2017年中考数学精学巧练备考秘籍第3章函数第17课时二次函数的运用.docx

第3章 函数【精学】考点一、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c0)与直线y=0(即x轴)的公共点的个数。抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有： (1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1，0)(x2，0) 一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根=b2-4ac0。(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点(，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实根，(3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根=b2-4ac0.考点二、二次函数应用题一、转化思想一一实际问题中的最优化问题转化为求几次函数的最仇问题。1、方案设计最优问题：费用鼓低？利润最大？储量最大？等等。2、面积最优化问题：全面观察几何图形的结构特征，挖掘出相应的内在联系列出包含呐数，自变量在内的等式，转化为函数解析式求最低问题二、建模思想从实际问题中发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程。1、建立图像模型：自主建立平面直角坐标系，构造二次函数关系式解决实际问题。2、方程模型和不等式模型：根据实际问题中的数量关系列出方程或不等式转化为二次函数解决问题。【巧练】题型一、二次函数与一元二次方程例1（2016广西南宁）二次函数y=ax2+bx+c（a0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b）x+c=0（a0）的两根之和（）A大于0 B等于0 C小于0 D不能确定【答案】C【分析】设ax2+bx+c=0（a0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x20，a0，设方程ax2+（b）x+c=0（a0）的两根为a，b再根据根与系数的关系即可得出结论【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键例2（2016滨州）抛物线y=2x22x+1与坐标轴的交点个数是（）A0 B1 C2 D3【答案】C【分析】对于抛物线解析式，分别令x=0与y=0求出对应y与x的值，即可确定出抛物线与坐标轴的交点个数【点评】此题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线解析式中令一个未知数为0，求出另一个未知数的值，确定出抛物线与坐标轴交点题型二 利用二次函数解决抛物线形问题例3.（2015浙江金华）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有ACx轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（ ）A米 B米 C米 D米【答案】B【分析】主要是利用抛物线的解析式以及OA=10来进行解答，关键是根据图象确定A点的坐标，从而确定C点的横坐标，继而得到问题的答案【解析】ACx轴，OA=10米，点C的横坐标为10，当x=10时，=，C（10，），桥面离水面的高度AC为m故选B【点评】本题考查了利用函数图象上的点来解决实际问题中的距离问题，能正确地确定点的坐标是解决问题的关键【方法技巧规律】利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的解析式，把实际问题中已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案题型三、二次函数的应用题例4.（2016湖北鄂州）（本题满分10分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10 x元（x为整数）。（2分）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式。（4分）设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？（4分）某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息：当日所获利润不低于5000元，宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元，每个房间刚好住满2人。问：这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？【答案】(1)y=x50;(2)每间房价定价为320元时，每天利润最大，最大利润为9000元.(3)20.【解析】试题解析：解：y=x50;(2）设该宾馆房间的定价为元（x为整数），那么宾馆内有（50-x）个房间被旅客居住，依题意，得W=（-x+50)(120+10x-20)W=（-x +50)(10x+100)=-10(x一20)+9000所以当x=20，即每间房价定价为10x20+120=320元时，每天利润最大，最大利润为9000元，解得当x=40时，这天宾馆入住的游客人数最少有：2y=2（-x+50）=2（-40+50）=20（人）题型四、抛物线与几何图形例5（2016上海市）如图，抛物线（a0）经过点A（4，5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；（3）如果点E在y轴的正半轴上，且BEO=ABC，求点E的坐标【答案】（1）；（2）18；（3）E（0，）【解析】试题解析：（1）抛物线与y轴交于点C，又因为点在轴负半轴上，故抛物线经过点（，）和点（,），解得。这条抛物线表达式为（）由，得顶点坐标为（，）。连接，点坐标为（，）点坐标为（，），又（）过点做于，在中，在中，【限时突破】1（2016永州）抛物线y=x2+2x+m1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（）Am2 Bm2 C0m2 Dm22.