浙江专用2020版高考数学第八章立体几何考点规范练37空间点、直线、平面之间的位置关系.docx

考点规范练37空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固组1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.垂直答案A解析如图所示,直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.2.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是()A.l1l4B.l1l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定答案D解析如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1,取l1为BB1,l2为BC,l3为AD,l4为CC1,则l1l4,可知选项A错误;取l1为BB1,l2为BC,l3为AD,l4为C1D1,则l1l4,故B错误,则C也错误,故选D.3.(2018浙江高三模拟)给定下列两个关于异面直线的命题:命题(1):若平面上的直线a与平面上的直线b为异面直线,直线c是与的交线,则c至多与a,b中的一条相交;命题(2):不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线.那么()A.命题(1)正确,命题(2)不正确B.命题(2)正确,命题(1)不正确C.两个命题都正确D.两个命题都不正确答案D解析如图所示,当c可以与a,b都相交,但交点不是同一个点时,平面上的直线a与平面上的直线b为异面直线,因此(1)是假命题;对于(2),可以取无穷多个平行平面,在每个平面上取一条直线,且使这些直线两两不同向,则这些直线中任意两条是异面直线,从而(2)是假命题;故选D.4.已知直线a,b分别在两个不同的平面,内.则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析若直线a,b相交,设交点为P,则Pa,Pb.又因为a,b,所以P,P.故,相交.反之,若,相交,设交线为l,当a,b都与直线l不相交时,则有ab.显然a,b可能相交,也可能异面或平行.综上,“直线a,b相交”是“平面,相交”的充分不必要条件.5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为()A.45B.35C.23D.57答案B解析连接DF,则AEDF,D1FD为异面直线AE与D1F所成的角.设正方体棱长为a,则D1D=a,DF=52a,D1F=52a,cosD1FD=52a2+52a2-a2252a52a=35.6.正方体ABCD-A1B1C1D1的12条棱中,与棱AA1是异面直线且互相垂直的棱有条.答案4解析与AA1异面且垂直的有B1C1,BC,CD,C1D1.7.如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点E,F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心,则EF和CD所成的角是.答案60解析连接A1D,AD1,则F恰好是它们的交点,同理E是A1C1,B1D1的交点.连接EF,AB1,正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1BD1D,且B1B=D1D,四边形BB1D1D是平行四边形,可得BDB1D1.因此,FED1(或其补角)就是EF和BD所成的角.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则FED1中,D1E=D1F=EF=22,FED1是等边三角形,可得FED1=60.由此可得EF和BD所成的角等于60.8.如图,在四面体ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,过EF任作一个平面分别与直线BC,AD相交于点G,H,则下列结论正确的是.对于任意的平面,都有直线GF,EH,BD相交于同一点;存在一个平面0,使得GFEHBD;存在一个平面0,使得点G在线段BC上,点H在线段AD的延长线上;对于任意的平面,都有SEFG=SEFH.答案解析逐一判断.当点G,H分别是BC和AD的中点时,直线GF,EH,BD两两相互平行,所以错误,正确;点G在BC上时,GF与BD的延长线的交点I一定在BD延长线上,连接EI,与AD的交点H一定在线段AD上,所以错误;过点D作DPAB交EI于点P,因为IDIB=DPBE=DPAE(相似),所以线段GCBC=DHAD,SGCFSBCD=SDFHSACD,所以四面体EFGC与ECFH的体积相等.所以EFG与EFH的面积相等,正确.故正确结论的序号是.能力提升组9.给出下列四个命题:分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线;若一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面相互垂直;垂直于同一直线的两条直线相互平行;若两个平面垂直,则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中为真命题的是()A.和B.和C.和D.和答案D解析分别与两条异面直线都相交的两条直线,可能相交也可能异面,故错误;根据面面垂直的判定定理,当一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面一定相互垂直,故正确;垂直于同一直线的两条直线可能平行,也可能相交,也可能异面,故错误;由面面垂直的性质定理,当两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直,故正确.故选D.10.