积极参与数学思维活动、经历