《极限求法总结》word版.doc

极限的求法 1 极限的求法 1 1、利用极限的定义求极限、利用极限的定义求极限 2 2、直接代入法求极限、直接代入法求极限 3 3、利用函数的连续性求极限、利用函数的连续性求极限 4 4、利用单调有界原理求极限、利用单调有界原理求极限 5 5、利用极限的四则运算性质求极限、利用极限的四则运算性质求极限 6.6. 利用无穷小的性质求极限利用无穷小的性质求极限 7 7、无穷小量分出法求极限、无穷小量分出法求极限 8 8、消去零因子法求极限、消去零因子法求极限 9 9、 利用拆项法技巧求极限利用拆项法技巧求极限 1010、换元法求极限、换元法求极限 1111、利用夹逼准则求极限、利用夹逼准则求极限 3 1212、利用中值定理求极限、利用中值定理求极限 1313、 利用罗必塔法则求极限利用罗必塔法则求极限 1414、利用定积分求和式的极限、利用定积分求和式的极限 1515、利用泰勒展开式求极限、利用泰勒展开式求极限 1616、分段函数的极限、分段函数的极限 1 1、利用极限的定义求极限、利用极限的定义求极限 用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A，这 种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限 值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总 是密切相连的。 例：的- 定义是指：0， =(，)0，0|x- 0 lim xx f xA 0 x |f(x)-A| 为了求 可先对的邻域半径适当限制， 如然后适 0 x 0 x 当放大f(x)-A(x) (必然保证(x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值 的不等式： x+a=|(x-)+(+a)|x-|+|+a|+a+1 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 域|x+a|=|(x-)+(+a)|+a|-|x-|+a|-1 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 从(x)2，求出2后， 取min(1，2)，当0|x- | 时，就有|f(x)-A|. 0 x 极限的求法 2 例：.设lim n n xa 则有 12 . lim n n xxx a n 证明：因为lim n n xa ,对 11 0( )NN ，,当 1 nN时， - 2 n x a 于是当 1 nN时， 1212 nn xxxxxxna a nn 0 其中， 1 12N Axaxax 是一个定数, 再由 2 A n 解得 2A n ,故取 。 1 2 max, A NN 12 . += 22 n xxx nN n 当时， 2 2、 直接代入法求极限直接代入法求极限 适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为 例 1. 求 . 分析 由于 , 所以采用直接代入法. 解 原式= 3 3、利用函数的连续性求极限、利用函数的连续性求极限 定理：一切连续函数在其定义区间内的点处都连续，即如果是函数的 2 0 x)(xf 定义区间内的一点，则有。)()(lim 0 0 xfxf xx 一切初等函数在其定义域内都是连续的，如果是初等函数，是其定( )f x 0 x 义域内一点，则求极限时，可把代入中计算出函数值，即 0 lim( ) xx f x 0 x( )f x =。 0 lim( ) xx f x 0 ()f x 极限的求法 3 对于连续函数的复合函数有这样的定理：若在连续且，( )ux 0 x 00 ()ux 在处连续，则复合函数在处也连续，从而( )yf u 0 u ( )yfx 0 x 或。lim o xxo fxf x limlim xxoxxo fxfx 例： 2 limlnsin x x 解：复合函数在处是连续的，即有= 2 x 2 limlnsin =lnsinln10 2 x x 4 4、利用单调有界原理求极限、利用单调有界原理求极限 这种方法是利用定理:单调有界数列必有极限，先判断极限存在，进而求极限。 例：求lim. n a aa 解：令，则， ，即，. n xaaa 1nn xax aaa 1nn xx 所以数列单调递增，由单调有界定理知，有限，并设为， n xlim. n a aa A ，即，所以 1 limlim nn nn xax 114 , 2 a Aa A A= 。 