量子力学第二节、近自由电子近似.ppt

第二节、近自由电子近似 自由电子的能量E=(k)2/2m是连续谱，而孤立原子中电子的能量 是一系列分立的能级。 晶体电子与自由电子的区别在于周期势场的有无。假设晶体中有 一个很弱的周期势，电子的运动情况比较接近自由电子，同时能 体现晶体中电子状态的特点。这样的电子叫做近自由电子。 一维情况为例 设周期势为 V（x），把它作为对自由电子恒定势场的一种 微扰。则近自由电子的哈密顿算符=0+ （1） 0= 是自由电子的哈密顿算符。 （2） 一、定态微扰法 1、根据量子力学的定态微扰理论，薛定谔方程k(x) =E(k) k(x) 的解是 2、零级近似解E(0)(k)和k(0)(x)就是自由电子的能量和波函数。 3、能量 一级修正项 二级修正项 含二级修正项的电子能量 4、波函数 一级修正项 其中 由于 因此 含一级修正项的电子波函数 二、简并微扰 1、当k2与(k-kh)2相近时，上述方法求得的波函数和能量的修正项就 很大。而这时自由电子的k态与k=k-kh态的能量相近，属于简并情 况，应当用简并微扰方法处理。 2、简并态 由k2=(k-kh)2得kh(k-kh/2)=0 即：k=kh/2=h/a k=k-kh=- h/a 一维情况下，简并态有两个 简并态的能量 3、简并微扰 简并微扰的零级近似波函数是自由电子简并态波函数的线性组合 ： 代入薛定谔方程，并积分得到： A、B不全为零的解的条件是 解得简并微扰态的能量 若两状态能量严格相等（即E(0)(k)= E(0)(k)），则得到 波函数 适当选择原点使V（X）= V（-X），从而使Vh为实数，于是 A/B=1。 三、近自由电子能量和波函数的讨论 1、波矢k远离布里渊区边界 当k值离h/a较远时，k也远远离边边界（因为为k- k = h/a），例如 图中A点与A 点。 由自由电子的Ek关系知，此时E(0)(k)与E(0)(k )有显著的差异。 在弱周期势的前提下，有|E(0)(k)-E(0)(k )|Vh| 能量二级修正项及波函数的一级修正项都很小 在波矢远离布里渊区边界的情况下，近自由电子的能量、波函数 与自由电子的能量和波函数极为相近。 2、k值接近布里渊区边界 当波矢k接近布里渊区边界时， k = k- h/a从反方向接近布里渊 区边界。如图中的B与B 、C与C 。图图6-7 设为一小量， 方向与边界相切。能量再增 大，等能线破裂，等能曲线分成四段。 （3）在EC处，等能线变成一点。 态密度 六、三维情况下的近自由电子近似 把一维情况推广到三维情况 周期势及其傅里叶展开 自由电子能量和波函数 近自由电子能量与波函数 禁带宽度Eg=|VKh| 1、布拉格反射 设发生简并微扰的两个态是K=Kh/2和K=K-Kh=-Kh/2， 则满足|K|2=( K-Kh)2，即Kh( K-Kh)=0 这是布里渊区界面方程 |Kh|=2KSin 根据K=2/、|Kh|= 2/dhn 得到：2dhSin=n 2、布里渊区 第一布里渊区实际上就是倒格子的维格纳-赛兹元胞 二维正方晶格 （1）各布里渊区的面积（三维是体积、一维是长度）是相等的， 都等于倒格子元胞的面积（或体积、长度）。 （2）较高的布里渊区可通过平移而约化到第一区。 面心立方晶格 （1）面心立方格子的格子常数（立方边长）为a，倒格子为体心立 方，倒格子常数（立方边长）为4/a。 （2）第一布里渊区为截角八面体（十四面体） 几个点的波矢k值： ： 2/a（0，0，0） X： 2/a （1，0，0） L： 2/a （-， ， ） K： 2/a （0， ） 体心立方晶格 （1）体心立方格子的格子常数为a，倒格子是面心立方，倒格子常 数为4/a。 （2）第一布里渊区为正十二面体 （3）几个点的波矢k值 ： 2/a（0，0，0） H： 2/a （ 0 ， 1 ，0） P： 2/a （， ， ） N： 2/a （0， ， ） 3、