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数 值 分 析 韩 超 Email: 矩阵A的特征值和特征向量计算; 非线性方程 的求解(求根 ); 积分 计算; 常微分方程初值问题求解; 函数逼近等 一 研究对象： 2 研究数值解的必要性 例1 常微分方程初值问题 其解析解(精确解)为: 要求计算 等近似值。 3 构造算法的主要思想 迭代法 以直线代替曲线（非线性问题线性化） 化整为零（离散化） 外推法（加速） 二 数值计算原则 好算法的三个标准： 快 计算步骤少，收敛速度快 准 数值稳定性好，计算结果可靠性高 省 节省计算机内存(大型稀疏矩阵问题) 1. 快:计算步骤少，收敛速度快 例2 多项式求值的Hornor算法(秦九韶算法P7) 给定x的值，计算 的值。 算法1：按自然顺序计算 乘法次数 加法次数 n 算法2: 嵌套算法（Hornor,秦九韶） 乘法次数加法次数 n 例3 解线性方程组 算法1: Cramer法则 乘除法次数An 假设计算机秒钟进行 亿=108次乘除法，共需时： (万年) 算法2: Gauss消去法 乘除法次数： 耗时： (秒) 例5 计算积分的梯形公式与Simpson公式； 非线性方程求根，Newton法比二分法快。 例4 如FFT(快速傅立叶变换) 零乘一个数省去 2. 准:数值稳定性好，计算结果可靠性高 例6 求根 ，假设计算机有尾数为5位， 算法1: 算法2: 例7 计算积分 由分部积分法可得 取迭代初值 由递推公式 计算得 算法1: 直接积分 算法不稳定，结果不可靠。 而 可见递推计算结果严重失真。 取 将迭代格式 变形成如下格式 计算结果相当好 算法2 易知 算法稳定，结果可靠。 1) 稳定性: 若一种算法的初始误差和舍入误差在运算 过程中不增长，则称此算法是稳定的。 2) 误差分析 算法1 记 则 误差逐渐增大，(*)式不稳定 算法2 记 则 误差没有增大，算法稳定. 所以 为了“准”，要注意的原则 1. 防止大数吃小数 利用求根公式 在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时， 两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数 部分须变为1010，则：1 = 0.0000000001 1010，取单精度时就成 为：109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010 大数吃小数 算法1： 先解出 再利用 注：注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。 2: 按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算 1 + 2 + 3 + + 40 + 109 算法2： 如1: 在五位十进制计算机上计算 解 2. 防止相近的数相减 例9 解决办法: 通常情况下： 当 | x | 6 log6，即 n 6，应取 * = 3.14159。 只要取n3即可，即3位有效数字。 例14 要使 的近似值相对误差小于0.1%，应取几 位有效数字？ 解 例15 当的系数换成 时 有十个复根. 4 灵敏度分析 灵敏度分析是分析一个数学问题原始数据的微小变化对其解的扰动 情况。如果引起解发生较大的变化，则称该问题是病态的，否则称该 问题是良态的。它反映了解对原始数据的敏感程度。 抗干扰能力强 良态的方程组 抗干扰能力弱 病态的方程组 问题问题：如何估计误差向量的大小？ 如何对方程组的性态进行判断？衡量其病态程度? 病态与否是该问题固有的性质，与采用何种计算方法没有关系。 r. 5 向量范数与