（2016资阳）已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A（x1，m）、B（x1+n，m）两点，则m、n的关系为（）Am=n Bm=n Cm=n2 Dm=n23.（2015贵州铜仁）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ）A20m B10m C20m D10m4.（2016湖北十堰）一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg且不高于180元/kg，经销一段时间后得到如下数据：销售单价x（元/kg）120130180每天销量y（kg）1009570设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系（1）直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（2）当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？5.（2016四川省巴中市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（m0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），该抛物线的对称轴与直线相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线上（不与原点重合），连接PD，过点P作PFPD交y轴于点F，连接DF（1）如图所示，若抛物线顶点的纵坐标为，求抛物线的解析式；（2）求A、B两点的坐标；（3）如图所示，小红在探究点P的位置发现：当点P与点E重合时，PDF的大小为定值，进而猜想：对于直线上任意一点P（不与原点重合），PDF的大小为定值请你判断该猜想是否正确，并说明理由6（2016四川省成都市）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧（1）求a的值及点A，B的坐标；（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由【答案解析】1.【分析】由抛物线与x轴有两个交点，则=b24ac0，从而求出m的取值范围故选A【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：抛物线与x轴有两个交点，则0；抛物线与x轴无交点，则0；抛物线与x轴有一个交点，则=02【答案】D.【分析】由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=时，y=0且b24c=0，即b2=4c，其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，故A（，m），B（+，m）；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论将A点坐标代入抛物线解析式，得m=（）2+（）b+c，即m=+c，b2=4c，m=n2，故选D【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键3.【答案】C. 【解析】试题分析：根据题意，把y一4直接代入解析式即可解得，所认A（10，4),B(10，-4).即可得水面宽度AB为20m故选c.4. 【答案】(1)y=0.5x+160，120x180；(2)当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元【解析】试题分析：（1）观察由表格可知，销售单价没涨10元，就少销售5kg，即可判定y与x是一次函数关系，由待定系数法求函数解析即可；（2）设销售利润为w元，根据题意得出w与x的二次函数关系，根据二次函数的性质即可求得最大利润试题解析：（1）由表格可知：销售单价没涨10元，就少销售5kg，y与x是一次函数关系，y与x的函数关系式为：y=1000.5（x120）=0.5x+160，销售单价不低于120元/kg且不高于180元/kg，自变量x的取值范围为：120x180；（2）设销售利润为w元，则w=（x80）（0.5x+160）=x2+200x12800=（x200）2+7200，a=0，当x200时，y随x的增大而增大，当x=180时，销售利润最大，最大利润是：w=（180200）2+7200=7000（元），答：当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元考点：一次函数的应用；二次函数的应用5.【答案】（1）；（2）A（5，0）、B（1，0）；（3）PDF=60【解析】（2）由（1）的可知点A、B的坐标；（3）先由一次函数的解析式得到PBF的度数，然后再由PDPF，FOOD，证明点O、D、P、F共圆，最后依据圆周角定理可证明PDF=60试题解析：（1），=m（x+5）（x1）令y=0得：m（x+5）（x1）=0，m0，x=5或x=1，A（5，0）、B（1，0），抛物线的对称轴为x=2抛物线的顶点坐标为为，9m=，m=，抛物线的解析式为；（2）由（1）可知：A（5，0）、B（1，0）；（3）PDF=60理由如下：如图所示，OP的解析式为，AOP=30，PBF=60PDPF，FOOD，DPF=FOD=90，DPF+FOD=180，点O、D、P、F共圆，PDF=PBF，PDF=60考点：1二次函数综合题；2定值问题6.【答案】（1），A（4，0），B（2，0）；（2）y2x2或；（3）存在，N（， 1）【解析】试题解析：（1）抛物线与y轴交于点C（0，），a3=，解得：，当y=0时，有， ，A（4，0），B（2，0）（2）A（4，0），B（2，0），C（0，），D（1，3）S四边形ABCD=SADH+S梯形OCDH+SBOC=10从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：当直线l边AD相交与点M1时，则SAHM1103，3（yM1）3，yM12，点M1（2，2），过点H（1，0）和M1（2，2）的直线l的解析式为y=2x