2017年河南省天一大联考高考数学模拟试卷理科.doc

2017年河南省天一大联考高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合A=x|x23x+20，B=（x，y）|xA，yA，则AB=（）AABBCABD2已知i表示虚数单位，则=（）A1B5CD3在区间3，3上随机选取一个实数x，则事件“2x30”发生的概率是（）ABCD4执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A1B2C3D45已知点A（1，2）在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线与抛物线交于M，N两点，则线段MN的长为（）A4BC2D16设向量，满足，则=（）A4B8C12D167已知变量x，y满足则的最大值为（）ABC2D18已知a是大于0的常数，把函数y=ax和的图象画在同一坐标系中，选项中不可能出现的是（）ABCD9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABC4D710函数f（x）=Asin（x+）+B（A0，0，0）的部分图象如图所示，则f（）的值为（）A1B0C1D211设an是等差数列，bn是等比数列，且a1=b1=1，a2017=b2017=2017，则下列结论正确的是（）Aa1008a1009Ba2016b2016CnN*，1n2017，anbnDnN*，1n2017，使得an=bn12已知f（x）=，若方程f2（x）+2a2=3a|f（x）|有且仅有4个不等实根，则实数a的取值范围为（）A（0，）B（，e）C（0，e）D（e，+）二、填空题孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是14（2a+b）4的展开式中，a2b3项的系数为15三棱锥PABC的底面ABC是等腰直角三角形，A=90，侧面PAB是等边三角形且与底面ABC垂直，AB=6，则该三棱锥的外接球半径为16过双曲线（a0，b0）的左焦点向圆x2+y2=a2作一条切线，若该切线与双曲线的两条渐近线截得的线段长为，则该双曲线的离心率为三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）如图，在ABC中，B=90，BAD=DAE=EAC，BD=2，DE=3（）求AB的长；（）求sinC18（12分）如图1，2，E是正方形ABCD的AB边的中点，将AED与BEC分别沿ED、EC折起，使得点A与点B重合，记为点P，得到三棱锥PCDE（）求证：平面PED平面PCD；（）求二面角PCED的余弦值19（12分）某金匠以黄金为原材料加工一种饰品，由于加工难度大，该金匠平均每加工5个饰品中有4个成品和1个废品，每个成品可获利3万元，每个废品损失1万元，假设该金匠加工每件饰品互不影响（）若该金匠加工4个饰品，求其中废品的数量不超过1的概率？（）若该金匠加工了3个饰品，求他所获利润的数学期望（两小问的计算结果都用分数表示）20（12分）已知椭圆方程，其左焦点、上顶点和左顶点分别为F，A，B，坐标原点为O，且线段FO，OA，AB的长度成等差数列（）求椭圆的离心率；（）若过点F的一条直线l交椭圆于点M，N，交y轴于点P，使得线段MN被点F，P三等分，求直线l的斜率21（12分）已知函数的图象的一条切线为x轴（）求实数a的值；（）令g（x）=|f（x）+f（x）|，若不相等的两个实数x1，x2满足g（x1）=g（x2），求证：x1x21选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos2=sin（）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（）若曲线C1和C2共有四个不同交点，求a的取值范围选修4-5：不等式选讲23已知a0，b0，且（）求的最小值；（）求a2b的最大值2017年河南省天一大联考高考数学模拟试卷（理科）（五）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合A=x|x23x+20，B=（x，y）|xA，yA，则AB=（）AABBCABD【考点】1E：交集及其运算【分析】求解一元二次不等式化简集合A，可知A是数集，集合B是点集，则AB是空集【解答】解：集合A=x|x23x+20=x|1x2，B=（x，y）|xA，yA=（x，y）|，A为数集，B为点集，AB=故选：D【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题2已知i表示虚数单位，则=（）A1B5CD【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化成a+bi（a、bR）的形式，再求其模即可【解答】解： =i，=|i|=，故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算和模的计算，是基础题3在区间3，3上随机选取一个实数x，则事件“2x30”发生的概率是（）ABCD【考点】CF：几何概型【分析】由题意，利用区间的长度比求概率即可【解