2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1直线方程的概念与直线的斜率学案含解析新人教B版.docx

2.2.1直线方程的概念与直线的斜率1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(重点)2.理解直线斜率的几何意义；掌握倾斜角与斜率的对应关系.(重点)3.掌握过两点的直线的斜率公式.(重点)4.直线倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用.(难点)基础初探教材整理1直线方程的概念阅读教材P74内容，完成下列问题.如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.如何判断点P(2,1)是否在直线yx1上？【解析】把点的坐标代入方程，若满足方程，点就在直线上，反之，不在直线上.教材整理2直线的斜率及斜率公式阅读教材P75P75“倒数第15行”以上内容，完成下列问题.1.斜率的定义一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.常用小写字母k表示，即ktan .2.斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.当x1x2时，直线P1P2没有斜率.3.斜率的几何意义用实数反映了平面直角坐标系内的直线相对于x轴正方向的倾斜程度.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法.()(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.()(3)一个倾斜角不能确定一条直线.()(4)斜率公式与两点的顺序无关.()【解析】(1)错误.除了倾斜角，还可以用斜率描述直线的倾斜程度.(2)错误.倾斜角不是90的直线有且只有一个斜率和它对应.(3)正确.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角.(4)正确.斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换.【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理3直线的倾斜角阅读教材P75“第15行”以下内容，完成下列问题.1.倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.2.倾斜角的范围直线的倾斜角的取值范围为0180.3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角.如图221所示，直线l的倾斜角为()图221A.30B.60C.120D.以上都不对【解析】根据倾斜角的定义知，直线l的倾斜角为3090120.【答案】C小组合作型直线的倾斜角已知直线l过原点，l绕原点按顺时针方向转动角(0180)后，恰好与y轴重合，求直线l转动前的倾斜角是多少？【精彩点拨】【自主解答】由题意画出如下草图由图可知：当为钝角时，倾斜角为90，当为锐角时，倾斜角为90，当为直角时，倾斜角为0.综上，直线l转动前的倾斜角为1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.2.求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.再练一题1.设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A.45B.135C.135D.当0135时，倾斜角为45；当135180时，倾斜角为135【解析】根据题意，画出图形，如图所示：因为0180，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意.通过画图(如图所示)可知：当0135时，l1的倾斜角为45；当135180时，l1的倾斜角为45180135.故选D.【答案】D直线的斜率已知坐标平面内三点A(1,1)，B(1,1)，C(2，1).(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角；(2)若D为ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围.【精彩点拨】(1)利用k及ktan 求解；(2)先求出AC、BC的斜率，进而求出k的范围.【自主解答】(1)由斜率公式得kAB0，kBC.kAC.倾斜角的取值范围是0180.又tan 00，AB的倾斜角为0.tan 60，BC的倾斜角为60.tan 30，AC的倾斜角为30.(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为.1.由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式ktan (90)解决.2.由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k(x1x2)求解.3.涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用斜率公式求解.再练一题2.已知两点A(3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角的取值范围.【解】如图所示，由题意可知kPA1，kPB1.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k1，或k1.(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45，PA的倾斜角是135，所以的取值范围是45135.探究共研型斜率公式的应用探究1斜率公式k中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？【提示】斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k.探究2你能证明A(3，5)，B(1,3)，C(5,11)三点在同一条直线上吗？【提示】能.因为A(3，5)，B(1,3)，C(5,11)，所以kAB2，kBC2，所以kABkBC，且直线AB，BC有公共点B，所以A，B，C这三点在同一条直线上.已知实数x，y满足yx22x2(1x1)，试求的最大值和最小值.【精彩点拨】的最大值和最小值可以看做过两点(2，3)和(x，y)的直线的斜率的最大值和最小值.【自主解答】由的几何意义可知，它表示经过定点P(2，3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k，由图可知kPAkkPB，由已知可得A(1,1)，B(1,5).则kPA，kPB8.k8，的最大值为8，最小值为.斜率公式的应用证明三点共线：只需证此三点中任意两点确定的斜率相等(斜率存在).求代数式的最值或范围问题：由斜率公式k的形式，可知的几何意义是过P(x，y)与P(a，b)两点的直线的斜率，故可以利用数形结合来求解.再练一题3.已知实数x，y满足y2x8，且2x3，求的最大值和最小值.【解】如图所示，由于点(x，y)满足关系式2xy8，且2x3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为(2,4)，(3,2).由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA2，kOB，所以可求得的最大值为2，最小值为.1.斜率不存在的直线一定是()A.过原点的直线B.垂直于x轴的直线C.垂直于y轴的直线D.垂直于坐标轴的直线【解析】只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90，斜率不存在.【答案】B2.若过两点A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角为45，则y等于()A.B.C.1D.1【解析】kABtan 451，即1，y1.【答案】C3.光线从点A(2，)射到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C(1,2)，则光线BC所在直线的倾斜角为_.【解析】A(2，)关于x轴的对称点为A(2，)，由物理知识知kBCkAC，所以所求倾斜角为60.【答案】604.如图222所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为_.图222【解析】设l1，l2，l