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小学数学思想方法 一、概论： 二、什么是数学思想？数学方法？ 1 数学思想：即人们对数学本质的认识，是人们 从某些具体的数学内容学习和应用过程中提炼 出来的上升到一定高度的理论观点，它在人们 进行的各种数学活动中反复运用，是指导人们 学习数学、应用数学的基本理念。如：符号化 、极限、函数、集合、转化、统计思想等 2 数学方法：是指人们依据一定的数学思想，运用相应 的知识，在提出问题、解决问题过程中所采用的方式、 手段、途径、步骤等。 3 数学思想与数学方法的关系：“数学思想”是与其相应 的“数学方法”的精神实质与理论基础，而“数学方法”则 是实施有关的“数学思想”的技术与操作程式，一般来说 ，强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学 方法。 三、数学思想、数学方法的特点 1 数学思想的特点 （1）高度的概括性 （2）不可直接探及性 （3）潜操 作性 （4）层次性 2 数学方法的特点 （1）过程性 （2）可操作性 （3）层次性 四、研究数学思想方法的意义 1、有利于深刻认识数学的内容、方法及意义 2、有利于促进数学教育的改革 3、有利于培养学生的数学能力 五、如何在课堂教学中渗透数学思想方法 1、在知识的形成过程中渗透数学思想方法 2、在问题解决探索过程中揭示数学思想方法 3、在知识的归纳总结中概括数学思想方法 六、小学数学中常用的思想方法 1符号化思想 （1）定义：为了解决问题，将其中的数量关系符号化 ，使之简洁易于解决的思想。 （2）形成与发展 萌芽（17世纪以前） 这个时期创用的符号大都是象形符号，以计数符号为例 ： 殷朝（甲骨文）：一 二 三 阿拉伯数字 : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 古罗马 : 形成(17世纪初阿拉伯数字在世界范围内的通用,标志着 记数符号化的开始) 成熟(17世纪中叶符号成为一种约定的规范体系,不再是 个别数学家的随意想法) (德国)莱布尼兹1675:dx ,dy , (荷兰)赫克1514: + , (德国)鲁道夫1525: (英国数学家)雷科德1557:= , (瑞士)哈纳1659: 图形符号: 组合符号: “32” , “n!” , “sinx” 公式符号: 随着科学技术的发展符号化趋于完善和统一,几乎所有 的数学表述用语,包括公式、定理、法则、公式、概念 等等都完全符号化了。如：3x-6=03x=6x=2就是把 一个符号链变成另一个符号链。 渗透 例1 从一年级起，教材就安排了有关 和 代表变元 符号x，让学生填数：6- 4 125+ 等，起 初 “ ”内可填自然数，随着知识的增加（学习了小数） 可填自然数、小数、分数；再进一步（学习了实数）可 填实数；如果把“ ”换成x就变成了一个不等式，进而求 不等式解集的问题，因而符号化思想的教学是采取螺旋 式的方法来逐渐渗透的。 例2 学习加法交换律时，可先让学生观察具体的等式 30+50=50+30 15+20=20+15 124+235=235+124等 ， 通过观察得出 + = + （相同的符号表示相 同的数）即加法交换律，以后再学习用字母表达式 a+b=b+a 代替 + = + 学生就不会感到困难了。 例3 联欢会上，小明按照3个红气球，2个黄气球，1个 绿气球的顺序把气球串起来装饰教室，你知道第16个 气球是什么颜色吗？ 解决这个问题可有多种方法：如用“A表红”，“B表黄”， “C表绿”，则可写成AAABBC AAABBC AAABBC第16 个为黄色 。 2 集合思想(实质是整体思想) (1)定义:指应用集合论(主要是朴素集合论的基本知识) 的观点来分析问题、认识问题和解决问题的一种思想。 （2）形成和发展 集合思想产生于19世纪，由德国数学家G.康托尔创建 。到了19世纪末才逐步完善。 （3）渗透 例1 教学长方形、正方形之后，使学生明确正方形是长 和宽相等的长方形，即正方形是一种特殊的长方形，用 圆圈表示更形象 用圆圈表示更形象 让他们感知大圈内的物体 具 有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是 一个集合长方形集合，小圈内的物体也具有某种共同 属性，可以看作一个小整体，这个小整体也是一个集合 正方形集合。 