如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BGGC=DHHC=12,则下列说法正确的是()A.EG,FH,AC交于一点B.EF,GH,BD交于一点C.EFGH为平行四边形D.AC平面EFGH答案A解析G,H不是BC,CD的中点,EFGH.又EFGH,EG与FH必相交,设其交点为M,EG平面ABC,HF平面ACD,M平面ABC,且M平面ACD.M在平面ABC与平面ACD的交线上.又平面ABC平面ACD=AC,MAC.故EG与HF的交点在直线AC上.11.在空间直角坐标系Oxyz中,正三角形ABC的顶点A,B分别在xOy平面和z轴上移动.若AB=2,则点C到原点O的最远距离为()A.3-1B.2C.3+1D.3答案C解析连接OA,取AB的中点E,连接OE,CE,根据题意可得:RtAOB中,斜边AB=2,OE=12AB=1.又正三角形ABC的边长为2,CE=32AB=3,对图形加以观察,当点A,B分别在xOy平面和z轴上移动时,可得当O,E,C三点共线时,点C到原点O的距离最远,且最远距离等于3+1.故选C.12.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1平面ABCD,ABCD,DCB=90,AB=AD=AA1=2DC,Q为棱CC1上一动点,过直线AQ的平面分别与棱BB1,DD1交于点P,R,则下列结论错误的是()A.对于任意的点Q,都有APQRB.对于任意的点Q,四边形APQR不可能为平行四边形C.存在点Q,使得ARP为等腰直角三角形D.存在点Q,使得直线BC平面APQR答案C解析ABCD,AA1DD1,平面ABB1A1平面CDD1C1,平面APQR平面ABB1A1=AP,平面APQR平面CDD1C1=RQ,APQR,故A正确.四边形ABCD是直角梯形,ABCD,平面BCC1B1与平面ADD1A1不平行,平面APQR平面BCC1B1=PQ,平面APQR平面ADD1A1=AR,PQ与AR不平行,故四边形APQR不可能为平行四边形,故B正确.延长CD至M,使得DM=CM,则四边形ABCM是矩形,BCAM.当R,Q,M三点共线时,AM平面APQR,BC平面APQR,故D正确.故选C.13.(2017浙江温州模拟)如图,在四边形ABCD中,AB=BD=DA=2,BC=CD=2.现将ABD沿BD折起,当二面角A-BD-C处于6,56过程中,直线AB与CD所成角的余弦值取值范围是()A.-528,28B.28,528C.0,28D.0,528答案D解析如图所示,取BD中点E,连接AE,CE,AEC即为二面角A-BD-C的平面角,而AC2=AE2+CE2-2AECEcosAEC=4-23cosAEC,AEC6,56,AC1,7,ABCD=22cos=AB(BD-BC)=-2+ABBCAB2+BC2-AC22ABBC=1-AC22-52,12,设异面直线AB,CD所成的角为,0cos12252=528,故选D.14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则直线BN与MB1是直线(填“相交”或“平行”或“异面”);直线MN与AC所成的角的大小为.答案异面60解析(1)M,B,B1三点共面,且在平面MBB1中,点N平面MBB1,BMB1,因此直线BN与MB1是异面直线;(2)连接D1C,因为D1CMN,所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角,且角为60.15.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,点E在侧棱AA1上,满足C1EB=90,则异面直线BE与C1B1所成的角为,侧棱AA1的长的最小值为.答案902解析连接BC1,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,CB平面ABB1A1,CBE=90.又C1B1BC,异面直线BE与C1B1所成的角为90.设AA1=x,AE=m(m0),所以BE2=1+m2,EC12=(x-m)2+2,BC12=1+x2,因为C1EB=90,所以BC12=EC12+BE2,即1+x2=(x-m)2+2+1+m2,即m2-mx+1=0,所以x=m+1m2当且仅当m=1m,即m=1时等号成立.16.(2018浙江桐乡一中)在三棱锥A-BCD中,ADBC,AD=BC=2,AB=CD=4,则直线AB与CD所成角的大小为.答案45解析取BD的中点G,连接EG,FG,ABD中,E,G分别为AB,BD的中点,EGAD且EG=12AD.同理可得FGBC,且FG=12BC,EF与FG所成的直角或锐角就是异面直线EF与BC所成的角.ADBC且AD=BC,EFG中,EGGF且EG=GF.EGF=45,即异面直线EF与BC所成角等于45.故答案为45.17.已知正方形ABCD和矩形ADEF,DE平面ABCD,G是AF的中点.(1)求证:EBAC;(2)若直线BE与平面ABCD成45角,求异面直线GE与AC所成角的余弦值.(1)证明在矩形ADEF中,EDAD.平面ADEF平面ABCD,且平面ADEF平面ABCD=AD,ED平面ABCD.EDAC.(2)解由(1)知:ED平面ABCD,EBD是直线BE与平面ABCD所成的角,即EBD=45.设AB=a,则DE=BD=2a,取DE的中点M,连接AM.G是AF的中点,AMGE.MAC是异面直线GE与AC所成角或其补角.连接BD交AC于点O.AM=CM=a2+22a2=62a,O是AC的中点,MOAC.cosMAC=AOAM=22a62a=33.异面直线GE与AC所成角的余弦值为33.18.(2018北京高考)如图,ABC是等腰直角三角形CAB=90,AC=2a,E,F分别为AC,BC的中点,沿EF将CEF折起,得到如图所示的四棱锥C-ABFE.(1)求证:AB平面AEC;(2)当四棱锥C-ABFE体积取最大值时,若G为BC中点,求异面直线GF与AC所成角.(1)证明因为ABC是等腰