毕业论文_极限思想的产生与发展.doc

存档编号 赣南师范学院科技学院学士学位论文极限思想的产生与发展系 别 数 学 与 信 息 科 学 系 届 别 2014 届 专 业 数 学 与 应 用 数 学 学 号 1020151216 姓 名 李 芳 指导老师 陈 海 莲 完成日期 2014 年5月 4日 1818 目 录内容摘要1关键词1Abstract1Key words1引言21.极限思想的产生22.极限思想的发展43.极限思想的概念53.1极限的现代定义53.2函数极限的性质63.3数列极限存在的条件74 极限思想的应用84.1极限思想在割圆术中的应用84.2极限思想在开方方面中的应用84.3极限思想在微积分中的应用104.4极限思想在解题中的应用11结论15参考文献17致谢18内容摘要：本文主要论述极限思想的产生与发展、极限思想的概念、辩证与剖析及其应用。极限思想是荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法时产生的，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归谬法的证明，而牛顿，莱布尼兹对极限思想的建立作出了创造性的贡献。本文最后探讨了极限思想在割圆术、开方、微积分和求解某一点方面的应用。关键词：极限思想 产生 发展 概念 辩证 剖析 应用Abstract: This paper mainly discusses the origin and development of the limit idea, limit thought concept, dialectical analysis and its application. Limit thought is produced by Holland mathematician Steven improved the method of exhaustion of the ancient Greeks, while investigating the center of gravity when he, with the aid of the geometry, bold use of thinking about the limit, give up reductio ad absurdum proof, and Newton, made creative contribution to establish the Leibniz limit thought. This paper finally discusses the application of limit thought in cyclotomy, prescribing, calculus and solution of a point of.Key words: Limit thought production development concept dialectical analysis application引言数学是对现实世界数与形简洁的、高效的、优美的描述, 是有其内部抽象性和外部有效性的一门学科。数学科学是知识理论和思想方法的有机结合。求解实际问题的正确解法是由一系列正确的程序组成, 即从已知量出发, 通过对已知条件与目标结果的联系, 并运用数学的各种运算, 最终得到正确的结果的过程。微积分是解决实际问题的一个基础, 极限的思想是微分与积分的基础, 极限的思想贯穿整个微积分的领域。如果把数学比作一个浩瀚无边而又奇异神秘的宇宙，那么极限思想就是这个宇宙中最闪亮最神秘最牵动人心的恒星之一。极限，单从字面上来讲，就足以让人浮想联翩，发散思维，引发出无限的遐想。“挑战极限，超越自我”曾是我们高三时期激励自己奋发学习的铮铮誓言。然而这只是生活中我们对极限的外在理解，还很幼稚很肤浅的，与数学上所讲的“极限”还是有很大的区别。 理解并掌握好其中极限的重要思想, 可以让我们在解决实际问题的过程中, 能较快发现解决问题的方法, 提高实际效果。本文就利用数学的极限思想在解决各个学科中的实际问题的思考过程作出初步的分析和探索。1.极限思想的产生 极限思想的产生和其他科学思想一样，是必须经过历代古人的思考与实践一步一步渐渐累积起来的，它也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代，在古书中，如我国庄子天下篇载“一尺之锤,日取其半,方世不竭”。墨经注“或不容尺,有穷；莫不容穷,无穷也”。表达无限可分思想外，包含了极限思想的萌芽。 刘徽九章算术注，将无穷小分割法，利用极限思想架起了通向微积分的桥梁，至今熠熠闪光，例如，他创立的“割圆术”（采用圆内接正多边形，当边次逐次倍增接近圆的原理“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于又可割，则与圆合体，而无所失矣”。）其思想与古希腊“穷竭法”不谋而合。刘徽在证明圆面积公式中亦蕴含了极限思想。 