2018版高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数学案新人教A版.docx

1.2.1任意角的三角函数1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，会判断三角函数值的符号.(重点)2.掌握诱导公式及其应用.(重点)3.了解三角函数线的意义，会利用三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切.(难点)基础初探教材整理1任意角的三角函数阅读教材P11P12例1以上内容，完成下列问题.1.单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.2.定义：图121在平面直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：(1)y叫做的正弦，记作sin ，即sin y；(2)x叫做的余弦，记作cos ，即cos x；(3)叫做的正切，记作tan ，即tan (x0).对于确定的角，上述三个值都是唯一确定的.所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.3.正弦函数sin 的定义域是R；余弦函数cos 的定义域是R；正切函数tan 的定义域是.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)由sin ，故角终边上的点P(x，y)满足y越大，sin 的值越大.()(2)终边相同的角，其三角函数值也相等.()(3)三角函数是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.()【解析】(1)当y越大时，比值不变，故sin 不变.(2)由正弦定义知正确.(3)由三角函数定义知正确.【答案】(1)(2)(3)教材整理2正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号阅读教材P13“探究”内容，完成下列问题.图122口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.已知是第三象限角，则sin _0，cos _0，tan _0.(填“”或“”)【答案】教材整理3诱导公式一阅读教材P14“例4”以上内容，完成下列问题.cos等于_.【解析】coscoscos.【答案】教材整理4三角函数线阅读教材P15倒数第四行至P17“练习”以上部分，完成下列问题.1.(1)把规定了正方向的直线称为有向直线.(2)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段.2.三角函数线的定义：如图123，设任意角的顶点在原点O(O亦为单位圆圆心)，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y)，过点P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，设它与角的终边(当位于第一、四象限时)或其反向延长线(当位于第二、三象限时)相交于点T(由于过切点的半径垂直于圆的切线，所以AT平行于y轴).图123于是sin yMP，cos xOM，tan AT.我们规定与坐标轴同向时，方向为正向，与坐标轴反向时，方向为负向，则有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线.3.轴线角的三角函数线：当角的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角的正弦值和正切值都为0；当角的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角的正切值不存在.如图124，在单位圆中角的正弦线、正切线完全正确的是()图124A.正弦线PM，正切线ATB.正弦线MP，正切线ATC.正弦线MP，正切线ATD.正弦线PM，正切线AT【解析】为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，C正确.【答案】C小组合作型任意角三角函数的定义及应用(1)若sin ，cos ，则在角终边上的点有()A.(4,3) B.(3，4)C.(4，3) D.(3,4)(2)若，则sin _，cos _，tan _.(3)已知角的终边过点P(3a,4a)(a0)，则2sin cos _.【精彩点拨】准确理解任意角三角函数的定义是解题的关键.【自主解答】(1)由sin ，cos 的定义知x4，y3，r5时，满足题意，故选A.(2)因为角的终边与单位圆交于P，所以sin ，cos ，tan .(3)因为r5|a|，若a0，则r5a，角在第二象限，sin ，cos ，所以2sin cos 1.若a0).则sin ，cos .已知的终边求的三角函数时，用这几个公式更方便.(2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论.再练一题1.设函数f()sin cos ，其中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0.若点P的坐标为，求f()的值. 【导学号：00680006】【解】由点P的坐标为和三角函数定义得sin ，cos ，所以f()sin cos 2.三角函数符号的判断判断下列各式的符号.