数列的极限(一个引例.ppt

第一章 山东交通学院高等数学教研室山东交通学院高等数学教研室 第二节 数列的极限 一、数列极限的定义 二、收敛数列的性质 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 “一尺之棰，日取其半，万世不竭” 庄周 1.引例：截丈问题 第一天截剩下的部分 第二天截剩下的部分 第 n 天截剩下的部分 一、数列极限的定义 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 称为无穷数列，简称数列。 其中的每个数称为数列的项， 按自然数 称为通项(一般项)。 如 一般项 这个引例反映了数列的某种特性： 对数列 无限的接近这个常数 a ， a 称为其极限， 如果存在某个常数 a ，当 n 无限增大时， 2.数列的定义 编号依次排列的一列数 数列记为 否则称为发散数列。 则称这个数列为收敛数列， 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 如 一般项 一般项 一般项 一般项 收敛到 0 1 发散 发散 收敛数列的特性： 无限地接近某个常数 a 随 n 的无限增大， 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 3.数列的变化趋势极限 观察数列 时的变化趋势 当 播放 播放 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 观察数列 时的变化趋势 当 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 观察数列 时的变化趋势 当 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 观察数列 时的变化趋势 当 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 观察数列 时的变化趋势 当 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 观察数列 时的变化趋势 当 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 观察数列 时的变化趋势 当 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 观察数列 时的变化趋势 当 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 观察数列 时的变化趋势 当 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 观察数列 时的变化趋势 当 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 观察数列 时的变化趋势 当 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 观察数列 时的变化趋势 当 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 观察数列 时的变化趋势 当 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 观察数列 时的变化趋势 当 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 观察数列 时的变化趋势 当 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 通过对演示的观察，得 当 n 无限增大时， 无限接近于1。 问题：无限接近意味什么？如何用数学语言刻划它. 两个数 a 和 b 之间的接近程度可以用两数之差的绝对值 来度量， 越小，a 与 b 越接近. 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 给定 由 只要 有 给定 由 只要 有 给定 由 只要 有 给定 只要 有 定义：设 为一数列，如果存在常数 a ，对于任意 记 或 都成立， 或者称数列 收敛于a . 给定的正数 (不论它多么小)，总存在正整数 N ，使得当 时， 则称 a 是数列 的极限， 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 使 时， 证明 欲使 即使 只要 因此，取 则 时, 有 故 证明数列的极限为1. 例1 已知 思考：取 可不可以？ 成立 成立， 即可。 成立。 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 注意 （1） 的作用在于衡量 与 a 的接近程度，只要求 （2）一经给出，暂看作是固定的，由其决定 N （3） 也可用 代替， N 时,有 故 亦即 例4 设 的极限为 0. 即 因此，取 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 1.收敛数列极限的唯一性 证明： （反证法）及且 取 假设 时， 时， 取 满足的不等式矛盾，所以假设不真。 定理1 收敛数列的极限唯一。 即时， 即时， 时， 二、收敛数列的性质 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 2.收敛数列的有界性 有界性 否则无界。有界，无界 定理2 收敛数列一定有界。 证明 设 取则 当 时, 从而有有 取 则有所以数列有界。 使对一切有界 成立，则 如 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 注意 收敛必有界， 发散不一定无界 无界必发散， 有界不一定收敛， 虽有界但不收敛数列 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 3.收敛数列的保号性 如果 且则 当 时， 定理3 且 则 推论：如果从某项起 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 且极限是a。 定理4 如果数列 收敛于 a ，则其任一子数列也收敛， 注意 如果数列 有两个子数列收敛于不同极限， 发散。 则 证明数列 发散的方法： a. 定义 c. 找到的一个发散子列 d. 找到的两个有不同 4.收敛数列与其子列的关系 子列：在数列中任意抽取无限多项并保持其在原数列中的 如 都是其子列 先后次序，这样得到的数列称为原数列的子数列(或子列)。 b. 无界必发散 极限的子列 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用 2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限 小结 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 练习：P30 1; 3.(2) (4) 3.(2) 证明 欲使