114 lim. 2 n a a aa 5 5、利用极限的四则运算性质求极限、利用极限的四则运算性质求极限 定理：若极限和都存在，则函数，当 1 0 lim( ) xx f x 0 lim( ) xx g x )(xf)(xg)()(xgxf 时也存在且 0 xx 000 lim( )( )lim( )lim( ) xxxxxx f xg xf xg x 000 lim( )( )lim( ) lim( ) xxxxxx f xg xf xg x 又若 c0，则在时也存在，且有. )( )( xg xf 0 xx 0 0 0 lim( ) ( ) lim ( )lim( ) xx xx xx f x f x g xg x 利用该种方法求极限方法简单，但要注意条件是每项或每个因子极限存在， 一般情况所给的变量都不满足这个条件， 例如出现， 等情况， 0 0 都不能直接运用四则运算法则，必须对变量进行变形。变形时经常用到因式分 解、有理化的运算以及三角函数的有关公式。 极限的求法 4 总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、 商。 例：求 3 1 31 lim 11 x xx （） 解：由于当时，与的极限都不存在，故不能利用“极限的和等x1 3 3 1x 1 1x 于和的极限”这一法则，先可进行化简 这样得到的新函数当 2 3322 313(1)(1)(2)(2) = 111-(1)(1)(1) xxxxx xxxxxxxx 时，分子分母都有极限且分母的极限不为零，可用商的极限法则，即1x 32 11 31(2) lim=lim=1 11(1) xx x xxxx （） 例 2. 求1 1 lim 2 x x x 。 解1 1 lim 2 x x x ) 1(lim ) 1(lim 2 2 x x x x 3 1 6.6. 利用无穷小的性质求极限利用无穷小的性质求极限 我们知道在某一过程中无穷大量的倒数是无穷小量，有界变量乘无穷小是 无穷小，对一些特殊的函数而言用其他方法很难求得，只能用这种方法来求。 例：求 2 1 4 -7 lim 32 x x xx 解：当时，分母的极限为零，而分子的极限不为零，可先求处所给函数倒1x 数的极限，故。 2 1 32 lim=0 4 -7 x xx x 2 1 4 -7 lim= 32 x x xx 例 5 求极限 分析 因为 不存在,不能直接使用运算法则, 故必须先将函数进 行恒等变形. 解 原式= (恒等变形) 极限的求法 5 因为 当 时, , 即 是当 时的无穷小,而 1, 即 是有界函数,由无穷小的性质：有界函数乘无穷小仍是无 穷小, 得 =0. 7 7、无穷小量分出法求极限、无穷小量分出法求极限 适用于分子、分母同时趋于 ,即 型未定式 例 3 分析 所给函数中，分子、分母当 时的极限都不存在，所以不能直 接应用法则.注意到当 时，分子、分母同时趋于 ，首先将函数进行初 等变形，即分子、分母同除 的最高次幂，可将无穷小量分出来，然后再根据 运算法则即可求出极限. 为什么所给函数中,当 时，分子、分母同时趋于 呢?以当 说明：因为 ,但是 趋于 的 速度要比 趋于 的速度快，所以 .不要认为 仍是 (因为 有正负之分). 解 原式 (分子、分母同除 ) （运算法则） （当 时， 都趋于 .无穷大的倒数是无穷小.） 极限的求法 6 8 8、消去零因子法求极限、消去零因子法求极限 适用于分子、分母的极限同时为 0,即 型未定式 例 4 分析 所给两个函数中,分子、分母的极限均是 0,不能直接使用法则四,故 采用消去零因子法. 解 原式= (因式分解) = (约分消去零因子 ) = (应用法则) = 9 9、 利用拆项法技巧求极限利用拆项法技巧求极限 例6： ) ) 12)(12( 1 5 . 3 1 3 . 1 1 ( lim nn n 分析：由于 ) ) 12)(12( 1 nn = ) 12 1 12( 1 ( 2 1 nn 原式=2 1 ) 12 1 1 ( 2 1 ) 12 1 12 1 () 5 1 3 1 () 3 1 1( 2 1 lim lim nnn n n 1010、换元法求极限、换元法求极限 当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变 形，使之简化易求。 例: 求 1 1 lim ln x x x xx 解：令 则1 x txlnln(1)xxt 极限的求法 7 100 11 limlimlim1 ln(1) lnln(1) x xtt xt t xxt t 例 7 求极限 . 分析 当 时,分子、分母都趋于 ,不能直接应用法则,注意到 ,故可作变量替换. 