高数D13一元函数积分学.ppt

二、典型例题分析与解答 第四、五、六章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学(40) 一、知识点与考点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、知识点 与考点 (一)不定积分 若 1.原函数与不定积分的定义: 有 则称F(x)为f (x)在区间 I 上的一个原 设函数 f (x)在区间 I 内有定义, 函数.称为 f (x) 在区间 I 上的不定积分, 记为 f (x)在区间I 上的全体原函数 F (x) + c , 2. 不定积分的性质: (1) (2) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1). 4.基本积分公式 (2) (互逆运算) (1) 3.不定积分与微分的关系 (2). (3).(4). (5).(6). (7).(8). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (9).(10). (11).(12). (13). (14). (15).(16). (17). (18). (19). (20). (21).(22). 5.基本积 分法: (1).直接积分法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2)换元积分法 第一类换元积分法(凑微分法 ) 常用凑微分公式: 第二类换元积分法(变量代换法) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (正弦代换) (正切代换) (正割代换) (根式代换) 三 角 代 换 令则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 万能代换: 积分步骤: 凑微分选 u , v ; (3) 分部积分法 代公式; 算微分 ; 求积分. 例1. 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (4) 有理函数的积分 有理函数: 时,为真分式;时,为假分式 . 利用多项式综合除法, 总可以将一个假分式化为一个多 项式与一个真分 式之和的形式 . 例如: _ _ 任何有理真分式通过部分分式均可化为下 列四种 类型: (2) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 有理真分式的积分 (1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) (不作要求) (4) 注:但计算相当复杂,解题时应 尽量寻求更为简便的方法, 如凑微分法倒代换法等, 有理函数虽然一定可积, 避免使命一般方法. 例2. 将下列真分式分解为部分分 式 : 解: (1) 用拼凑法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 用赋 值法 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 去分母,得恒等式 令得 再令得 (3) 用比较系 数法 去分母,得恒等式 或 比较恒等式两边 x 同次幂的系数得 (4) 综 合法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式 = 去分母,得恒等式 令得 得 再令得 比较项的系数, 得 1.定积分的定义: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (二) 定积分 (七条性质二条推论) 2.定积分的几何意义: 3.定积分的性质: 曲边梯形面积的代数和. (1) (2) (3)则有 (4) 则有 (5)则有 推论1.则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (6) (定积分估值定理) 若 M 和 m 分别是 f (x) 在a ,b上的最大值和最小值, 则有 (7).(定积分中值定理) 若f (x) 是a ,b上的连续函数, 则在a ,b上至少存在 一点 , 使等式 推论2. 成立. 补 充 规 定: (1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 定积分计算法 (1)牛顿-莱布尼兹公式 (2) 当a = b 时, (2) 定积分换元积分法 (3) (3).定积分分部 积分法 5.重要公式 (1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2)若f (x)为a ,a上的奇函数,则 若f (x)为a ,a上的偶函数,则 (3) n为奇数 n为偶数 注意:余弦函数无此性质! (4) 若f (x)是周期为T的周 期函数, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 a为任 意实数 , (三) 广义(反常)积分 1.无穷区间的广义积分 则有: 2.无界函数的广义积分(略) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.定积分在几何上的应用: (1). 平面图形的面积 直角坐标 1.定积分微元法 若整体量U在区间a ,b上具有可加性,即有 而局部量 U du = f (x) dx则 (四)定积分 的应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 起点x = a 对应参数 t = 按顺时针方向决定起点与终点. 终点x = b 对应参数 t = 参数 方程 (2)旋转体 的体积 令 已知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、典型例题分析与解答 且 f (1) = 0 , 则 f (x) = _. 解:则代入 由 f (1) = 0 ,得c = 0 . 故应填 注释:的理解和分部积分法. 解决此类问题的方法是先作变量代换求出 本题考查对于导函数 然后 积分就可求得 例3. 例 4 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法1: 被积函数是两类函数相乘, 应使用分部积分法. 原式= 计算不定积分 原式= 又 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法2: 则令 本题考查不定积分的换元积分法与分部积分法.注释: 解法1: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 求不定积分 解法2: 令则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注释: 本题考查不定积分的分部积分法和换元积分法 . 例 6 . 求不定积分 原式= 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法1: 解 法 2 : 由半角公式得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 法 3 : 用万能代换, 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注释: 本题考查三角函数有理式的不定积分. 例 7 . 求定积分 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式= 注释: 本题考查定积分的分部积分法. 例8. 填空 题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注释: 应填 解 : 本题考查定积分的分部积分法. 例 9 . 设 解: 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令则 原式= 且 x = 1时, t = 1, 注释: 本题考查定积分的换元积分法. x = 3时, t = 1. 例10. 填空 题 注释: 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 本题考查广义积分的计算. 应填 1. 例11. 选择题 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 则当x0 时, 因为 因此应选(B). (A) 等价无穷小;(B) 同阶但非等价无穷小; (C) 高阶无穷小;(D) 低阶无穷小. B 注释:本题考查变上限积分的求导及无穷小的比较. f (x) 是 g (x)的( ). 故当x0时, f (x)是g (x)的同阶但 非等价的无穷小. 例 1 2 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 则有( ). 所以有 P 0 , 易知曲线 f (x) 在 x 轴上方, 单调下降且为凹弧,并依题意画示意图. 表示曲边梯形ABCD的面积, 表示矩形ABCE的 表示梯形ABCD的面积,显然有 故选项(B)正确. B 面积, 例 1 4 . 在点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1)求D的面积A ; 解: 过坐标原点作曲线y =lnx 的切线, (2) 求D绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积V. 依题意画图如下. 所求图形面积为 (1)设切点横坐标为 该切线与曲线y =lnx 及x轴围成平面图形D. 则曲线lnx 的切线方程为 由于该切线过原点,所以有 即有该切线方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 体积微元为 图中阴影部分窄条绕直线x = e旋转所得 (2) 用微 元法. 旋转体体积为 注释:本题考查平面图形的面积和旋转体体积的计算 . 解决此类问题的关键是熟练掌握定积分的微元法. 例 1 5 . 面图形面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 f (x) 在区间a ,b上连续, 的3倍. 依题意画示意图如下: 在(a , b)内存在唯一的 , y = f (x)与两直线 y = f ( ) , x = a 所围平面图形的面 积是曲线 y = f (x) 与两直线 y = f ( ) , x = b 所围平 证明: 且在(a , b)内 使曲线 分析: 先用变上限积 分表示 机动 目录 上页 下页 返回 结束 构造辅助函数 然后由题设 使问题转