到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归谬法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。数学家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果。”极限思想的历史可谓源远流长，一直可以追溯到2000多年前。这一时期可以称作是极限思想的萌芽阶段。其突出特点是人们已经开始意识到极限的存在，并且会运用极限思想解决一些简单的实际问题，但是还不能够对极限思想得出一个抽象的概念。也就是说，这时的极限思想建立在一种直观的原始基础上，没有上升到理论层面，人们还不能够系统而清晰地利用极限思想解释现实问题。极限思想的萌芽阶段以希腊的芝诺，中国古代的惠施、刘徽、祖冲之等为代表。 提到极限思想，就不得不提到著名的阿基里斯悖论一个困扰了数学界十几个世纪的问题。阿基里斯悖论是由古希腊的著名哲学家芝诺提出的，他的话援引如下：“阿基里斯不能追上一只逃跑的乌龟，因为在他到达乌龟所在的地方所花的那段时间里，乌龟能够走开。然而即使它等着他，阿基里斯也必须首先到达他们之间一半路程的目标，并且，为了他能到达这个中点，他必须首先到达距离这个中点一半路程的目标，这样无限继续下去。从概念上，面临这样一个倒退，他甚至不可能开始，因此运动是不可能的。”就是这样一个从直觉与现实两个角度都不可能的问题困扰了世人十几个世纪，直至十七世纪随着微积分的发展，极限的概念得到进一步的完善，人们对“阿基里斯”悖论造成的困惑才得以解除。 无独有偶，我国春秋战国时期的哲学名著庄子记载着惠施的一句名言“一尺之锤，日取其半，万事不竭。”也就是说，从一尺长的竿，每天截取前一天剩下的一半，随着时间的流逝，竿会越来越短，长度越来越趋近于零，但又永远不会等于零。这更是从直观上体现了极限思想。我国古代的刘徽和祖冲之计算圆周率时所采用的“割圆术”则是极限思想的一种基本应用。所谓“割圆术”，就是用半径为R的圆的内接正多边形的边数n一倍一倍地增多，多边形的面积就越来越接近于圆的面积。在有限次的过程中，用正多边形的面积来逼近圆的面积，只能达到近似的程度。但可以想象，如果把这个过程无限次继续下去，就能得到精确的圆的面积。2.极限思想的发展 极限思想是到了16世纪才得以进一步发展的，那时的极限思想是在欧洲资本主义萌芽时期，生产力得到极大发展，生产和技术中大量问题无法用初等数学解决的前提下，一批先进数学家们才进入极限思想的领域深入研究的，这时极限思想的发展与微积分的建立越来越紧密相连了。科学家们为了获得更高的生产力，不断的进入了极限思想的研究中，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。 从这一时期开始，极限与微积分开始形成密不可分的关系，并且最终成为微积分的直接基础。尽管极限概念被明确提出，可是它仍然过于直观，与数学上追求严密的原则相抵触。 例如，在瞬时速度这一问题上，牛顿曾说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当无限增大时，无限地接近于常数A，那么就说以为极限”。这只是“在运动观点的基础上凭借几何图像产生的直觉用自然语言做出的定性描述”。这一概念固然直观、清晰、简单易懂。但是从数学的角度审视，对极限的认识不能仅停留在直观的认识阶段。极限需要有一个严格意义上的概念描述。起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。 牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。 正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到了人们的怀疑与攻击。 英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。 这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着认识论上的重大意义。 在极限思想的发展中，我们可以看出数学并不是自我封闭的学科，它与其他学科有着千丝万缕的联系。正如一位哲人所说：“数学不仅是一种方法，一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系。”在探求极限起源与发展的过程中，我发现数学确实是一个美丽的世界，享受数学是一个美妙的过程。以前总是觉得数学枯燥艰涩，可是通过近段时间对极限思想的探究，我真切地感受到数学之美。在数学推理的过程中，我们可以尽情发散自己的思维，抛开身边的一切烦恼，插上智慧的双翼遨游于浩瀚无疆的数学世界。什么琐事都不要想，全身心投入其中，享受智慧的自由飞翔，这种感觉真的很美。 培根说：“数学使人精细。”我觉得应该再加上一句数学使人尽情享受思维飞翔的快感。3.极限思想的概念3.1极限的现代定义极限是指无限趋近于一个固定的数值。而极限又可分为数列极限和函数极限。