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最大似然估计法 最大似然估计法是在总体的分布类型已知的条件下所 使用的一种参数估计方法. 它首先是由德国数学家高斯在1821年 提出的 . Gauss Fisher 然而，这个方法常归功于英国统计学家 费歇 . 费歇在1922年重新发现了这一方法， 并首先研究了这种方法的一些性质 . 极大似然估计法是基于极大似然原 理提出的。 为了说明极大似然原理, 我们先看 个例子。 例子： 一只野兔从前方窜过， 是谁击中的野兔, 某同学与一位猎人一起 外出打猎。忽然， 若让你推测一下， 你会怎样想? 只听一声枪响，野兔 应声倒下 . 为了进一步体会最大似然估计法的思想 , 我们再看一个例子. 你会想：只一枪便击中,一般情况下猎人击中 的概率比同学击中的概率大。 故这一枪极大可 能是猎人打的。 你的这一想法中就已经包含了最大似然原 理的基本思想 . 例如：有一事件A，我们知道它发生的概率p 只可能是: 试让你推想一下p应取何值? p=0.1，0. 3 或 0.6 若在一次观测中，事件A竟然发生了， 你自然会认为事件A发生的概率是0.6，而 非其他数值。 最大似然原理： 概率大的事件在一次观测中更容易发生。 在一次观测中发生了的事件其概率应该大 小结：最大似然估计法的一般步骤： （）取对数 （）求导数，得驻点，最大值点 （）作结论 （1）写似然函数L 例：设总体X服从参数为的指数分布，（ x1,x2,xn）为样本观察值，求的最大似然 估计值。 解：总体X的概率密度函数为： 似然函数为： 取对数 得， 所以的最大似然估计值为: 练习1 : 设总体X的分布律为： 00, 求导并令其为0 =0 从中解得 即为的最大似然估计值。 即为的最大似然估计量。 例 设总体 X N( ) , 未知 . 是来自 X 的样本值 , 试求 的最大似然估计量 . 似然函数为 解 X 的概率密度为 于是 令 解得 的最大似然估计量为 由上可见：同一个未知参数，会有 不同的估计量，那末如何评价它们的 好坏呢？这就涉及到估计量的评选标 准问题。 1、无偏性 无偏性要求估计量的取值要以参数真值为中心 左右摆动。它等同于估计量的数学期望等于待估 参数的真值。 一个好的估计量应满足无偏性、有效性和一致 性的要求。 衡量点估计量好坏的标准 证明: 讨论：对总体XN(, 2)来说，样本 (X1,X2,Xn)中的X1与 都是 的无偏估计量 吗？ 是的两个无偏估计量，若 2、有效性 当 时 依概率收敛于 , 则称 为 的一致估计量. 设是参数 的估计量， 为 的一致估计量 对于任意 , 有 三、一致性 四、小结 对于一个未知参数可以提出不同的估计量 , 因此自然提出比较估计量的好坏的问题
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