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高三数学答案 第 1 页（共 8 页） 高三数学第一学期期末考试参考答案高三数学第一学期期末考试参考答案 2019.01.19 一、填空题一、填空题（每小题（每小题 5 分）分） 题号题号 答案答案 考查知识考查知识方法思想技能方法思想技能 出出 处处 来来 源源 1 0 2， 集合的运算 必修 1 P13 页练习第 1 题改编 2 x x2 函数的定义域，不等式解法 必修 1P69 页练习第 2 题改编 3 1 5 古典概型，分类讨论 必修 3 课本 P104 页练习第 6 题改编 4 8 算法运算 必修 3 课本 P39 页练习第 13 题改编 5 3 3 旋转体侧面积体积计算 必修 2 表面积，体积课本题改编 6 5 6 抛物线与双曲线性质，运算 选修 2-1 课本 P58 页习题第 5 题改编 7 1 2 等比数列基本量运算 必修 5 课本习题改编 8 2 3（ ，） 函数的奇偶性单调性，转化 期中试卷第 12 题改编 9 8 7 三角变换，转化、运算 必修 4 课本 P123 页练习第 5 题改编 10 1 3 向量的数量积，运算 必修 5 课本习题改编 11 2 1 等差数列基本量，恒成立， 运算 必修 5 课本习题改编 12 3 基本不等式 必修 5 课本课本题改编 13 2a2 圆与圆的位置关系，转化， 运算 必修 2 课本习题改编 14 1 ) 6 ， 函数、导数、不等式，恒成 立问题，分析运算 模拟题改编 二、解答题二、解答题【注意注意：请严格按照评分标准请严格按照评分标准，逻辑段分数中间逻辑段分数中间，不设中间分不设中间分】 15. 解： （1）由正弦定理 sinsinsin abc ABC ， 1 分分 且coscos3 coscBbCaB，得：sincossincos3sincosCBBCAB，3 分分 则有：3sincossin()sin()sinABBCAA， 5 分分 又），（0A，则0sinA， 6 分分 则 3 1 cosB. 7 分分 （2）因为），（0B，则0sinB， 22 12 2 sin1cos1( ) 33 BB， 9 分分 高三数学答案 第 2 页（共 8 页） 因为2CACBBAc. 10 分分 又22 3 22 2 2 1 sin 2 1 aBacS，得. 3a 12 分分 由余弦定理 222 1 2cos9423 29 3 bacacB ， 则3b.14 分分 【说明】本题主要考查正余弦定理、向量运算、三角变换求值与化简，考查学生的字母符号 处理能力、运算、书写表达能力. 16.证明（1）在四棱锥VABCD中： 因为VD 面ABCD，BC面ABCD，所以BCVD. 3 分分 因为底面ABCD是矩形，所以CDBC . 4 分分 又CD面VCD，VD面VCD，DVDCD，则BC 平面VCD.7 分分 （2）因为底面ABCD是矩形，所以ADBC， 8 分分 又AD面VBC，BC面VBC，则有AD面VBC， 11 分分 又面ADNM面MNVBC ，AD面ADNM，则ADMN. 14 分分 【说明】本题主要考查线面垂直、线面平行的判定和性质；考查学生的逻辑推理能力、空间 想象能力、书写表达能力. 17. 解： （1）因为三楼宇间的距离都为 2 千米，所以2ABACBC, 1 分分 因为楼宇 D 对楼宇 B，C 的视角为120，所以120BDC， 2 分分 （注意：此处不交代说明必须按标准扣分！ ）（注意：此处不交代说明必须按标准扣分！ ） 在BDC 中， 由 222 2cosBCBDDCBD DCBDC得： 3 分分 所以 22222 22cos120BDCDBD CDBDCDBD CD， 2 3BD CDBD CDBD CD. 则BD CD 4 3 ， 4 分分 当且仅当BDCD时， 此时30DBCDCB， 12 3 = cos303 BDCD ， （注意注意：此处一定要说明此处一定要说明BDCD能否能否成立成立） 5 分分 区域最大面积S SABC + SBCD = 11 22 sin60sin120 22 BD CD 4 3 3 （平方千米） 7 分分 （或者：因为直角三角形ABD，ACD 全等，区域最大面积： S SABD+SACD = 2SABD 14 3 2 23 AB BD（平方千米）. 7 分分） 高三数学答案 第 3 页（共 8 页） （2）设铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为y元， 在RtBDE 中，由（1）知： (0,) 3 BDE， 8 分分 则 2 3 3cos DE ， 2 3 tan 3 BE， 2 3 2tan 3 AEABBE， 9 分分 所以 2 32 3 22 ()(2tan ) 3cos3 ya EDa AEaa 2 32sin ()2 3cos aa ， (0,) 3 . 10 分分 记 2sin ( ) cos f ，令( ) f 2 1 2sin 0 cos ，解得 0,) 63 . 11 分分 当 0,) 6 时，( )0f，函数( )f为减函数； 当 ,) 6 3 时，( )0f；函数( )f为增函数. 所以当 6 时，( )f取最小值，此时ay4 min （元）. 