(1)sin 2 015cos 2 016tan 2 017；(2)tan 191cos 190；(3)sin 2cos 3tan 4.【精彩点拨】角度确定了，所在的象限就确定了，三角函数值的符号也就确定了，因此只需确定角所在象限，即可进一步确定各式的符号.【自主解答】(1)2 0151 8002155360215，2 0165360216，2 0175360217，它们都是第三象限角，sin 2 0150，cos 2 0160，sin 2 015cos 2 016tan 2 0170.(2)191角是第三象限角，tan 1910，cos 1910.(3)2，3，40，cos 30，sin 2cos 3tan 40.再练一题2.(1)已知点P(tan ，cos )在第四象限，则角终边在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)下列各式：sin(100)；cos(220)；tan(10)；cos .其中符号为负的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】(1)因为点P在第四象限，所以有由此可判断角终边在第三象限.(2)100在第三象限，故sin (100)0；220在第二象限，故cos(220)0；10，在第二象限，故tan(10)0；cos 10.【答案】(1)C(2)D诱导公式一的应用求下列各式的值：(1)a2sin(1 350)b2tan 4052abcos(1 080)；(2)sincostan 4.【精彩点拨】利用诱导公式，把每个角化为0,2)间的角，再利用特殊角的三角函数求值.【自主解答】(1)原式a2sin(436090)b2tan(36045)2abcos(3360)a2sin 90b2tan 452abcos 0a2b22ab(ab)2.(2)sincostan 4sincostan 0sin0.1.利用诱导公式一可把任意角的三角函数化归为0,2)内的三角函数，实现“负化正，大化小”，体现了数学中的化归转化思想.2.一定要熟记一些特殊角的三角函数，有利于准确求值.再练一题3.求下列各式的值：(1)costan；(2)sin 810tan 1 125cos 420.【解】(1)costancostancostan1.(2)原式sin(236090)tan(336045)cos(36060)sin 90tan 45cos 6011.探究共研型三角函数线问题探究1有人说：在三角函数线上，点P的坐标为(cos ，sin )，点T的坐标为(1，tan )，你认为正确吗？【提示】正确.由三角函数的定义可知sin ，cos ，而在单位圆中，r1，所以单位圆上的点都是(cos ，sin )；另外角的终边与直线x1的交点的横坐标都是1，所以根据tan ，知纵坐标ytan ，所以点T的坐标为(1，tan ).探究2利用三角函数线如何解答形如sin a，sin a(|a|1)；cos a，cos a(|a|1)的不等式.【提示】(1)对形如sin a，sin a(|a|1)的不等式：画出如图所示的单位圆；在y轴上截取OMa，过点(0，a)作y轴的垂线交单位圆于两点P和P，并作射线OP和OP；写出终边在OP和OP上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式sin a的角的范围，其余部分即为满足不等式sin a的角的范围.图(2)对形如cos a，cos a(|a|1)的不等式：画出如图所示的单位圆；在x轴上截取OMa，过点(a,0)作x轴的垂线交单位圆于两点P和P，作射线OP和OP；写出终边在OP和OP上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式cos a的角的范围，其余部分即为满足不等式cos a的角的范围.图在单位圆中画出适合下列条件的角的终边范围，并由此写出角的集合.(1)sin ；(2)cos .【精彩点拨】根据三角函数线，在单位圆中首先作出满足sin ，cos 的角的终边，然后由已知条件确定角的终边范围.【自主解答】(1)作直线y，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角的终边的范围.故满足条件的角的集合为：.(2)作直线x，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角的终边的范围.故满足条件的角的集合为.1.三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的工具，要注意利用其来解决问题.2.三角函数线的主要作用是解三角不等式、比较大小及求函数的定义域，在求三角函数定义域时，一般转化为不等式(组)，因此必须牢固掌握三角函数线的画法及意义.再练一题4.求函数y的定义域.【解】由题意得：2cos x10，则有cos x.如图在x轴上取点M1使OM1，过M1作x轴的垂线交单位圆于点P1，P2，连接OP1，OP2.则OP1与OP2围成的区域(如图中阴影部分)即为角x的终边的范围.满足cos x的角的集合即y的定义域为.1.已知角终边经过P，则cos 等于()A. B.C. D.【解析】由三角函数定义可知，角的终边与单位圆交点的横坐标为角的余弦值，故cos .【答案】B2.已知角终边过点P(1，1)，则tan 的值为()A.1 B.1 C. D.【解析】由三角函数定义知tan 1.【答案】B3.sin 1cos 2tan 3的值是()【导学号：00680007】A.正数 B.负数C.0 D.不存在【解析】01，2，30，cos