答】解：在区间3，3上随机选取一个实数x，对应事件的为区间才6，而满足事件“2x30”发生的事件为，由几何概型的公式得到所求概率为；故选B【点评】本题考查了几何概型的概率求法；明确事件的测度为区间的长度是关键4执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A1B2C3D4【考点】EF：程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，i的值，当i=3时，满足条件i3，退出循环，输出a的值为4【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=，b=1，i=1，不满足条件i3，a=，b=，i=2，不满足条件i3，a=4，b=1，i=3，满足条件i3，退出循环，输出a的值为4故选：D【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的a，b，i的值是解题的关键，属于基础题5已知点A（1，2）在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线与抛物线交于M，N两点，则线段MN的长为（）A4BC2D1【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】由抛物线的准线方程，求得p的值，求得抛物线的方程及焦点坐标当x=1时，y=2，即可求得M和N点坐标，即可求得线段MN的长【解答】解：由点A（1，2）在抛物线C：y2=2px的准线上，则=1，则p=2，则抛物线方程y2=4x，焦点F（1，0），当x=1时，y=2，则M（1，2），N（1，2），线段MN的长丨MN丨=4，故选：A【点评】本题考查抛物线的标准方程及简单性质，抛物线的通径求法，考查计算能力，属于基础题6设向量，满足，则=（）A4B8C12D16【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】分别平方，再相减即可求出答案【解答】解：，|2+2+|2=25，|22+|2=9，4=16，=4，故选：A【点评】本题考查了向量的模的计算和向量的数量积公式，属于基础题7已知变量x，y满足则的最大值为（）ABC2D1【考点】7C：简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域：的几何意义为区域内的点到P（3，2）的斜率，由图象知，PA的斜率最大，由，得P（2，0），故PA的斜率k=2故选：C【点评】本题主要考查线性规划和直线斜率的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法8已知a是大于0的常数，把函数y=ax和的图象画在同一坐标系中，选项中不可能出现的是（）ABCD【考点】3O：函数的图象【分析】0a1，x0，的最小值大于等于2，函数y=ax和的图象不可能有两个交点，可得结论【解答】解：a0，是对勾函数，0a1，x0，的最小值大于等于2，函数y=ax和的图象不可能有两个交点，故选D【点评】本题考查指数函数、对勾函数图象，考查了两个函数图象间的关系，是基础题9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABC4D7【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知，直观图是正方体截去两个三棱锥所得，利用所给数据，即可求出体积【解答】解：由三视图可知，直观图是正方体截去两个三棱锥所得，体积为=，故选A【点评】本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键10函数f（x）=Asin（x+）+B（A0，0，0）的部分图象如图所示，则f（）的值为（）A1B0C1D2【考点】HK：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】由函数f（x）的部分图象求出A、B的值，再根据x=时f（x）取得最大值，x=2时f（x）=0，列出方程组求出、的值，写出f（x）的解析式，再计算f（）【解答】解：由函数f（x）=Asin（x+）+B的部分图象知，2A=3（1）=4，解得A=2，B=1；又x=时，f（x）取得最大值3，+=；x=2时，f（x）=0，2+=；由组成方程组，解得=，=；f（x）=2sin（x+）+1，f（）=2sin（+）+1=2（）+1=0故选：B【点评】本题考查了函数f（x）=Asin（x+）+B的图象与性质的应用问题，是基础题11设an是等差数列，bn是等比数列，且a1=b1=1，a2017=b2017=2017，则下列结论正确的是（）Aa1008a1009Ba2016b2016CnN*，1n2017，anbnDnN*，1n2017，使得an=bn【考点】88：等比数列的通项公式；84：等差数列的通项公式【分析】由an是等差数列，bn是等比数列，且a1=b1=1，a2017=b2017=2017，推导出an=n，bn=（）n1，由此能求出结果【解答】解：an是等差数列，bn是等比数列，且a1=b1=1，a2017=b2017=2017，a2017=1+