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第二章第二章 标量衍射理论标量衍射理论 部分习题解答及参考答案部分习题解答及参考答案 2- 1 在基尔霍夫衍射公式（2- 2- 16）或（2- 2- 20）中，同时对光场及其法向导数施加了边 界条件，从而导致了理论本身的不自恰性。为了消除这种不自恰性，索末菲选择了换用格林 函数的办法，使新的格林函数或其法向导数在表面 1 S上为 0,这时就不必同时对光场及其法 向导数施加边界条件。例如，可以选择 G 同时由观察点 0 P及其对衍射屏的镜对称点 0 P各 自出发的同相位的单位振幅的球面波给定（图 X2- 1）,即 01 01 0101 r e r e G rikikr += + 式中， 01 r 是 0 P 点与 1 P点间的距离。 (1) 试求：( )PG+在衍射屏上的法向导数； (2) 欲将观察点的复振幅用衍射孔上的光扰动来表示，需要什么样的边界条件？ (3) 利用(2)的结果，求出孔径被从 2 P点发出的单色球面波照明时，() 0 PU的表达式。 图 X2- 1 习题2- 1图示 解：由题设有： ( ) () ()() 01 0101 101 1 0101 01010101 2/ 11 cos,cos,0 ikr ikrikr n GPer GPee n rikn rik rrrr + + = =+= % % % 将上述结果代入式（2- 2- 16）得： () 01 0 01 11 dd 42 ikr UU e u pGSS nnr + =+= 这时只需对 n U 应用基尔霍夫边界条件。当( ) 211 / 21 rAePU ikr =时，则有： ( ) ()() 2121 2121 21 1 /,cos 1 ,cos 21 21 rernAik r e r ikrnA n PU ikr ikr = 最后得：( ) () () + =Srn rr e i A PU rrik d,cos 21 2101 0 2101 2- 2 如果选择格林函数为： 01 01 0101 r e r e G rikikr = 其中“”号表示由 0 P点和 0 P点发出的球面波的位相正好相反。在此条件下，完成上题中 的(1)、(2)和(3)。 解：由题设有： ( ) ()() () () 0101 01 1 0101 01010101 01 0101 01 0 11 cos,cos, 1 2cos, 2cos, ikrikr ikr ikr GP Gee n rikn rik nrrrr e n rik rr ikn re = = = % % % 01 /r 将上述结果代入式（2- 2- 16）得：()( )() =Srn r e PU i pU ikr d,cos 1 01 01 10 01 于是只需对 U 施加基尔霍夫边界条件。 2- 3 在圆孔的夫琅和费衍射花样中， 设观察平面上的总光能流为 I,半径为 0 r的圆面内所分 布的光能流等于( ) 0 rIi，它占总光能流的百分比为( ) 0 rF.试求出( ) 0 rF的表达式，并与教材 中表 2- 5- 1 进行比较。 解： 由公式 （2- 5- 8） 和 （2- 5- 9） ， 分布在小圆环rrd2上的光能流等于( )rrrId2， 其中( )rI 是光能流密度（光强度） ，它是 = z rk 2 d 0 的函数。在半径为 0 r的圆面积内所分布的光能流 为：( )( )( ) ( ) = 0 2 1 2 0 00 0 d J2 d 2 d2 0 d zI d z d rIrrrIrI r i 而分布在整个观察平面上的光能流为： ( ) = 0 2 1 2 0 d J2 d zI Is 故：( ) ( )( )( )( )( ) = = 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 10 0 d J /d J d J /d J s i I rI rF 根据贝塞尔函数公式： ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) () ( )( ) = = = = + JJJJ d d JJ J JJ d d 01 0 1n 10 1 01 xxxxx x xxxx x n n n n ( ) ( )2 1 由( ) ( )1J1得： ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 2 1 2 011001101 2 1 JJ d d 2 1 JJJJJJJJ J +=+= 所以 ( )( )( )( )( )( )( )( )( )0J0JJJ/0J0JJJ 2 1 2 0 2 1 2 0 2 1 2 0 2 1 2 00 +=rF 因( )( )( )( )0J0JJ , 10J 1100 = 故：( )( )( ) 2 1 2 00 JJ1=rF 附图 2- 1 ( ) 0 rF随变化 其函数曲线如附图 2- 1 所示，与第一，第二和第三暗环（即当=3。