高等数学B2复习(讲稿)例题解答.doc

高等数学（B）复习例题解答第六章： 空间解析几何初步（1）向量平行和垂直的充要条件： 例1 求，若，则 ；若，则 。【解】，故；，故例2 求与及都垂直的单位向量。【解】设与都垂直，则 或 故与及都垂直的单位向量为 （2）求向量的模、方向余弦及方向角和两向量的夹角的方法：例1 已知两点和，试求向量的模、方向余弦及方向角。【解】由于，则 又因为 故方向余弦为 方向角为 例2 已知向量与的夹角为，又，计算。【解】 例3 设，又，则（ ） A. B. C. D.【解】选D. 注意到（3）求平面方程的方法： 例1 已知平面与平面平行且相距6个单位，求的方程。例2 一平面通过两点和，且垂直于平面，求平面方程。例3 求过直线且平行于直线的平面方程。例4 已知平面过点和直线，求平面的方程。例5 求平行于平面且与三个坐标面所围成的四面体的体积为的平面的方程 提示：可用截距式或一般式方程来作（4）将直线的一般方程化为点向式或参数式的方法 例1 将直线的一般方程化为对称式方程和参数式方程。（5）求空间直线的方法：例1 已知直线过点且与平面平行，又与直线垂直，求直线的方程。例2 求直线在平面上的投影。提示：求直线在平面上的投影，只需求出过直线且与平面垂直的平面，则两平面的交线就是所求的投影直线（6）判断二次曲面的方法：例1 下列方程中所表示的曲面表示旋转抛物面的是（ ） （A） （B）（C） （D）例2 设曲面方程，当时，曲面可由面上以曲线 绕 轴旋转而成，或由面上以曲线 绕 轴旋转而成。例3 在空间中，方程表示母线平行于 轴，以坐标面上的抛物线 为准线的柱面。第七章：多元函数微分学（1）求二元函数的定义域的方法:例1 设，求其定义域（2）求二重极限的方法:例1 求下列二重极限：（1）； （2）； （3）例2 证明二重极限：不存在（3）求偏导数的方法: 例1 设，求例2 证明二元函数在的邻域内连续且有偏导数和例3 求下列函数的偏导数和 （1）； （2）； （3）例4 设，求和例5 设，其中具有二阶连续偏导数，求 （4）求全微分的方法: 例1 求下列函数的全微分 （1）； （2）； （3）例2 求函数在点处的全微分例3 设为某一函数的全微分，则常数（ ） （A）； （B） （C） （D）提示：由和都连续，从而，可求出之值（5）求隐函数的偏导数的方法:例1 设函数是由方程：确定的隐函数，求和。例2 设函数是由方程：确定的隐函数，验证例3 设函数，其中是由方程：确定的二元函数，且都是可微函数，连续，求（6）讨论二元函数的极值与最值例1 设函数在处取得极值，试求常数，并确定极值的类型。例2 设是由方程所确定的函数，求的极值点和极值。例3 求函数在条件（其中）下的极大值。例4 设某工厂生产和两种产品，产量分别为和（单位：千件），利润函数为已知生产这两种产品时，每千件产品均消耗某种原料2000kg，现有该原料12000kg，问如何安排生产才能使总利润最大？最大利润是多少？【解】由题意，问题可转化为求利润函数在条件： 即 下的条件极值，当时，解方程组，得唯一驻点，此时， （万元）当时，作Lagrange函数 解方程组 得，即得驻点，此时 （万元）显然，存在最大值，故生产产品3千件，产品2千件时能使总利润最大，最大利润为33万元第八章： 二重积分（1）求二重积分的方法：例1 利用二重积分的几何意义，求下列二重积分的值 （1），其中 （2），其中【解】例2 计算下列二重积分 （1），其中 （2），其中是曲线和在第一象限所围成的区域例3 计算下列二重积分 （1），其中 （2），其中（2）交换二重积分的积分顺序的方法例4 交换下列二次积分的积分顺序 （1）； （2）第九章： 无穷级数（1）判断数项级数收敛的方法：例1 判别下列级数是否收敛：（1）； （2） （3）例2 判别下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？（1）； （2）； （3）例3 若级数收敛，问是否收敛？是绝对收敛还是条件收敛？例4 设级数，都收敛，且，证明也收敛。例5 下列命题正确的是（A）若收敛，则也收敛；（B）若收敛，则也收敛；（C）若收敛，则； （D）若收敛且，则未必收敛。（2）判断数项级数发散的方法：例1 判别下列级数是否收敛：（1）； （2）（3）求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的方法：例1 若幂级数在处收敛，则该级数在处（ ）（A）绝对收敛； （B）条件收敛； （C）发散； （D）敛散性不能确定。例2 若幂级数在处收敛，试讨论该级数在和处的敛散性。例3 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域：（1）； （2）； （3）例4 设幂级数在处条件收敛，则其收敛半径为 。（4）求幂级数的和函数的方法： 例1 求下列幂级数的和函数：（1）； （2）； （3）（5）将函数展开幂级数的方法：例1 将下列函数展开成的幂级数（变量代换）（1）； （2） （3）例2 将下列函数展开成麦克劳林级数（逐项求导、积分）（1）； （2）； （3）例3 将展开成的幂级数。第十章： 微分方程与差分方程（1）求解一阶可解微分方程的方法：例1 求解下列微分方程： （1）； （2）； （3）； （4）例2 设可导函数满足，求例3 已知某商品的需求和供给都是价格的函数：，其中为常数；价格是时间的函数且满足方程：（为正常数）。假设当时价格为，试求：（1）需求量等于供给量时的均衡价格；（2）价格函数；（3）极限【解】（1）由，即，容易求出均衡价格。（2）由题设，有 或分离变量 得 两端积分，整理得 或 当时，得，则有 （3）该解的经济意义：随着时间的增加，供需关系会趋于平衡。3已知某产品在时刻的价格、总需求和总供给分别为、和。且满足条件： ，求证：价格满足差分方程：；当已知时，求上述方程的解。（2）求解可降阶的高阶微分方程的方法：例2 求解下列微分方程：（1）； （2）； （3）（4）（3）求解二阶常系数线性方程的方法：例1 求解下列微分方程：（1）； （2）； （3）；【解】（4）求解一阶常系数线性差分方程的方法：例1 求下列差分方程的通解：（1）； （2）（）；例2 已知某产品在时刻的价格、总需求和总供给分别为、和。且满足条件： ，求证：价格满足差分方程