12 分分 答： （1）四栋楼宇围成的四边形区域 ABDC 面积的最大值为 4 3 3 平方千米； （2）铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为4a元. 14 分分 【说明说明】本题主要考查正余弦定理、基本不等式求最值、导数求最值；考查考查阅本题主要考查正余弦定理、基本不等式求最值、导数求最值；考查考查阅 读理解能力、建模能力、字母运算能力、书写表达能力读理解能力、建模能力、字母运算能力、书写表达能力. . 18. 解： （1）由长轴长42 a，准线间距离242 2 c a ，解得2a，2c, 2 分分 则2 222 cab，即椭圆方程为1 24 22 yx . 4 分分 （2）当直线l的斜率不存在， 此时6EF ，AEF的面积S=6 2 3 2 1 EFAD不合题意； 5 分分 当直线l的斜率存在，设直线l：) 1( xky，代入得： 0424)21 ( 2222 kxkxk，因为 D），（ 01在椭圆内，所以0恒成立. 设 1122 ()()E xyF xy，则有 22 1 2 2 42 32 2(12) kk x k ， ， 6 分分 22 1212 ()()EFxxyy 2 12 1kxx 2 2 2 2 2 32 1 12 k k k ， 7 分分 点A到直线l的距离d为 2 1 3 k k ， 8 分分 高三数学答案 第 4 页（共 8 页） 则AEF的面积S= 2 2 2 2 21 2322 1 1 3 2 1 2 1 k k k k k EFd 10 21 2323 2 24 k kk . 9 分分 则1k，综上，直线l的方程为01 yx和01 yx. 10 分分 （3）设直线AE： 1 1 (2) 2 y yx x ，令3x，得点) 2 5 3( 1 1 x y M，同理可得) 2 5 3( 2 2 x y N， 所以点Q的坐标 12 12 55 22 (3) 22 yy xx ， 12 分分 直线QD的斜率为 12 12 5 () 422 yy k xx ， 13 分分 而） 4)(2 42 ( 2 ) 1( 2 ) 1( 22 2121 2121 2 2 1 1 2 2 1 1 xxxx xxxx k x xk x xk x y x y 14 分分 由（2）中得 2 2 21 21 4 k k xx ， 2 2 21 21 42 k k xx ，代入上式得； 15 分分 12 12 22 yy xx 222 2222 4844(12)122 24848183 kkkk k kkkkk . 则有 5 6 k k ，所以 kk= 6 5 为定值. 16 分分 【说明说明】本题考查椭圆的几何性质；考查直线方程、椭圆方程的求法；考查直线与椭本题考查椭圆的几何性质；考查直线方程、椭圆方程的求法；考查直线与椭 圆的为主关系；考查解析几何中的定值问题处理方法；考查求解能力、代数运算能力圆的为主关系；考查解析几何中的定值问题处理方法；考查求解能力、代数运算能力. . 研究研究：1 1. .如果设直如果设直线方程为线方程为1xmy是否解题过程简单些？是否解题过程简单些？ 2.2.解题时解题时，经常用到经常用到 1221 x yx y，你有哪些比较好的处理方法？，你有哪些比较好的处理方法？ 19. 解： （1）设等比数列 n a的公比为q（0q） ， 因为 1 2a ， 3 2411 64a aa q a q， 解得2q，则 n n a2. 1 分分 当1n时，2 11 ba，则1 1 b， 2 分分 当n2 时， 1 1 12 2 1 22 n n n aba ba bn ， 1 12 211 222 n nn aba babn ， 由 得： n nn nba2，则nbn. 综上：nbn. 4 分分 （2）不等式 12 1111 (1)(1)(1) 22221 n n bbbb 对一切正整数n都成立， 即 1111 (1)(1)(1) 24221nn ， 高三数学答案 第 5 页（共 8 页） 因为 111 (1)(1)(1)0 242n ，当0 时，不等式显然成立. 5 分分 当0时，则不等式等价于 1111 (1)(1)(1) 21 242 n n ， 111 ( )(1)(1)(1) 21 242 f nn n 设， 1111 (1)(1)(1)(1) 23 (1)21 23 24222 111 ( )22 (1)(1)(1) 21 242 n f nnn nn f nn n n 则 2 2 483 1 484 nn nn . 7 分分 所以(1)(2)(3)( )ffff n， max 12 ( )(1)3. 3 f nf 则 2 03 3 ，综上 2 3 3 . 8 分分 （注意：如果考生（注意：如果考生直接分离直接分离 12 1 111 (1)(1)(1) 21 222 n n b bbb ，不不讨论讨论正负的正负的，评评 分标准为分标准为：单调性证明单调性证明 2 分，求最值求范围分，求最值求范围 2 分分） （3）数列 n c中，从 1 b至 k b（含 k b项）的所有项的和是： 1211 (1) 123)(222)224 2 kk k k k （， 10 分分 当9k 时，其和是 10 452410652019， 当10k 时，其和是 11 552420992019， 12 分分 又因为 2019-1065=954=4772， 14 分分 所以当 28 9(222 )477996m 时，2019 m T . 