832， 7。015 和 10。 173 时）对应的( )rF值分别为 0。839，0。910 和 0。938，因而，大约 84%的光能包含在以 第 1 暗环为界限的圆内，大约 7%的光能包含在第一和第二暗环之间，等等。 2- 4 试证明关系式（2- 5- 15） 。 解：圆环光孔的面积为： ()() 22 2 2 1=aaaD 将上式代入式（2- 5- 14）得： ( ) () ()() 2 2 2 10102 0 2 2 00 2J/2J/ / 1 CDkarzk arz I r karzk arz = （1） 令 () 2 2 2 2 0 1 ,/ = DC Mzkarx，在衍射斑中心处其强度极大值由式（1）求导解得， 即： ( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )()( )( )()( ) ( ) ( )( )( )( )( )( ) ( ) = = = 2 10 2 101 2 1 2 11 2 111 2 1 2 11 2 111 2 1 J2JJ2JJ2J2 4 J2J2JJ2J2 4 J2J2J2J2J2J2 2 d d x xxx x xxx x x x x M x xxxJ x xxx x x x x M x xxx x xxx x x x x M x I 按极值条件，令( )( )( )( )0J2J , 0 J2J 010010 = =xx xxxxxx求得： ( )( ) ( )10J J2J2 00 11 = =x x x x x 于是由（1）式得： ()() 2 2 22 2 222 0 11 a IMCD z = 得证 2- 5 试证明关系式（2- 5- 28） 。 解： 由式（2- 5- 27）知，波长为和+的 q 级衍射极大分别位于 00 zqfx=和 () 000 zqfxx+=+，按瑞利判据，刚好能分辨的条件是：波长的 q 级极大正好与波 长()+的 q 级极小重合，即： () b z zqfzqfx =+= 000 所以：qNbqfR= = 0 2- 6 设用单位振幅的单色平面波垂直照明如图 X2- 2 所示的双矩孔，求其夫琅和费衍射图 样的强度分布，并画出衍射强度沿 x 轴和 y 轴的截面图。设 1 10 =m z X ， 1 1 = m z Y ， 1 2 3 = m z ，z 是观察距离，是照明光波长。 图 X2- 2 双矩孔 解：双矩孔的透过率函数为： () + + = Y y X x Y y X x yxt 2/ ,rect 2/ ,rect, 1111 11 当用单位振幅的单色平面波垂直照明时，其透射光场即为()() 1111 ,yxtyxUt=，而在观察平 面上的衍射场为： () () () () ()()= = + + yyx yx z k i ikz yx z k i ikz fyfXfXYee zi yxtFee zi yxU cos,sinc2 1 , 1 , 2 0 2 0 2 0 2 0 2 11 2 00 将zyfzxf yx /,/ 00 =代入上式，最后得衍射图样的强度分布为： () = z y z y Y z x X z XY yxI 0 2 00 2 2 00 cos,sinc 2 , 当0 0 =y时，由题给条件算得： ()() 0 2 0 10sinc400 ,xXYxI= 如附图 2- 2 所示，其极小值位置为： ()L, 2, 1 10 0 =nm n x 当0 0 =x时，又有 2 000 3 (,0)40sinc ()cos 2 I yXYyy = 如附图 2- 3 所示，其极小指位置由()L, 2, 1 0 =nny及() 2 12 2 3 0 +=ny决定，即 L，3 3 7 2 3 5 1 3 1 0 =y 附图 2- 2 习题2- 6图示之一 附图 2- 3 习题2- 6图示之二 2- 7 若用一单位振幅的单色平面波垂直照明如图 X2- 3 所示的方形环带，试导出该方形环 带的夫琅和费衍射的表达式。 图 X2- 3 方形环带 解：方形环带的透过率函数为： () = b y b x a y a x yxt 1111 11 ,rect,rect, 当用单位振幅的单色平面波垂直照明时，其透过此环带的光场()() 1111 ,yxtyxUt=，故观察 面上的光场分布为： () () () () ()()sinc,sinc 1 , 1 , , 22 2 11 2 00 2 0 2 0 2 0 2 0 yxyx yx z k i ikz yx z k i ikz bfbfbafafaee zi yxtFee zi yxU = = + + 光强分布为： () 2 00 2 00 2 2 00 ,sinc,sinc 1 , = z y b z x bb z y a z x aa z yxI 2- 8 如图 X2- 4 所示， 边长为 2a 的正方形孔径内再放置一个边长为 a 的正方形掩模， 其中 心落在(),点。