孙会元固体物理基础第一章1.4电场中的自由电子.ppt

第四节 金属的电导率和热导率 本节主要内容： 三、金属的热导率 一、特鲁德-洛仑兹近似下金属的电导率 二、索末菲近似下金属的电导率 一、特鲁德-洛仑兹近似下金属的电导率 1. 电场下经典的动力学方程 按照特鲁德-洛仑兹模型，电子遵循碰撞近 似和弛豫时间近似。碰后的电子无规取向,所以 电子对动量的贡献仅源于没有发生碰撞的那部 分电子。 无论是经典的特鲁德-洛仑兹自由电子论， 还是量子的索末菲自由电子论，在解释金属的 电导和热导问题上都取得了成功,并成功解释了 维德曼夫兰兹定律。首先我们看一下特鲁德- 洛仑兹自由电子论的结果。 定义驰豫时间，借以概括电子和金属离子的 碰撞特征. 驰豫时间,相当于相继两次散射间的平均时间 由弛豫时间的定义，dt时间内，电子受到 碰撞的几率为dt/，从而电子没有受到碰撞的 几率为(1-dt/)。 假定t时刻电子的平均动量为P(t)，经过dt时间 没有受到碰撞的电子对平均动量的贡献为 P(t+dt)。 所以有: 则没有受到碰撞的电子对平均动量的贡献应 为t时刻电子的平均动量和dt时间后动量的变化 之和，再乘以未被碰撞的电子的几率。 是对于所有电子而言的，电场力对所 有电子有作用，但是，有贡献的只是未发生碰 撞的电子. 整理得 取一级近似 从而有 所以，自由电子在外场下的动力学方程为： 设外场作用下电子的漂移速度(drift velocity) 为vd(t),则动量 从而,自由电子在外场下的动力学方程变为 阻尼力 该方程又称为漂移速度理论 对于稳恒电场下，电子具有恒定的漂移速度 所以： 把它们代入自由电子在外场下的动力学方程 得到： 整理后得到电子的漂移速度为 相应的电流密度又 所以,电导率为 2.稳恒电场情形下金属的电导率 电阻率定义为电导率的倒数，所以电阻率为 ： 由此可得弛豫时间： 材料的电阻率或电导率可实验测出，然后， 代入上式可计算弛豫时间.对于普通的金属, 的量级约为10-14秒. 由经典的玻耳兹曼统计可得电子的平均速率。 由此可得到电子的平均自由程： 室温下电子的平均速率大约为107 cm/s。对于 普通的金属, 的量级约10-14s,所以l 约1 nm 所以电子的平均速率： 经典统计下电子的动能： 由电子的密度我们容易得出电子的半径rs的大 小约为0.1 nm左右，差不多和经典下电子的平均 自由程在一个量级，显示了经典模型的局限性 。 3.交变电场情形金属的电导率 假设此时 代入电子的动力学方程得 整理得 由 得到 为直流电导率 索末菲近似下，基态时金属中的自由电子费 米气体全部分布在费米球内。此时金属自由电 子具有确定的动量 电子速度 二、索末菲近似下金属的电导率 不加外场时，费米球的中心和k空间的原点重 合，整个费米球对原点对称。如果有一个电子 有速度v，就有另一个电子有速度-v，因此金属 内净电流为零。 在恒定的外场作用下，电子受力为-eE 由牛顿第二定律 此式说明在外电场的作用下，电子动量的 改变表现为k空间相应状态点的移动，即产生 了费米球的刚性移动。 在k空间移动的速度为 所以 电子之间没有发生碰撞时，对上式积分得 此式表明，在K空间，从0t 时刻，费米球中 心移动为 负号表示费米球沿与外场相反的方向移动 那么，在弛豫时间内费米球中心在k空间的 位移为: 费米球在外场作用下产生刚性移动示意图 从0 时刻,费米球中心逆电场方向移动为 考虑到动量的变化关系： 得电子在稳恒电场下逆电场方向的速度增量： 上式就是电子在稳恒电场下获得的定向漂 移速度，对金属内每一个电子来说，都有这样 的漂移速度，由此可得电流密度： 所以，电导率为 可见与经典模型下的结果一致。