学习微积分，就会有引入极限的必要性，因为代数是无法处理“无限”的概念，所以为了要利用代数处理无限的量，于是就要构造“极限”的概念。在“极限”的定义中,我们可以知道，极限的概念为了解决一个数除以0的麻烦，引入了一个过程小量可以取任意小， 只要满足在的区间内，都小于该任意的小量，我们极限为该数，这样的定义可能不够信服力，但它的实用性证明，这个定义还是比较完善的，给出了正确的可能。数列极限的标准定义：对数列 ，若存在常数，对于任意，总存在正整数N，使得当nN时，成立，那么称是数列 的极限。函数极限的标准定义：(1)设函数，大于某一正数时有定义，若存在常数，对于任意，总存在正整数使得时，成立，那么称函在无穷处的极限为。(2)设函数在处的某一去心领域内有定义，若存在常数A，对于任意，总存在正数，使得当时，成立，那么称是函数在处的极限。3.2函数极限的性质 定理3.1（唯一性） 若极限存在，则此极限是唯一的。 定理3.2（局部有限性）若存在，则在的某空心邻域内有界。定理3.3（局部保号性） 若 (或)，则对任何正数（或),存在，使得对一切有 （或） （注： 在以后应用局部保号性时，常取。） 定理3.4（保不等式性） 设与都都存在，且在某邻域内有，则 定理3.5（迫敛性）设，且在某内有 则. 定理3.6（四则运算法则）若极限与都存在，则函数当时极限也存在，且1） ；2） ；又若，则当时极限存在，且有3）。3.3数列极限存在的条件定理3.7（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限。定理3.8（柯西收敛准则）数列收敛的充要条件是：对任给的，存在正整数，使得当时有 4 极限思想的应用 在我们日常生活当中，尤其是在学习数学这门专业时，极限思想应用的非常广泛，有好多的数学问题都可以转换成用极限思想来解决。如在割圆术中、在开方方面、在微积分中，甚至于在求解某一点问题时运用极限思想是问题简单明了。4.1极限思想在割圆术中的应用 刘徽的“割圆术”目标是计算圆面积，而计算圆面积是人类在处理方法从“直”跨入“曲”的关键的一步，是人类在思想观念上从“有限”进入“无穷”的一次飞跃，深刻理解它，并掌握这种大智慧，就能在思想观念和处理方法上实现向高等数学的转变，它是开启高等数学大门的金钥匙。 总观“割圆术”可表达为如下三个环节：割分，修补，重复。 具体如下：刘徽考察圆内接多边形。他先从六边形做起，然后将六等份的每个弧段再对半二分，结果生成圆的内接正12边形，直观上可以明显看出12边形更接近于圆周。重复弧段逐步对分的三分过程，即每分割一次内接多边形的边数增长一倍，如此下去，（设内接近n形面积为S（n），圆面积为S*），如前文所述有： S（6）S（12）S（24）S*由此可见，在刘徽的心目中，割圆是个割之又割的无限过程，是通 向无穷之路。单从“割”来看还不足以显示古代中国数学泰斗刘徽的大智慧，刘徽的真正亮点是圆面积公式的推导发及圆周率的计算上，发现我们将看到刘徽的光辉思想与晚他1000多年才提出的极限论是如此惊人的符合。 4.2极限思想在开方方面中的应用 九章算术开方术说“若开元不尽者，为不可开。当以面命之。”这就是说，凡开不尽的数，可以以面命之。“以面命之”就是余数表示，即： 其中，为被开方数A为其平方根的近似值，r为开方不尽的余数。在古代，为了表示开方不尽数的值。一般常用的方法是，加借算命分和不加借算命分。 这两种方法并不是理想的方法，所以刘徽说，“令不加借算而命兮，则又徽分。其数不可得而定故堆以而命之，为不失和，”就是说只有没有误差。但是由于这种表示方法不够具体，于是刘徽利用极限思想创立了十进制的表示法。 他说：“不以面命之，加定法如前，求其徽数。徽数无名者以为分子，其一认十为母，其再实以百为母。退之弥下，其分弥细。则朱幂虽有所弃之数，不是言之也。”这就是： 其中A为整数，是平方根的十进分数的分子都是一位整数。而 取近似值，则得： 或因为古代是用正方形来解释开平方的，所谓“朱幂”相当于被开方数与近似平方根的平方之差。用现代符号表示：或而实际上，这就是极限在开方方面的应用。4.3极限思想在微积分中的应用 人们把基础数学区分为初等数学与高等数学。高等数学的基础是微积分，在创建微积分的过程中，牛顿和莱布尼茨都特别强调微积分是“无穷”的数学，微积分发明后，人们长期习惯于称这为“无穷小分析”。通俗地说高等数学是无穷的数学，而初等数学则是有限数学，这样是否包容“无穷”便成了划分高等数学与初等数学的“分水岭”。 西方数学史上往往把微积分思想追溯到公元前3世纪的希腊数学大师阿基米德，他运用所谓“穷竭法”计算了一些曲边图形的几何量，曲边图形“天然”含有“无穷”的成份，阿基米德的种种计算为微积分作了铺垫，正好我们前面所说“穷竭法”与“无限”极限过程毫不相干，它从属于初等数学范畴，在中外古代数学史上，首先举起“极限论”大旗的是中国的刘徽，刘徽的“割圆术”清晰地提出了极限思想并刻画了极限过程，同时给出了极限的计算方法。 