2016d=2017，解得d=1，a1018=1+2017=1018，a1019=1+1018=1019，a1018a1019，故A错误；b2017=2017，q=，a2016=1+2015=2016，a2016b2016不一定成立，故B错误；nN*，1n2017，an=n，anbn，故C正确；当an=n=bn=（）n1时，n=1或n=2017，不存在nN*，1n2017，使得an=bn，故D不正确故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，考查等差数列、等比数列的性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题12已知f（x）=，若方程f2（x）+2a2=3a|f（x）|有且仅有4个不等实根，则实数a的取值范围为（）A（0，）B（，e）C（0，e）D（e，+）【考点】54：根的存在性及根的个数判断【分析】画函数f（x）的图象，利用数形结合的思想探讨方程f2（x）+2a2=3a|f（x）|的根的情况，即可得出结论【解答】解：f（x）=的图象，如图所示，极小值点x=1，f（1）=ef（x）0，方程f2（x）+2a2=3a|f（x）|化为f（x）=a或f（x）=2a；f（x）0，方程f2（x）+2a2=3a|f（x）|化为f（x）=a或f（x）=2a；方程f2（x）+2a2=3a|f（x）|有且仅有4个不等实根，ae故选：B【点评】本题主要考查函数图象的应用，利用数形结合、函数与方程的相互转化思想解题，属于高档题二、填空题（2017河南模拟）孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是6【考点】84：等差数列的通项公式【分析】设第一个人分到的橘子个数为a1，由等差数列前n项和公式能求出得到橘子最少的人所得的橘子个数【解答】解：设第一个人分到的橘子个数为a1，由题意得：，解得a1=6得到橘子最少的人所得的橘子个数是6故答案为：6【点评】本题考查等差数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用14（a+2b）（2a+b）4的展开式中，a2b3项的系数为32【考点】DC：二项式定理的应用【分析】展开（a+2b）（2a+b）4=（a+2b）（2a）4+4（2a）3b+6（2a）2b2+42ab3+b4，即可得出a2b3项的系数【解答】解：（a+2b）（2a+b）4=（a+2b）（2a）4+4（2a）3b+6（2a）2b2+42ab3+b4，a2b3项的系数=8+622=32故答案为：32【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题15三棱锥PABC的底面ABC是等腰直角三角形，A=90，侧面PAB是等边三角形且与底面ABC垂直，AB=6，则该三棱锥的外接球半径为【考点】LG：球的体积和表面积【分析】求出P到平面ABC的距离为3，可得球心O到平面ABC的距离，即可求出三棱锥的外接球半径【解答】解：设球心O到平面ABC的距离为h，则由P到平面ABC的距离为3，可得球心O到平面ABC的距离为h=，该三棱锥的外接球半径为=，故答案为【点评】本题考查三棱锥的外接球半径，考查面面垂直，比较基础16过双曲线（a0，b0）的左焦点向圆x2+y2=a2作一条切线，若该切线与双曲线的两条渐近线截得的线段长为，则该双曲线的离心率为2或【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】求出切线方程，与渐近线方程联立，利用该切线与双曲线的两条渐近线截得的线段长为，建立方程，即可得出结论【解答】解：由题意，切线方程为y=（x+c），与y=x联立，可得（，），与y=x联立，可得（，），该切线与双曲线的两条渐近线截得的线段长为，（+）2+（）2=3a2，化简求得e=2或故答案为2或【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与圆位置关系的运用，考查学生的计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）（2017河南模拟）如图，在ABC中，B=90，BAD=DAE=EAC，BD=2，DE=3（）求AB的长；（）求sinC【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】（）根据tan=，tan2=，利用正切函数的二倍角公式，即可求得tan，即可求得AB的长；（）sinC=sin（BAC）cosBAC=cos（+2），利用二倍角公式即可求得sinC【解答】解：（）设BAD=90，在RtABD中，tan=，AB=，在RtABE中，tan2=，AB=，=，则5tan=2tan2，即5tan=，即5tan2=1，解得（负值舍去），因此（）由题意知02390因为，则，则sin2=2sincos=，cos2=cos2cos2=，即，sinC=sin（BAC）cosBAC=cos（+2）=coscos2sinsin2，=sinC=【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，二倍角公式，两角