由上式的推导 过程可知，费米球内所有的电子都参与了导电. 如图所示，在外场作用下，费米球从红色 位置向蓝色位置平移。 但是，如果我们具体分析在外电场的作用 下费米球的刚性移动过程，不难发现只有费米 面附近的很少一部分电子才对金属的电导有贡 献. 由于费米球的半径为kF,位移为k,电子在球 内均匀分布 所以，蓝色月牙形部分的电子所占的比例约为： 由于I区和II区均位于原来的 红色球内,且关于 ky kz 面对 称。所以它们的传导作用被抵 消。只剩下费米面附近未被 补偿的蓝色月牙形部分的电子才有传导电流作用 。 所以参与导电的电子数目约为 由于这些电子以费米速度逆电场方向运动， 则对电流的贡献为 电导率 和前面得到的电导率形式 上一样，只是用F 代替 电子所占的比例为： 严格的理论计算支持了后一种的说法。这主 要是由泡利原理导致的。能量比费米能低得多 的电子，其附近的状态已被电子占据，没有空 态可接受其它电子。因此，这部分电子无法从 电场里获得能量进入较高的能级而对电导做出 贡献，能被电场激发的还是费米面附近的电子 。 两种电导率形式上虽然一样，但是两者导电 的物理机理却不同。第一种形式认为费米球内 所有电子都参与了导电,电子数目多但速度缓慢 ；第二种则认为只有费米面附近的电子参与了 导电,电子数目少但速度极大，取费米速度；所 以,两者效果一样，即电流密度一样。 三、 金属的热导率 金属样品中存在温度梯度T时，就会产生热 传导，热传导的强弱用热流强度JQ 来描述 1.热传导 由于温度不均匀，热量从温度高的地方向 温度低的地方转移，这种现象叫热传导 热传导的定义告诉我们，产生热传导的条 件是温度不均匀。 温度不均匀的数学描述就是温度梯度T 高温低温 2.热流强度 单位时间里通过单位横截面积的热量，称为 热流强度 当温度梯度T不太大时，热流强度JQ与T 成正比。 即 这就是热传导定律 其中 称为材料的热导率,负号表示热流方 向与温度梯度方向相反。总是从高温流向低温 。 基于热量由导电电子传输这个想法，同时 又把自由电子看成是没有相互作用的气体，所 以我们直接利用热学中气体分子运动论的结果( 可参考李椿的热学） 人们从实践中发现，金属的热导率远高于 绝缘体，由于金属和绝缘体的主要区别在于导 电电子的有无，因而，人们断定金属中的热量 主要由导电电子传输。 3.金属的热导率 金属的热导率为: 其中 为电子比热 为电子运动的平均速度， 为电子的平均 自由程， 为驰豫时间 按照索末菲模型，电子的比热为 电子的平均速度取费米速度 所以金属的热导率为: 电导率：热导率： 则存在如下关系: 上式表明，在给定温度下，金属的热导率 和电导率的比值为常数，称为洛伦兹常数。 由于，在1853年维德曼(Wiedeman)夫兰兹 (Franz)二人，最早从实验上发现了该现象，所 以常把上述规律称为维德曼夫兰兹定律。 电导率： 所以，经典模型下热导率： 电子的平均速度: 如果采用经典模型，电子比热容为： 则有: 可见，经典的特鲁德-洛仑兹模型和索末菲模 型均能解释维德曼夫兰兹定律，但是索末菲 的理论结果和实验符合的非常好，说明索末菲 模型在定量上要好于经典的特鲁德-洛仑兹模型 。 但是，进一步的实验发现，维德曼夫兰兹定律 在较