例2 已知某班共45人，一次考试中语文或数学得100分 的共20人，其中语文得100分的有13人，数学得100分 的有12人，问语文、数学都得100分的有多少人？语文 、数学都不得100分的有多少人？ 长 正 这道应用题可用常规的算术方法解答， 但如果用集合的思想方法来解就更方 便，可用方框表示全班总人数，左圈 表示语文100分的人数，右圈表示数 学100分的人，两圈的交界部分则为 两门都为100分的人,则有13+12-20=5(人) 45-(7+8+5)=25(人) 7 8 5 3 转化思想(化归思想) (1)定义:是指人们将有待解决的问题通过某种转化过程, 归结到已经解决或比较容易解决的问题中去,最终求得 原问题的解答的一种思想。 小学数学中常用的转化：数与形的转化，图形间的转化 ，减法向加法、除法向乘法的转化，在分数运算中异分 母的分数加减转化为同分母的分数加减来完成等等。 转化的步骤:原问题新问题 原问题解答解答新问题 例1 质数概念的教学 在学习质数概念时,先引导学生紧紧抓住“一个数只有1和 它本身两个约数”这一本质属性，以及质数有“2、3、5 、7、 11、13”这一外延，使学生初步认识质数的概念（这时 学生只完成了认知的第一次转化），接着可以再引导学 生把所学的概念作为判断、推理、分析、解题的依据， 通过练习加以运用，再设计如下判断练习： 质数都是奇数(不) 除2以外的质数都是奇数(对) 任意两个质数之积一定是合数(对) 任意两个质数之和一定是合数(不对) 除2以外任意两个质数之和一定是合数(对) 学生通过这样的练习对“质数”的概念从理性认识转化为 实际的判断能力，完成了认识的第二次转化，这时可 具有灵活运用知识的能力。 懂 会 例2 的 是多少? 即感性 理性 实 践 转化 转 化 从图形的分割得 = 把对数的讨论转化为对 形 的分割 1 的 例3 三角形面积公式的推导(联想到梯形、平行四边形) 沿中位线对折剪开拼成平行四边形 两个完全一样的三角形沿对应边拼成 平 行四边形 。 例4 求阴影部分的面积 例3 三角形面积公式的推导(联想到梯形、平行四边形) 沿中位线对折剪开拼成平行四边形 两个完全一样的三角形沿对应边拼成 平 行四边形 。 例4 求阴影部分的面积 4 极限思想 (1)定义:为了确定一个无穷量,先考察与之接近的有限量,根 据有限量的性质来推测无限量的性质。即 无限有限 性质 性质 （2）产生和发展 萌芽（魏晋时期）；产生（17世纪）；完善（19世纪） （3）渗透 例1 学习“小数”时，如13=0.333是一个循环小数，它 的小数点后面的数字“写不完”，从而让学生体会到循环 小数的位数有“无限多”。 描述“直线”概念时，让学生体会它可由“线段”向两端“无 限延长”而得到； “角”的概念，由一点出发的两条射线构成的图形，角的 边 可“无限延长”，不影响角的大小。 例2 =1的解释(化循环小数为分数) 解: =0.999=0.9+0.09+0.009+= + + + 令 = + + ,则 =1 例3 圆柱、圆锥的关系 圆柱的一底不变，另一底逐渐缩小则变成圆台，当无限缩小时，其面 积为零，则变成圆锥。 例4 一个边长为4米的正方形，把它的每一边中点连接起来，得到第二 个正方形，再把第二个正方形各边中点连接起来，得到第三个正方 形，这样继续下去，求第三个正方形的面积，你能求出第n个正方 形的面积吗？当n无限增大时，第n个正方形的面积是多少？ 解： =16， =8=16 ， =4=16 ， =16 ， =16 ，当n时， 0 5函数思想 （1）定义：为了研究问题，将相互联系的两类事物作 成两个集合，然后在它们之间建立一个对应，通过对应 来研究问题的一种思想。 (2)产生与发展(产生于17世纪) 函数概念的形成 映射是函数的发展,函数是一种特殊的映射,用映射的观点看函数,更加突出了对应的本 质。 早期函数 概念 代数函数 拓展运 算种类 18世纪函 数概念 解析函数 舍弃式子表 达的限制 19世纪函 数概念变量函数 拓展数量区间为任 意数学对象的集合 近代函 数概念 映射函数 （3）渗透 例1（函数概念的渗透） 2+ = 图中说明，当一个加数固定不变时，和随着另一个 加数的化而变化的。