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求出与它相距为 z 的观察平面上夫 琅和费衍射图样的光强度分布。 图 X2- 4 2- 8题图示 参考答案：仿前一题方法可算得： () 2 2 00 2 00 2 2 00 00 ,sinc2 ,2sinc4 1 , + = z y z x i e z y a z x aa z y a z x aa z yxI 2- 9 波长为的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面上有一足够大的 模板，其透过率函数为：( ) += 11 3 2 cos1 2 1 xxt ，求透射场的角谱。 解：当用单位振幅的单色平面波垂直照明模块时，其透射场( )( ) 11 xtxUt=，故其角谱为： ( ) + + = = cos , 3 1cos 4 1cos , 3 1cos 4 1cos , cos 2 1 cos , cos 1 xtFGt 2- 10 两个正弦振幅光栅 1 G和 2 G的透过率函数分别为： 1 G： ( )()xfttxt x 2cos 10101 += 2 G：( )()yfttyt y 2cos 20202 += 将它们按条纹方向垂直地密着叠放在一起（见图 X2- 5） 。当用单位振幅的单色平面波垂直照 明时，求其夫琅和费衍射斑的方向角。 图 X2- 5 两正弦光栅正交密着叠放 解：()( ) ( )ytxtyxUt= 11, 按题设条件相乘后并应用欧拉公式，结果包含 9 项，分别代表 9 个空间频率的衍射波，其方 向角由角谱定义知各为： () () () () () () = 级交叉项的 级的 级的 级 1 , , 1 , 0 1 0 , 00 , 0 cos,cos 2 1 yx yx y x ff ff ff ff 2- 11 两个正弦光栅 1 G和 2 G的透射率函数分别为： 1 G： ( )()xfttxt 110101 2cos += 2 G：( )()xfttxt 220202 2cos += 将它们按条纹方向平行地密着叠放在一起（见图 X2- 6） 。当用单位振幅的单色平面波垂直照 明时，求夫琅和费衍射斑的方向角。 图 X2- 6 两正弦光栅平行密着叠放 参考答案：仿上题，将( )( ) ( )xtxtxt=相乘并应用欧拉公式，结果包含 9 项，同样可得 9 个 空间频率的衍射波，其方向角为： () () () () ()() ()() + = 级的 级的 级的 级的 级 10 , 10 , 1 0 , 1 0 , 00 , 0 cos,cos 2121 2121 22 11 ffff ffff ff ff 2- 12 若衍射孔径的透射率函数分别为 （1） () += 2 1 2 111 circ,yxyxt （2） () 0 10 , 11 , 2 1 2 1 11 + = 其他 ayxa yxt 今采用单位振幅的单色平面波垂直照明上述孔径，求菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分 布。 解： （1）()() 1111 ,yxtyxUt=() 2 1 2 1 circyx + () () () ()() 11 22 2 1 2 1 2 00 ddcirc 1 , 1010 2 1 2 1 2 0 2 0 yxeeyxee zi yxU yyxx z k iyx z k iyx z k i ikz + + += 令0 00 = yx，并换用极坐标系作运算，得轴上复振幅分布为： () 2 21 22 0 1 0,0dd1 kk iri ikzikz zz a Ueer ree i z = ()() 2 2 0,00,04sin 2 zz IU z = （2）() 22 21 222 0 1 0,0dd kkk iriai ikzikz zzz z a Ueer reee i z = ()()() = 22 2 1 2 sin40 , 00 , 0a z UI zz （1） ， （2）结果表明：衍射图样随着 z 的变化，中央有亮暗的变化。 2- 13 一衍射屏的透过率函数为：()() 1011 2cos1 2 1 ,xfmyxt+= 今用单位振幅的单色平面波垂直照明该衍射屏，求观察平面上的菲涅耳衍射光场复振幅分 布； 并讨论观察屏与衍射屏之间的距离满足什么条件时， 屏上光振动的相位不随空间位置而 变，即在空间是纯调幅的。又当观察屏与衍射屏之间的距离满足什么条件时，才是近似空间 调相的。 解：()() 1111 ,yxtyxUt= ()() ()() 11 2 1100 dd, 1 , 2 01 2 01 yxeyxUe zi yxU yyxx z k i t ikz + = () () 2 0 2 0 2 00, 1 yx z k i t ikz eyxUe zi + = 利用卷积定理，先在频域进行运算再取逆变换，最后算得： ()() 0000 2cos1 2 1 , 2 0 xfmeeyxU