解 原式 = = (令 ,引进新的变量,将原来的关于 的 极限转化为 的极限.) = . ( 型,最高次幂在分母上) 1111、利用夹逼准则求极限、利用夹逼准则求极限 3 已知为三个数列，且满足：, nnn zyx （1） ；), 3 , 2 , 1( ,nzxy nnn （2） ，。ay n n limaz n n lim 则极限一定存在，且极限值也是 ，即。利用夹逼准则求极 n n xlimaax n n lim 限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个同极限值的 n x 数列使得。 nnn yxz 例：，求的极限 222 111 . 12 n x nnnn n x 解：因为单调递减，所以存在最大项和最小项 n x 2222 111 . n n x nnnnnnnn 2222 111 . 1111 n n x nnnn 极限的求法 8 则 22 1 n nn x nnn 又因为，则。 22 limlim 1 nn nn nnn lim1 n x x 1212、利用中值定理求极限、利用中值定理求极限 (1)微分中值定理：若函数 满足在连续，在(a，b)可导； 1 ( )f x, a b 则在(a，b)内至少存在一点，使得。 ( )( ) ( ) f bf a f ba 例：求 3 0 sin(sin )sin lim x xx x 解：， sin(sin )sin(sin) cos(sin )xxxxxxx(01) 3 0 sin(sin )sin lim x xx x 3 0 (sin) cos(sin ) lim x xxxxx x 3 0 cos1 cos 3 lim x x x 0 sin 6 lim x x x 1 6 (2)积分中值定理：设函数在闭区间上连续； 在上不 1 f x, a b g x, a b 变号且可积，则在上至少有一点使得, a b , bb aa f x g xfg x dxab 例：求 4 0 sin lim n n xdx 解： 4 0 sin lim n n xdx 极限的求法 9 sin(0) 4 lim n n x (0) 4 (sin ) 4lim n n =0 1313、 利用罗必塔法则求极限利用罗必塔法则求极限 定理:假设当自变量 x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满 4 )(xf)(xg 足： （1）和的极限都是 0 或都是无穷大；)(xf)(xg （2）和都可导，且的导数不为 0；)(xf)(xg)(xg （3）存在（或是无穷大） ； )( )( lim xg xf 则极限也一定存在，且等于，即= 。 )( )( lim xg xf )( )( lim xg xf )( )( lim xg xf )( )( lim xg xf 洛必达法则只能对型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种 0 0 或 类型之一，然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当等于 A 时， lim ( ) fx g x 那么也存在且等于 A. 如果不存在时，并不能断定 lim ( ) f x g x lim ( ) fx g x 也不存在，只是这是不能用洛必达法则，而须用其他方法讨论 lim ( ) f x g x 。 lim ( ) f x g x 例：求 0 lnsin lim lnsin x mx nx 解：由知 00 limlnsinlimlnsin xx mxnx 所以上述极限是待定型 000 lnsincossinsin limlimlim1 lnsincossinsin xxx mxmmxnxmnx nxnnxmxnmx 1414、利用定积分求和式的极限、利用定积分求和式的极限 极限的求法 10 利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数。把所求极限的( )f x 和式表示成在某区间上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限( )f x, a b 。 5 例：求 222222 1 12(1) lim n nnn nnnnn 解：由于 222222 1 12(1) nnn nnnnn = 222 1111 1 12 11 1 ()1 ()1 () n n nnn 可取函数 ，区间为，上述和式恰好是 2 1 ( ) 1 f x x 0,1 2 1 ( ) 1 f x x 在上等分的积分和。0,1n 所以 222222 1 12(1) lim n nnn nnnnn 222 1111 1 1