极限论是从初等数学到高等数学主要通道，阿基米德的“穷竭法”通过注入极限思想被引入微积分，然而，由于“穷竭法”先天不足，使创建初期的微积分缺乏逻辑上的严密性，17世纪中叶创建的微积分有力的推动了数学的迅猛发展，其内容之丰富，应用之广泛，令人眼花缭乱，目不暇接，然而微积分逻辑混乱，这个矛盾也更加突出了。这好比高耸入云的大厦建立在沙滩上一样，数学当中常有这种“怪”东西，它极其直观，但在逻辑上却总也说不清楚。“极限”就是这类怪物。关于“什么是极限”从微积分创建初期一直到19世纪中叶数学家们整整思冥想了200年，最终才由维尔斯特拉斯提出“N”说法的极限定义。极限论在逻辑上被弄清楚，微积分这座数学大厦也在极限论的基础上得到了巩固。然而问题双从另一方面冒了出来，改造后的微积分虽然逻辑上严格，但它缺乏直观，失去朝气，可是早它1600多年的刘徽在其“割圆术”中所表述的极限思想，既有逻辑的严密性，双有几何直观性与实际应用的可操作性，倘若对中国数学颇有研究的莱布尼茨如能悟出刘徽割圆术中的深邃的极限思想，我想历史上也就不会有微积分的“优先权之争”。4.4极限思想在解题中的应用（1）求某一点的应用问题：包括求某一点的切线问题、瞬时问题(瞬时速度、瞬时加速度、瞬时增长率、边际问题),可考虑采用 的极限的处理办法求解,即: 改变研究条件为由变化到另一个点,(或)(其中),在区间(或在)中,通过“常量代替变量”的办法,构造(或 ),替代区间上的变量,最后,在 (或 )的条件下,新构造的(或 ),无限趋近最终所求量。 如:构造出上的平均速度, 在的条件下,平均速度无限趋近最终所求瞬时速度。 例1设某运动物体作竖直上抛运动,经过t秒后,物体上升的高度为,求物体在3秒末的瞬时速度。 分析:该物体作竖直上抛运动,即是作变速直线运动,要求解3秒末的瞬时速度A,即自变量无限趋近秒时的速度。因为速度与位移及时间的比值有关（）,可利用极限的理论,构造出一个在自变量无限趋近秒的条件下,相应的平均速度项(或)也无限趋近于瞬时速度,从而求出结果。比值有关（）,可利用极限的理论,构造出一个在自变量无限趋近秒的条件下,相应的平均速度项(或)也无限趋近于瞬时速度,从而求出结果。作法如下:以的方向为横轴,的方向为纵轴,建立起平面直角坐标系; 以为起点,为终点,考察在整个小区间 上, 运动物体的平均速度的变化情况:该区间上运动物体的位移为: 在的条件下,对平均速度取极限,即可得出在秒的瞬时速。所以: 在实际问题中,求某一点的变化率的问题,实际上就是求导数。 （2）利用极限思想处理无穷等比数列； 例2：已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数；解：（1）设 的公比为，则有： 对上式两端取极限，当时，；当时，此时，即整理得，即，得故常数 或。 （3）利用极限思想确定函数定义域； 例3：从盛满纯酒精的容器中倒出，然后用纯水填满，再倒出混合液后又用水填满，这样继续下去。设倒完第次时前后一共倒出纯酒精，倒完第次时前后一共倒出纯酒精，求函数的表达式。分析：混合溶液问题是我们经常遇到的应用题，根据混合前后浓度的变化即可写出其函数表达式.由操作的重复性知，操作的次数越多，溶液的浓度越小，但是不可能是浓度为零，故。解：根据题意，第次倒出的混合液中纯酒精的体积分数为,下面确定定义域,由于第一次就倒出纯酒精，故；又经过有限次(无论n有多大)操作，总不可能将全部的纯酒精倒出，只能无限趋近于，即，故定义域为。 （4）利用极限思想解决不等式证明题； 例4：已知，求证分析：本题属于不等式证明，可用作差比较法、三角换元法，分析法等，但用极限思想尤为简单 ， 当且仅当时，等号成立，故原不等式成立。 例5：求离心率，过点且与直线相切于点，长轴平行于轴的椭圆方程。分析：一般解法是设椭圆中心为，可得椭圆方程，并列出过已知点的切线方程，联立消参可求椭圆 。解：设椭圆中心为，由离心率，可得 又由长轴平行于轴，可设椭圆方程为 联立方程只有唯一解，且此解为 又椭圆过点代入 可求得椭圆方程为探索思考：计算过程中，明显发现这种解法运算过程繁琐。如果把“点椭圆”看作椭圆的退化情况，考虑极端元素，则可简化运算过程。解：把点 看作离心率 的椭圆系 的极限状态（“点椭圆”），则与直线相切于该点的椭圆系即为过直线与“点椭圆”的公共点的椭圆系，其方程为 又由于所求的椭圆过点，代入上式，得。因此，所求椭圆方程为结论 极限思想作为一种数学思想，由远古的思想萌芽,到现在完整的极限理论,其漫长曲折的演变历程布满了众多数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。极限思想的演变历程,是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应,是人类追求真理、追求理想, 增加了新的动力,成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。数学极限的思想是一个尤其重要的思想方法。实际应用中,可以对实际问题进行认真分析后,确定所研究的问题所适合的极限类型,再根据对应的极限类型所满足的条件,采用“常量代替变量