2013届新课标高中数学(文)第一轮总复习第5章第33讲向量的数量积.ppt

向量的数量积的概念 【例1】 设a、b、c是任意的非零平面向量，且 相互不共线，则下列命题 (ab)c(ca)b0； |a|b|ab|； (bc)a(ca)b不与c垂直； (3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2. 其中是真命题的有_ 【解析】对于，b与c是不共线的两个非零 向量，且ab与ca不能都为零，故错误 对于，由三角形的两边之差小于第三边知 正确 对于，由向量的数量积的运算法则，得 (bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0， 所以(bc)a(ca)bc，故错误 对于，由于(3a2b)(3a2b)9a24b2 9|a|24|b|2，故正确 答案： 判断上述问题的关键是掌握向量 的数量积的含义向量的数量积的运 算律不同于实数乘法的运算律例如 ，由ab0并不能得出a0或b0.特 别是向量的数量积不满足结合律，即 (ab)ca(bc) 【变式练习1】 下列命题中正确的个数是_. 若ab0，则a0或b0； (ab)ca(bc)； 若abbc(b0)，则ac； abba； 若a与b不共线，则a与b的夹角为锐角 【解析】当a0时，由ab0/ b0，且对任 意与a垂直的非零向量b，都有ab0，故错 (ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表 示一个与a共线的向量，而c与a通常并不是共 线的，故错设a与b的夹角为，b与c的夹 角为，则由abbc，得|a|cos|c|cos / a c，故错由于向量数量积满足交换律， 故正确向量的夹角是指两向量起点相同时 两个方向所成的角，可为0，180范围内的 角，故错 答案：1 向量的夹角 数量积的定义和性质是解决垂直问题与夹角 问题的重要方法(1)题中通过垂直的充要条件， 得到|a|b|，这是本题的突破口在等式2abb2 中，不能“约去b”，得出“2ab”，注意这一点与 实数乘法不同(2)题中，向量的夹角范围是0， ，并且注意a2|a|2及夹角公式的应用同时，a 与b的夹角是钝角，可以得到ab0，但这并不是a 与b的夹角为钝角的充要条件因为a与b的夹角是 180时也有ab0.因此第二问要排除掉a与b反向的 情形想一想：若a与b的夹角是锐角时又要注意 什么呢？ 向量的平行与垂直 【例3】 设向量a(4cos，sin)，b(sin， 4cos)，c(cos，4sin) (1)若a(b2c)，求tan()的值； (2)求|bc|的取值范围； (3)若tantan16，求证ab. 【解析】(1)b2c (sin2cos，4cos8sin)， a(b2c) 4cos(sin2cos)sin(4cos8sin) 4sin()8cos()0. 所以tan()2. 向量的平行与垂直问题是 高考的热门话题，要牢记向量 平行与垂直的充要条件，根据 已知条件灵活运用 综合应用 本例是向量、函数、导数应用的典型例 子第(2)问中两种解法是解决向量垂直的常 见方法：方法1是先利用向量的坐标运算分 别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的 充要条件；方法2是直接利用向量垂直的充 要条件，其过程要用到向量的数量积公式及 求模公式，达到同样的求解目的(但运算过 程大大简化，值得注意)第(2)问中求函数 的单调区间运用的是求导的方法，这是新旧 知识交汇点处的综合运用 0 5 1两向量的夹角：如图，AOB (0180)叫做向量a与b的夹角 当0时，a与b同向； 当180时，a与b反向； 当90时，a与b垂直， 记作ab. 2向量的数量积的几何意义： 对于ab|a|b|cos，其中|b|cos叫向 量b在a方向上的射影(为a、b的夹角) ，向量的数量积ab等于a的长度|a|与b 在a方向上的射影|b|cos的乘积当 为锐角时，值为正；当为钝角时， 值为负；当为直角时，值为零；当 为零时，值为|a|b|；当为180时， 值为|a|b|. 4运用平面向量的数量积应该注意以 下几个方面： (1)两个向量的夹角的取值范围为0， 180； (2)两向量的数量积是一个数，而不是 一个向量，并且数量积是向量间的一种乘 法，与以前所学的乘法是有区别的，书写 时要区分开； (3)当a0时，ab0不能推出b一定是零 向量，因为当ab(a0)时，ab0； (4)用向量的数量积可解决有关长度 、角度和垂直的问题； (5)对于实数abbc(b0) ac；但 对于向量，由abbc不能得到