高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式互动课堂学案.docx

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式互动课堂疏导引导1.两角和的余弦公式比较cos(-)与cos(+),并且注意到+与-之间的关系:+=-(-),则由两角差的公式得cos(+)=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=coscos-sinsin,即cos(+)=coscos-sinsin.(C(+)2.两角和与差的正弦公式sin(-)=cos(-+)=cos(-)+=cos(-)cos-sin(-)sin=sincos-cossin,即sin(-)=sincos-cossin.(S(-)在上式中,以-代可得sin(+)=sincos+cossin.(S(+)3.正确理解和差角的正弦公式(1)公式对于任意的角、都成立.(2)搞清sin()的意义.例如sin(+)是两角与的和的正弦,它表示角+终边上任意一点的纵坐标与原点到这点的距离之比.在一般情况下,sin(+)sin+sin,如=,=时,sin(+)=sin=1,sin+sin=+=1.sin(+)sin+sin.只有在某些特殊情况下,sin(+)=sin+sin,例如,当=0,=时,sin(0+)=sin=,sin0+sin=0+=,sin(0+)=sin0+sin.在学习时一定要注意:不能把sin(+)按分配律展开.(3)牢记公式并能熟练左、右两边互化.例如化简sin20cos50-sin70cos40,要能观察出此式等于sin(20-50)=-sin30=-.(4)灵活运用和(差)角公式.例如化简sin(+)cos-cos(+)sin,不要将sin(+),cos(+)展开,而应就整个式子,直接运用公式sin(+)-=sin,这也是公式的逆用.4.两角和与差的正切公式的推导当cos(+)0时,将公式S(+),C(+)的两边分别相除,有tan(+)=.当coscos0时,将上式的分子、分母分别除以coscos,得tan(+)=(T(+).由于tan(-)=-tan.在T(+)中以-代,可得tan(-)=(T(-).5.关于两角和与差的正切公式要注意几个问题(1)公式适用范围.因为y=tanx的定义域为x+k,kZ.所以T()只有在+k,+k,+k时才成立,否则不成立,这是由任意角的正切函数的定义域所决定的.当tan、tan或tan()的值不存在时,不能使用T()处理某些有关问题,但可改用诱导公式或其他方法.例如,化简tan(-),因为tan的值不存在,不能利用公式T(-),所以改用诱导公式.(2)注意公式的逆向运用=tan(+)-=tan,=tan(45+).(3)变形应用tan+tan=tan(+)(1-tantan),tan-tan=tan(-)(1+tantan),如tan+tan+tantantan(+)=tan(+),tan(+)-tan-tan=tantantan(+).活学巧用1.在ABC中,若sinAsinBcosAcosB,则此三角形的外心位于它的( )A.内部 B.外部 C.一边上 D.不确定解析:cosAcosB-sinAsinB0,即cos(A+B)0,-cosC0.cosC0.C为钝角.ABC为钝角三角形.三角形的外心位于它的外部.答案:B2.化简下列各式:(1)cos(80+3)cos(35+3)+sin(80+3)cos(55-3);(2)sin(x+)+2sin(x-)-cos(-x);(3).解析:(1)原式=cos(80+3)cos(35+3)+sin(80+3)sin(35+3)=cos(80+3)-(35+3)=cos45=.(2)原式=sinxcos+cosxsin+2sinxcos-2cosxsin-coscosx-sinsinx=sinx-cosx+cosx-sinx=0.(3)原式=tan(-).答案:(1);(2)0;(3)tan(-).3.已知cos(+)=-,cos2=-,、均为钝角,求sin(-).解析:、(90,180),+,2(180,360).cos(+)=- 0,cos2=-0.+,2(180,270).sin(+)=,sin2=.sin(-)=sin2-(+)=sin2cos(+)-cos2sin(+)=(-)(-)-(-)()=.答案:.4.求下列各式的值.(1)(2)(3).解:(1)原式=tan(75-15)=tan60=.(2)原式=tan(55-25)=tan30=.(3 =tan(60-15)=tan45=1.答案:(1)3;(2) ;(3)1.5.化简求值:(3+tan30tan40+tan40tan50+tan50tan60)tan10.解:原式=(1+tan30tan40+1+tan40tan50+1+tan50tan60)tan10,因为tan10=tan(40-30)=所以1+tan40tan30=.同理,1+tan40tan50=,1+tan50tan60=.所以原式=(+)tan10=tan40-tan30+tan50-tan40+tan6