维势阱和势垒问题.ppt

找出问题中势能函数的具体形式，代入相应的薛定谔方程；,根据波函数应满足的自然条件定出边界条件求出薛定谔方程的特解,求出薛定谔方程的通解即波函数,根据波函数应满足的归一化条件写出波函数,对量子力学处理的结果进行分析,16-3 一维势阱和势垒问题,1.一维无限深势阱,粒子在势阱内受力为零，势能为零。在阱内自由运动。在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力, 不能到阱外。,一维无限深方势阱是金属中自由电子的简化模型,一维无限深方势阱的数学表达形式 ：,一维无限深方势阱的图形表达形式 ：,粒子只能在宽为 a 的两个无限高势壁间运动，这种势称为一维无限深方势阱。,因为系统的势能与时间无关，因此这是一个定态问题，可以用定态薛定谔方程进行求解。,列出各区域的定态薛定谔方程,势阱内 0 x a,势阱外 x 0 ;x a,理由:因为势壁无限高,所以粒子不能穿透势壁,故势阱外的 波函数为零,定态薛定谔方程为,E是粒子的总能量，E 0，令,定态薛定谔方程变为,此薛定谔方程的解为,式中 A和是待定常数，由边界条件和归一化条件确定。,从物理上考虑，粒子不可能透过阱壁，因而按照波函数的统计诠释，要求在阱壁上和阱外波函数为0。,考虑波函数在阱壁上等于零的情况，即,边界条件,波函数改写为：,讨论一：n不等于零,此时波函数没有物理意义，故舍去。,讨论二：n不取负数,此时波函数与 n取正数时代表相同的概率分布，即无法给出新的波函数，故舍去。,这说明：并非任何 E值所对应的波函数都能满足一维无限深方势阱所要求的边界条件，只有当能量取上式给出的那些分立的值 En（体系的能量本征值）时，相应的波函数才是物理上有意义的，即本问题中体系的能量是量子化的，亦即体系的能谱是分立的。,与能量本征值En相对应的本征波函数n (x)为：,利用归一化条件,取 A为正实数,波函数：,讨论：, 粒子的能量,粒子的最低能量状态称为基态，则一维无限深方势阱的基态能量为：,零点能,与零点能相对应的，应存在零点运动。这与经典粒子的运动是相矛盾的。零点能是微观粒子波动性的表现，因为“静止的波”是没有意义的。,（1）一维无限深势阱的粒子波函数, 图形,一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度,基态的波函数(n=1)无节点， 第一激发态(n=2)有一个节点， 第k激发态(n=k+1)有k个节点。,除端点外，,（2）一维无限深势阱的粒子位置概率密度分布,量子经典,一维无限深势阱,例1: 证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数具有正交性：,即不同能级的波函数是互相正交的。,解: 波函数 取其复共轭 相乘并积分，得,属于不同能级的波函数是正交的。,把波函数的正交性和归一性表示在一起，,克罗内克符号,二、势垒穿透和隧道效应,有限高的方形势垒,数学形式：,图形形式：,考虑粒子的动能 E小于势垒高度 U0的情况。（ E U0 ）,粒子在 x a的区域。,这种势能分布称为一维势垒。,在量子力学中，情况又如果呢？,为讨论方便，我们把整个空间分成三个区域：,在各个区域的波函数分别表示为1、2、3。,令：,三个区间的薛定谔方程简化为：,方程的通解为：,三式的右边第一项表示沿x方向传播的平面波，第二项为沿x负方向传播的平面波。,1右边的第一项表示射向势垒的入射波，第二项表示被“界面（x=0）”反射的反射波。,2右边的第一项表示穿入势垒的透射波，第二项表示被“界面（x=a）”反射的反射波。,3右边的第一项表示穿出势垒的透射波， 3的第二项为零，因为在xa区域不可能存在反射波(B3=0)。,定义反射系数：,粒子被势垒反射的概率,被势垒反射的粒子数 / 入射到势垒上的粒子数,定义透射系数：,粒子穿过势垒的概率,穿过势垒的粒子数 / 入射到势垒上的粒子数,概率守恒,反射系数 R 和透射系数 T 的具体值，需要根据波函数的归一化条件，以及边界条件（波函数及其导数在全空间连续）来确定。,利用波函数“单值、有限、连续”的标准条件，可得：,求出解的形式画于图中。,讨论：,（1）EU0,按照经典力学观点,在EU0情况下，粒子应畅通无阻地全部通过势垒，而不会在势垒壁上发生反射。,而在微观粒子的情形，却会发生反射。,（2）EU0,从解薛定谔方程的结果来看，在势垒内部存在波函数2。即在势垒内部找出粒子的概率不为零，同时，在xa区域也存在波函数，所以粒子还可能穿过势垒进入xa区域。,粒子在总能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。,当 时，势垒的宽度约50nm 以上时，贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。,结果表明：势垒高度U0越低、势垒宽a度越小，则粒子穿过势垒的概率就越大。,如果a或为宏观大小时， ，粒子实际上将不能穿过势垒。, 隧道效应和扫描隧道显微镜STM,由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于 表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零， 而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm。,只要将原子线度的极细探针 以及被研究物质的表面作为 两个电极，当样品与针尖的 距离非常接近时，它们的表 面电子云就可能重叠。,若在样品与针尖之间 加一微小电压Ub电子 就会穿过电极间的势 垒形成隧道电流。,隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品 方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。,Scanning tunneling microscopy,因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可 得到表面态密度的分布；,使人类第一次能够实时地观 测到单个原子在物质表面上 的排列状态以及与表面电子 行为有关的性质。在表面科 学、材料科学和生命科学等 领域中有着重大的意义和广 阔的应用前景。,利用STM可以分辨表面上 原子的台阶、平台和原子 阵列。可以直接绘出表面 的三维图象,与其它表面分析技术相比，STM所具有的独特优点是：,1. 具有原子级高分辨率。STM在平行和垂直于样品表面方向的分辨率分别可达0.1nm和0.01nm，即可分辨出单个原子。,2.