和的余弦公式，考查计算能力，属于中档题18（12分）（2017河南模拟）如图1，2，E是正方形ABCD的AB边的中点，将AED与BEC分别沿ED、EC折起，使得点A与点B重合，记为点P，得到三棱锥PCDE（）求证：平面PED平面PCD；（）求二面角PCED的余弦值【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定【分析】（）由PEPD，PEPC得PE平面PCD，即可得平面PED平面PCD（）设正方形ABCD的边长为2，取DC中点F，连接PF，EF，过点P作POEF于点O，易证CDPO，PEPF，由EF=2PE=2，得PFE=30且，以F为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，C（1，0，0），E（0，2，0），利用向量法求解【解答】解：（）证明：A=B=90，PEPD，PEPCPD交PC于点P，PC，PD在平面PCD内，PE平面PCD，PE在平面PED内，平面PED平面PCD（）设正方形ABCD的边长为2，取DC中点F，连接PF，EF，过点P作POEF于点O，易证CD平面PEF，所以CDPO，又CDEF=F，所以PO平面CDE，PE平面PCD，PF在平面PCD内，PEPF，EF=2PE=2，PFE=30且，以F为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，C（1，0，0），E（0，2，0），所以，设平面PCE的法向量为，则令z=1，得，又平面CDE的一个法向量为，记二面角PCED的平面角为，则【点评】本题考查了空间面面垂直，向量法求二面角，属于中档题19（12分）（2017河南模拟）某金匠以黄金为原材料加工一种饰品，由于加工难度大，该金匠平均每加工5个饰品中有4个成品和1个废品，每个成品可获利3万元，每个废品损失1万元，假设该金匠加工每件饰品互不影响（）若该金匠加工4个饰品，求其中废品的数量不超过1的概率？（）若该金匠加工了3个饰品，求他所获利润的数学期望（两小问的计算结果都用分数表示）【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；C5：互斥事件的概率加法公式【分析】（）依题意，该金匠加工饰品的废品率为，由此利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出他加工的4个饰品中，废品的数量不超过1的概率（）设X为加工出的成品数，则X可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出该金匠所获利润的数学期望【解答】解：（）依题意，该金匠加工饰品的废品率为，他加工的4个饰品中，废品的数量不超过1的概率为：p=（）设X为加工出的成品数，则X可能的取值为0，1，2，3，故该金匠所获利润的数学期望是万元【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归转化思想，是中档题20（12分）（2017河南模拟）已知椭圆方程，其左焦点、上顶点和左顶点分别为F，A，B，坐标原点为O，且线段FO，OA，AB的长度成等差数列（）求椭圆的离心率；（）若过点F的一条直线l交椭圆于点M，N，交y轴于点P，使得线段MN被点F，P三等分，求直线l的斜率【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】（）依题意有，将其变形可得b=2c，结合椭圆的几何性质以及离心率公式可得，计算可得答案；（）设直线l的方程为y=k（x+c），当k0时，表示出k和xM、yM，将直线l的方程和椭圆方程联立，解可得xM、yM的值，由斜率公式计算可得k的值，同理分析k0时可得k的值，综合可得答案【解答】解：（）依题意有，把上式移项平方并把a2=b2+c2，代入得b=2c，又由a2=b2+c2；所以椭圆的离心率（）设直线l的方程为y=k（x+c），先研究k0的情况，要使|MF|=|FP|，则xM=2c，因此将直线l的方程和椭圆方程联立可得解得由于点N的横坐标为c，因此|PN|也等于|PF|，同理，当k0时，由对称性可知k=；直线l的斜率为或【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是依据题意，求出椭圆的标准方程21（12分）（2017河南模拟）已知函数的图象的一条切线为x轴（）求实数a的值；（）令g（x）=|f（x）+f（x）|，若不相等的两个实数x1，x2满足g（x1）=g（x2），求证：x1x21【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）设出切点坐标，得到关于a的方程组，求出a的值即可；（）令，根据函数的单调性求出g（x）的表达式，令G（x）=g（x）g（），根据函数的单调性得到，从而证明结论即可【解答】解：（），x0，设切点坐标为（x0，0），由题意得，解得；（）证明：，令，则，当x1时，h（x）0，h（x）又可以写成，当0x1时，h（x）0因此h（x）在（0，+）上大于0，h（x）在（0，+）上单调递增，又h（1）=0，因此h（x）在（0，1）上小于0，在（1，+）上大于0，且g（x）在（0，1