即一个加数不变时，“和”是另一个 加数的函数；同理右图说明积是另一个因数的函数（教 学时我们可以利用一些能移动的卡片，让算式中的数动 起来）。 3 4 5 28 26 19 3 例2 （函数表示法的渗透） 正方形面积 圆的面积 面积随着边长的变化而变化 面积随半径的变化而变化 例3 正比例、反比例知识中的函数概念 正比例、反比例概念中揭示的两个相关联的量之间的关系，实质上就 是函数关系。如果说小学数学教材中许多内容都渗透了函数思想 ，那么“正比例、反比例”这部分教材则从事物的运动、变化的角度 ，研究数量间的比例关系，从小学生能够接受的形式和和表达方 式，介绍了初步的函数思想。如路程、时间、速度的关系等。 例4 （统计图表中的函数表示法：列表法） 某年的每月平均气温如下 表 月份 平均气温 1 2.5 2 3.5 3 10 4 16 5 21 6 28 7 32 8 35 9 27 10 19 11 12 12 4 6方程思想 (1)将未知数与已知数联系起来,运用代数运算求出解答 的思想。（未知数与已知数地位相同） （2）产生与发展 产生于公元前2000年，巴比伦人 发展：有理方程无理方程三角方程指数方程对 数方程微分方程向量、矩阵方程等等。比如对有理 方程而言也在发展：1次方程2次方程n次方程 ，多元方程组、不定方程、不定方程组等。 （3）渗透 例1 小明的铅笔去掉3支，剩下的是原来的 ，问他原 来有多少支铅笔？ 解：设他原来有 支，则 -3= ，移项得 - =3， =9 答：小明原来有9支铅 笔。 例2 甲、乙两人从A、B两地相向而行，甲走完全程要6 小时，乙走完全程要10小时，甲先出发2小时，乙再经 过几小时甲、乙两人相遇？ 解：设经过 小时相遇，甲1小时走完全程的 ，乙1小 时走完全程的 ，则 + = ， 小时 答：经过2.5小时两人相遇。 例3 一桶油，第一次取出全桶的 ，第二次取出剩下的 ，桶里剩油12千克，问全桶油重多少千克？ 解：这桶油重 千克，则 ， 千克 ， 答：全桶油重80 千克 用方程解决问题的过程设未知数找等式代数化 代数运算（未知数参与运算）得出结论 （4）教学：培养学生分析已知数未知数的能力。 培养学生列方程的能力（找已知数、未知数的联系，代 数化） 7 统计思想(或概率统计思想) (1)定义:是帮助决策的理论,从事物的部分数据出发,运 用代数运算,得出整体的数据性质,从而判断这类事物的 本质的一种思想。 （2）形成和发展 产生于16世纪，19世纪中叶之后得到了广泛的应用。 （3）渗透 例1 随意从放有4个红球和1个黑球的口袋中，摸出一个 球，摸到红球与黑球的可能性哪个大？ 让学生反复做几次试验可知摸到红球的可能性大， 摸到黑球的可能性小，并且摸到红球的概率是 ，黑 球的 概率是 。 例2 小明所在班级的学生平均身高为1.4米，小强所在 班级的学生平均身高为1.5米，小明一定比小强矮吗？ 分析：不一定。我们知道平均数是表示一组数据集中程 度的特征数，在这组数据中，小明身高可能比平均数 1.4米要大，而小强身高可能比平均数1.5米要小，所 以可能出现情况两人一样高，小明比小强高，小明比小 强矮 。 例3 如何算出茫茫一片森林中树木的棵数？ 分析：选单位面积的如下几块（平方米）茂密较一般一般稀少 计算出它们单位面积上树木棵数，再取平均数，用平均 数乘以森林面积就为树木的大约棵数，当我们取的单位 面积的组数越多，得出的树木棵数越准确，这就是用样 本来估计空间。 例4 统计某商店一个月内几种商品的销售情况，对这 个商店的进货提出你的建议（要求学生认识概率统计在 社会生活及科学领域的应用，并能解决一些简单的实际 问题）。 8 类比思想 （1）定义：指依据两类数学对象的相似性，有可能将 已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去 的思想。 （2）渗透 例1 如加法交换律和乘法交换律。在学习乘法交换律时 可类比原来的加法交换律。 长方形、平行四边形、梯形、三角形的面积公式加以比 较，便于记忆。 