即存在996m ，使得2019 m T . 16 分分 【说明说明】本题考查等差数列，等比数列性质，不等式恒成立问题；考查阅读理解能力、运本题考查等差数列，等比数列性质，不等式恒成立问题；考查阅读理解能力、运 算化简能力，数据估值处理能力算化简能力，数据估值处理能力. . 20. 解： （1）当11ba，时，xxxfln)(， 1 分分 则有1 1 )( x xf，即01 1 1 ) 1 ( f . 3 分分 又1) 1 (f，则所求切线方程为1y； 4 分分 （2）当1a时，bxxxfln)(，则有 x bx b x xf 11 )(， 5 分分 函数的定义域为），（0， 高三数学答案 第 6 页（共 8 页） 若b0，则( )0fx恒成立，则)(xf的增区间为），（0； 6 分分 若0b，则由0)( x f，得 b x 1 . 1 (0)x b ，时，( )0fx，则)(xf的单增区间为），（ b 1 0， 7 分分 1 ( ,)x b 时，( )0fx，则)(xf单减区间为), 1 ( b . 8 分分 （3）因为 21,x x分别是方程0ln xxa的两个根，即 1122 lnlnaxxaxx，. 两式相减得 1212 )ln(lnxxxxa，则 1 2 12 ln x x xx a ， 9 分分 则不等式)0( ,)1 ( 21 mmxxma，可变为 21 1 2 12 )1 ( ln mxxm x x xx ， 两边同时除 1 x得： 1 2 1 2 1 2 1 ln 1 x x mm x x x x ， 10 分分 令 2 1 1 x tt x ，则有mtm t t 1 ln 1 在), 1 ( t上恒成立， 因为10ln0mmtt，即0 1 1 ln mtm t t， 11 分分 令 mtm t ttk 1 1 ln)(， 2 2 2 2 2 22 )1 ( ) 1( )1( )1 ( ) 1()1( )( mtmt m m ttm mtmt mtmt tk ， 当 2 2 (1)m m 1， 即m 2 1 时，0)( t k在), 1 ( 上恒成立， 则)(xk在)1 (，上单增， 又0) 1 (k，则0)(tk 在)1 (，上恒成立. 13 分分 当1 )1 ( 2 2 m m ，即 2 1 0 m时，则当) )1 ( , 1 ( 2 2 m m t 时，0)( t k， 则)(xk在) )1 ( 1 ( 2 2 m m ，上单减，则0) 1 ()(kxk，不符合题意. 15 分分 综上：m 2 1 . 16 分分 【说明说明】主要考查运用导数求切线方程、研究函数的单调性；考查构造法；考查转化划归主要考查运用导数求切线方程、研究函数的单调性；考查构造法；考查转化划归 思想；考查运算能力、综合分析和解决问题的能力思想；考查运算能力、综合分析和解决问题的能力. . 21. 解： 3sin(2)(2)6sin(2) 333 yxxx ， 4 分分 则切线在 12 5 x处的斜率 5 6sin( )6 63 k ， 6 分分 高三数学答案 第 7 页（共 8 页） 当 12 5 x时，0) 3 6 5 (cos3y 7 分分 则切线方程为) 12 5 (60xy，即 2 5 6 xy. 10 分分 22. 解： （法一）（法一）设点)(yxM，点)( 00 yxB， 因为M为AB的中点，则有 2 0 2 2 00 y y x x，； 4 分分 则有yyxx222 00 ，. 6 分分 将点)( 00 yxB，代入圆 22 8120xyx得: 44)22( 22 yx，化简为：1) 1( 22 yx. 即点M的轨迹方程为1) 1( 22 yx. 10分分 （法二）定义法（法二）定义法 设点)(yxM，圆心记为点 C)04(，AC的中点记为 M ，则)01 ( ， M 2 分分 所以MM为OMB 的中位线，则1 2 1 2 1 rBCMM， 动点 M 到定点 M 的距离为 1，M 轨迹为以 M 为圆心，以 1 为半径的圆. 7 分分 则点 M 的轨迹方程为1) 1( 22 yx. 10 分分 23. 解：在直三棱柱 111 ABCABC中，有 ABAC，又 AA1AB，AA1AC， 以, 1 AAACAB为基底，建立空间直角坐标系如图所示. 1 分分 因为 2AB ，4AC ， 1 3AA ，则)0 , 0 , 0(A，)0 , 0 , 2(B，)0 , 4 , 0(C， ) 3 , 0 , 0( 1 A，)3 , 0 , 2( 1 B，).3 , 4 , 0( 1 C 因为D是BC的中点. 所以).0 , 2 , 1 (D （1）)3 , 2 , 1( 1 DC 设 n1=),( 111 zyx为平面 11 AB D的一个法向量， 因)0 , 0 , 2( 11 BA，) 3, 2 , 1( 1 DB 因为 1111 111 11 020 230 0 AB nx xyz B D n ， ， ， 不妨设 n1=（2 , 3 , 0） ， 3 分分 x y z 1 A 1 B 1 C D A C B