2018版高中数学第一章立体几何初步1.1.4投影与直观图学案含解析新人教B版.docx

1.1.4投影与直观图1.了解中心投影和平行投影的概念.(重点)2.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤.(重点)3.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何体的直观图.(重点)4.逆用斜二测画法，找出直观图的原图.(难点)基础初探教材整理1投影的概念阅读教材P16P17“倒数第5段”与P19P20“思考与讨论”以上内容，完成下列问题.1.投影的概念(1)定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.(2)投影线：光线.(3)投影面：留下影子的屏幕.2.投影的分类(1)中心投影：光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影.中心投影的投影线交于一点.(2)平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影.平行投影的投影线是平行的.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)矩形的平行投影一定是矩形.()(2)平行四边形的平行投影可能是正方形.()(3)两条相交直线的平行投影可能平行.()(4)如果一个三角形的投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线.()【解析】利用平行投影的概念和性质进行判断.【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2斜二测画法阅读教材P17“倒数第5段”以下P18以上内容，完成下列问题.1.直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形.2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x轴和y轴，两轴交于点O，且使xOy45(或135)，它们确定的平面表示水平面.(2)画线：已知图形中平行于或在x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于或在x轴、y轴的线段.(3)取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段，长度为原来的一半.3.立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面xOy垂直的轴Oz，且平行于Oz的线段长度不变.其他同平面图形的画法.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行.()(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴.()(3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变.()(4)斜二测坐标系取的角可能是135.()【解析】平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故(3)错误；由斜二测画法的基本要求可知(1)(2)(4)正确.【答案】(1)(2)(3)(4)小组合作型中心投影与平行投影 如图1145，点E，F分别是正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是图中的_.(要求把可能的序号都填上)图1145 【精彩点拨】利用点B，F，D1，E在正方体各面上的正投影的位置来判断.【自主解答】其中可以是四边形BFD1E在正方体的面ABCD或在面A1B1C1D1上的投影.可以是四边形BFD1E在正方体的面BCC1B1上的投影.【答案】画投影图的关键及常用方法1.关键：画一个图形在一个投影面上的投影的关键是确定该图形的关键点(如顶点，端点等)及这些关键点的投影，再依次连接就可得到图形在投影面上的投影.2.常用方法：投影问题与垂直关系紧密联系，投影图形的形状与投影线和投射图形有关系，在解决有些投影问题时，常借助于正方体模型寻求解题方法.再练一题1.在正方体ABCDABCD中，E、F分别是AA、CC的中点，则下列判断正确的是_.图1146四边形BFDE在底面ABCD内的投影是正方形；四边形BFDE在面ADDA内的投影是菱形；四边形BFDE在面ADDA内的投影与在面ABBA内的投影是全等的平行四边形.【解析】四边形BFDE的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B、C、D、A，故投影是正方形，正确；设正方体的边长为2，则AE1，取DD的中点G，则四边形BFDE在面ADDA内的投影是四边形AGDE，由AEDG，且AEDG，四边形AGDE是平行四边形.但AE1，DE，故四边形AGDE不是菱形；对于，由知是两个边长分别相等的平行四边形，从而正确.【答案】画平面图形的直观图 按图1147的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图.图1147【精彩点拨】按照斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图.【自主解答】画法：(1)在图中作AGx轴于点G，作DHx轴于点H.(2)在图中画相应的x轴与y轴，两轴相交于点O，使xOy45.(3)在图中的x轴上取OBOB，OGOG，OCOC，OHOH，y轴上取OEOE，分别过G和H作y轴的平行线，并在相应的平行线上取GAGA，HDHD.(4)连接AB，AE，ED，DC，并擦去辅助线GA，HD，x轴与y轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图ABCDE(如图).1.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.2.画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段.再练一题2.用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图1148所示.图1148【解】画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系xOy，使xOy45(如图).(2)以O为中点在x轴上取ABAB，在y轴上取OEOE，以E为中点画CDx轴，并使CDCD.(3)连接BC，DA，所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.画空间几何体的直观图画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.【精彩点拨】【自主解答】画法：(1)画轴：画Ox轴、Oy轴、Oz轴，xOy45(或135)，xOz90，如图.(2)画底面：以O为中心，在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD.(3)画顶点：在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高.(4)成图：顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图.1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.2.直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变.”再练一题3.用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图.【解析】(1)画轴：画x轴、y轴、z轴，使xOy45(或135)，xOz90.(2)画底面：在面xOy内，画出正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱：过A、B、C、D、E、F分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA、BB、CC、DD、EE、FF都等于侧棱长.(4)成图：顺次连线A、B、C、D、E、F，并加以整理就得到正六棱柱的直观图，如图所示.探究共研型直观图的还原和计算问题探究1如图1149，ABC是水平放置的ABC斜二测画法的直观图，能否判断ABC的形状？图1149【提示】根据斜二测画法规则知：ACB90，故ABC为直角三角形.探究2若探究1中ABC的AC6，BC4，则AB边的实际长度是多少？【提示】由已知得ABC中，AC6，BC8，故AB10.探究3若已知一个三角形的面积为S，它的直观图面积是多少？【提示】原三角形面积为Sah(a为三角形的底，h为三角形的高)，画直观图后，aa，hhsin 45h，SahahahS.如图1150，某四边形的直观图为腰和上底长均为1的等腰梯形，BC45，求原四边形的面积.图1150【精彩点拨】可用斜二测画法的逆步骤还原得原四边形，先确定点，再连线画出原四边形，再求其面积.【自主解答】取BC所在直线为x轴，因为ABC45，所以取BA为y轴，过D点作DEAB，DE交BC于点E，则BEAD1，又因为梯形为等腰梯形，所以EDC为等腰直角三角形，所以EC.再建立一个直角坐标系xBy，如图：在x轴上截取线段BCBC1，在y轴上截取线段BA2BA2，过A作ADBC，截取ADAD1.连接CD，则四边形ABCD就是四边形ABCD的实际图形.四边形ABCD为直角梯形，上底AD1，下底BC1，高AB2，所以四边形ABCD的面积SAB(ADBC)2(11)2.1.还原图形的过程是画直观图的逆过程，关键是找与x轴、y轴平行的直线或线段.平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段还原时长度变为原来的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.2.求图形的面积，关键是能先正确画出图形，然后求出相应边的长度，再利用公式求解.3.原图的面积S与直观图的面积S之间的关系为S2S.再练一题4.如图1151，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为()图1151A.a2 B.2a2 C.a2 D.2a2【解析】由直观图还原出原图，如图，在原图中找出对应线段长度进而求出面积.所以Sa2a2a2.【答案】B1.关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是()A.直角三角形的直观图仍是直角三角形B.梯形的直观图是平行四边形C.正方形的直观图是菱形D.平行四边形的直观图仍是平行四边形【解析】由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确.【答案】D2.如图1152所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为()图1152A.平行四边形B.梯形C.菱形D.矩形【解析】因为DAB45，由斜二测画法规则知DAB90，又因四边形ABCD为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形.【答案】D3.如图1153所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B到x轴的距离为_.图1153【解析】画出直观图，BC对应BC，且BC1，BCx45，故顶点B到x轴的距离为.【答案】4.如图1154所示的直观图A