高中数学第三章概率3.3模拟方法__概率的应用知识导航北师大版.DOC

3模拟方法概率的应用知识梳理1.我们知道可以用随机事件发生的频率来估计其发生的概率,但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大量的重复试验,既费时又费力,并且有时很难实现.因此我们可以借助于模拟方法来估计某些随机事件发生的概率.2.用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验,可以节约大量的时间和金钱,所以它是一种非常有效而且应用广泛的方法.例如,使用随机数来模拟大量的抛掷硬币的试验;求不规则图形的近似面积或不规则物体的近似体积;利用计算机模拟自然灾害的发生等.当现实中的试验难以实施或不可能实施时,模拟可以给我们提供一个解决问题的方案.知识导学在古典概型中利用等可能性的概念,成功地计算了某一类问题的概率,不过,古典概型要求的可能结果的总数必须是有限个.但现实中许多问题的结果却是无限多个,我们希望把这种做法推广到无限多结果,而又有某种等可能性的场合,得到随机事件的概率,这便用到模拟方法,如前面我们利用随机数表产生随机数来模拟抛掷硬币的试验、通过4人依次摸球来模拟摸奖活动等都是模拟方法.模拟方法的基本思想可以通过几何概型来体现.几何概型也是一种概率模型,它是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个;它的特点是在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关,只与该区域的大小有关.大家可以通过一些实物模型(落在某区域内的芝麻、转盘等模型),体会几何概型的意义和几何概型的概率公式;结合实例弄清几何概型的两个基本特征:(1)无限性,在一次试验中,可能出现的结果有无限个;(2)等可能性,每个结果的发生是等可能的.利用模拟方法,可以来估计现实生活中某些随机事件的概率.疑难突破1.古典概型与几何概型的区别剖析:几何概型与古典概型中基本事件发生的可能性都是相等的(等可能性是一致的);但几何概型的基本事件总数有无限多个,古典概型的基本事件总数有有限个.古典概型中试验的所有结果只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果,并且每一次试验结果出现的可能性相同;而几何概型中进行一次试验相当于向几何体G中取一点,对G内任意子集,事件“点取自g”的概率与g的测读(长度、面积或体积)成正比,而与g在G中的位置、形状无关.例如,抛掷硬币出现正面或者反面的概率属于古典概型问题,而向一个大小一定的正方形及其内切圆内随机丢一粒种子,求种子落入内切圆的概率,这就属于几何概型问题.古典概型中随机事件A的概率可以通过公式P(A)=来计算;而几何概型事件A的概率的计算公式为P(A)=2.用随机模拟估算几何概率剖析:随机模拟试验是研究随机事件的概率的重要方法.用计算机或计算器模拟试验,关键是把实际问题中的事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围,即转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型,也就是怎样用随机数来刻画影响随机事件结果的量.可从以下几个方面考虑:(1)由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数的组数;如长度、角度型只用一组,而面积型需要两组;(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围;(3)由事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式.典题精讲例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想收听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.思路分析:假设他在060分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的,但060分钟之间有无穷多个时刻,故不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率,我们可以通过随机模拟的方法得到事件发生的概率的近似值,也可以通过几何概型的求概率公式得到.因为电台每隔1小时报时一次,他在060之间任何一个时刻打开收音机是等可能的,所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解:设A=等待的时间不多于10分钟,我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于50,60时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得P(A)=,即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为.绿色通道:本例中,打开收音机的时刻x是随机的,可以是060分钟之间的任一时刻,并且是等可能的,我们称x服从0,60上的均匀分布,x是0,60上的均匀随机数.变式训练取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段都不少于1 m的概率有多大?思路分析:从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点,其基本事件有无限多个,所以,可用几何概型考虑.解:记“剪得两段都不少于1 m”为事件A,把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生,由于中间一段的长度等于绳长的,所以事件A发生的概率是P(A)=.例2某汽车站每隔10分钟有一班汽车通过,求乘客候车时间不超过4分钟的概率,并尝试用计算机模拟该试验.思路分析:本题为一道综合性问题,先分析出所求的问题为几何概型,再根据几何概型的计算公式计算结果,最后设计出模拟试验.解:设乘客到达车站的时间是随机的,则由题意可得,P(A)=模拟试验:用计数器n记录做了多少次试验,用计数器m记录其中有多少次出现在(0,4)内,变换rand()*产生随机数,并判断随机数是否在10n,10n+4之中,如果在,则为m+1,如果不在则m保持不变.变式训练甲盒中有红,黑,白三种颜色的球各3个,乙盒子中有黄,黑,白三种颜色的球各2个,从两个盒子中各取1个球.(1)求取出的两个球是不同颜色的概率.(2)请设计一种随机模拟的方法,来近似计算(1)中取出两个球是不同颜色的概率(写出模拟的步骤).解:(1)设A“取出的两球是相同颜色”,B“取出的两球是不同颜色”.则事件A的概率为:P(A)由于事件A与事件B是对立事件,所以事件B的概率为:P(B)1-P(A)1-(2)随机模拟的步骤:第1步:利用计算机(计算器)产生13和24两组取整数值的随机数,每组各有N个随机数.用“1”表示取到红球,用“2”表示取到黑球,用“3”表示取到白球,用“4”表示取到黄球.第2步:统计两组对应的N对随机数中,每对中的两个数字不同的对数n.第3步:计算的值.则就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值.例3某篮球爱好者,做投篮练习,假设其每次投篮命中的概率是40%,那么在连续三次投篮中,恰有两次投中的概率是多少?思路分析:其投篮的可能结果有有限个,但是每个结果的出现不是等可能的,所以不能用古典概型的概率公式计算,我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%.解:S1:利用计算机或计算器可以产生0到9之间的取整数值的随机数.S2:1,2,3,4表示投中,用5,6,7,8,9,0表示未投中,这样可以体现投中的概率是40%.因为是投篮三次,所以每三个随机数作为一组.例如:产生20组随机数:812,932,569,683,271,989,730,537,925,907,113,966,191,431,257,393,027,556,156,278.这就相当于做了20次试验,在这组数中,如果恰有两个数在1,2,3,4中,则表示恰有两次投中,它们分别是812,932,271,191,393,即共有5个数,我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为=25%.变式训练同时抛掷两枚骰子,计算都是1点的概率.思路分析:抛掷两枚骰子,相当于产生两个1到6的随机数,因而我们可以产生随机数,然后两个一组分组,每组第一个数表示一枚骰子的点数,第二个数表示第二枚骰子的点数.解:利用计算器或计算机产生1到6的取整数值的随机数,两个随机数作为一组,统计随机数总组数N及其中两个随机数都是1的组数N1,则频率即为抛掷两枚骰子都是1点的概率的近似值.问题探究问题如图3-3-1的正方形中随机撒一大把豆子,设计一个可以估计出落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比的模拟试验,你能以此估计出圆周率吗?图3-3-1探究:利用计