学习“商不变性质”时，可先让学生观察：6030=2， 63=2，600300=2，60003000=2；通过比较得出被 除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数商不变，理解了 商不变的性质后，让学生联想还有什么不变的规律（性 质）？和不变，差不变，积不变的规律。 例2 平面几何问题向立体几何问题的类比 常常根据平面几何定理得出立体几何中的真命题，但也 有时得出假命题。 如两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平面上成 ， 垂直于同一直线的两直线平行 空间不成 立。 例3 关于小数大小的比较法则，是根据整数大小的比 较法则，通过类比得到的。但它只适用于有限小数，如 果由此进一步归纳出小数（包括有限小数和无限小数） 的大小比较法则，那么这一归纳的结果是错误的。因此 类比得出的结论不是永远正确的，还必须进一步研究、 检验，力求给予理论上的证明。 9 分类思想 (1)定义:在比较的基础上,根据事物的某一本质属性进行 正确划分的思想。 （2）渗透 例1 自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数， ；若按约数的个数分质数和合数和1，即自然数 又如：三角形可以按边分，也可以按角分，若按边分 三角形 质数 合数 1 不等边三角形 等腰三角形 底边和要不相等的等腰三角形 等边三角形 例2 用4、5、6三张数字卡片可以摆出几个三位数？ 让学生做一做，摆一摆，有的学生很快摆出来，但有些 学生却摆不完整。这时，我们指导学生进行分类讨论， 首先确定百位上的数字是4时，有哪几个三位数（456， 465）？ 百位上的数字是5时，有哪几个三位数（546，564）？ 百位上的数字是6时，又有哪几个三位数（645，654） ？ 可见以百位上的数字为准进行分类，能有效纠正学生的 无序性甚至盲目拼凑的毛病，有利于培养学生的逻辑思 维能力。 教学中遵循的原则：所分的各类应当互不相容。分 类应当是相称的（所分的各类的外延的和等于原来的种 的外延）。每次分类应按统一标准。 数学中除了以上9种思想以外，还有数形结合思想、优 化思想，模糊数学思想，整体思想，公理化思想等。 讨论题：解答下列各题，并说明所用的思想方法 例1 某班上午缺席人数是出席人数的 ，下午又因有一 个人请假，故缺席人数是出席人数的 ，此班有多少 人？ 法一：上午缺席人数是1份，那么上午出席人数就是7 份，总人数是（1+7）份，所以上午缺席人数是全班人 数的 ，同理，下午缺席人数是全班人数的 ; 这样很快发现其本质关系: 与 的差是由于请假一人 造成的,故全班人数为 法二:列方程 设上午缺席人数为x,则x+7x=(x+1)+6(x+1) x=7 总人数为56人 运用的思想:转化思想、方程思想。 大客车：限坐42人，每辆每天1000元，豪华中巴：限 坐24人；每辆每天600元，现一学校组织春游，有老师 27人，学生203人，问选择哪种乘车方案最便宜？而选 择哪种乘车方案最舒适？ 列表如下 用到的思想：转化思想、统计思想、函数思想 大客车数中巴车数空位数应付租金（元） 6 4 3 2 1 0 1 3 5 7 8 10 22 4 10 16 22 4 106000 5600 5800 6000 6200 5800 6000 5 0 3 下面6个算式，布成三行两列，请观察算式，发现什么特点？你 能举出有这样特点的算式吗？ 3+1.5 31.5 6+1.2 61.2 11+1.1 111.1 规律:3+1.5=31.5 6+1.2=61.2 时, 11+1.1=111.1 时, 等 这一过程中运用了转化思想、符号化思想、 函数思想 例4 周长相等的正方形和圆，哪个面积大？从而判断同高、底周长 一样的粮囤作成圆柱形的还是底是正方形的长方体（正四棱柱） 盛粮食多？ 分析：设周长为 ，则正方形面积为 圆面积为 正方形面积圆的面积 应做成圆柱 形盛粮食较多。 再如水桶、热水器大都底部是圆形的 ，在周长相等的条件下，面 积有长方形正方形正五边形正六边形圆。 其中用到的思想：符号化思想，转化思想，函数思想。 5 计算： 法一：图像法 法二等比数列求和法 用到的思想：转化思想，符号化思想。 作业 1 分析小学数学教材中哪些内容渗透了