实验二定积分的近似计算.ppt

数学实验 实验二 定积分的近似计算 q 问题背景和实验目的 实验二、定积分的近似计算 u 定积分计算的基本公式是牛顿莱布尼兹公式。但当 被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利 用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至 没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散 的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。 u 本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法 、梯形法和抛物线法。同时介绍 Matlab 计算定积分的相 关函数。 q 矩形法 u 定积分的定义： 实验二、定积分的近似计算 矩形法 n 充分大，x 充分小 u 定积分的近似： l 通常我们取 左点法右点法中点法 l 点 可以任意选取，常见的取法有： 左端点 ，右端点 和中点 。 步长 节点 u 右点法： u 中点法： u 左点法： 左点法、右点法和中点法 解： 矩形法举例 = h =1/100=0.01, xi = i*h, a=0, b=1, n=100 u 例：用不同的矩形法计算下面的定积分 ( 取 n=100 )， 并比较这三种方法的相对误差。 l 左点法： l 右点法： l 中点法： (i = 0,1,2,.,100) l 理论值： l 左点法相对误差： u 误差分析 矩形法举例 l 右点法相对误差： l 中点法相对误差： 不同的方法有不同的计算精度 有没有更好的近似计算定积分的方法 ? 定积分几何意义 u 曲边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积来近似 u 整个曲边梯形的面积： 梯形法 u 如果我们 n 等分区间 a,b，即令： 则 = 梯形公式 梯形法 梯形公式与中点公式有什么区别 ? 解： = u 例：用梯形法计算下面定积分 ( 取 n=100 )， 并计算相对误差 梯形法举例 a=0, b=1, n=100, f (x) = 1/( 1+x2 ) = h =1/100=0.01, xi = i*h, yi = f (xi) l 相对误差： u 2n 等分区间 a,b ，得 该直线用抛物线代替， 计算精度是否会更好？ u 计算每个节点上的函数值： 抛物线法 u 在区间 x0, x2 上，用过以下三点 的抛物线来近似原函数 f (x) 。 u 设过以上三点的抛物线方程为： 则在区间 x0, x2 上，有 y = x2 + x + = p1(x) 抛物线法 u 同理可得： u 相加即得： 抛物线法 u 整理后可得： 或辛普森 (Simpson) 公式 抛物线法公式 抛物线法 = u 例：用抛物线法计算下面定积分 ( 取 n=100 )， 并计算相对误差 解：a=0, b=1, n=100, yi = f (xi) = 1/( 1+xi2 ) l 相对误差： 抛物线法 u 梯形法：trapz trapz(x,y) x 为分割点（节点）组成的向量， y 为被积函数在节点上的函数值组成的向量。 q Matlab 近似计算定积分的相关函数 Matlab 计算定积分函数介绍 前面的 做法 u 例：用梯形法计算下面定积分 ( 取 n=100) 解： a=0, b=1, n=100, yi = f (xi) = 1/( 1+xi2 ) x=0:1/100:1; y=1./(1+x.2); trapz(x, y) trapz 函数 trapz(x,1./(1+x.2) trapz 举例 quad(f,a,b,tol) f = f(x) 为被积函数，a,b 为积分区间，tol 为计算精度 将自变量看成是向量 u 抛物线法：quad l 不用自己分割积分区间 l 可以指定计算精度，若不指定，缺省精度是 10-6 l 精度越高，函数运行的时间越长 l 此处的函数 f 是数值形式，应该使用数组运算，即 点运算：.*，./ ，. ，. 注： 抛物线法 解： quad(1./(1+x.2),0,1) quad(1./(1+x.2),0,1,10e-10) quad(1./(1+x.2),0,1,10e-16) 函数表达式一定要用 单引号 括起来！ 涉及的运算一定要用 数组运算！ u 例：用 quad 计算定积分： quad 举例 q 抛物线法计算二重积分： dblquad dblquad(f,a,b,c,d,tol) u tol 为计算精度，若不指定，则缺省精度为 10-6 u f(x,y) 可以由 inline 定义，或通过一个函数句柄传递 u a,b 是第一积分变量的积分区间，c,d 是第二积分变量 的积分区间 按字母顺序，大写字母排在小写字母的前面 二重积分的计算 f=inline(4*x*y+3*y2); I=dblquad(f, -1,1,0,2) u f(x,y) 中关于第一自变量的运算是数组运算， 即把 x 看成是向量，y 看成是标量。 也可以全部采用数组运算 例2：计算二重积分 dblquad(inline(4*x*y+3*x2),-1,1,0,2) dblquad(inline(4*x*y+3*x.2),-1,1,0,2) X 例1：计算二重积分 dblquad 举例 例：计算二重积分 dblquad(x,y)4*x*y+3*x.2 , -1,1, 0, 2) 指定 x、y 分别是第一和第二积分变量 dblquad(inline(4*x*y+3*x.2), -1,1, 0, 2) q 被积函数 f (x,y) 的另一种定义方法：匿名函数 dblquad(y,x)4*x*y+3*x.2 , -1,1, 0, 2) 下面的命令运行结果和上面的一样吗？ dblquad 举例 int(f,a,b) 计算 f 关于默认自变量 的定积分，积分区间为a,b。 int(f) 计算 f 关于默认自变量 的不定积分。 int(f,v,a,b) 计算函数 f 关于自变量 v 的定积分，积分区间为 a, b int(f,v) 计算函数 f 关于自变量 v 的不定积分 findsym(f,1) q 符号积分： int int 符号积分 syms x y; f=y*sin(x); int(f,x) int(f,y) int(f) int(a+b) ans=-y*cos(x) ans=1/2*y2*sin(x) ans=-y*cos(x) ans=a*b+1/2*b2 u 例：指出下面各条语句的输出结果 int 举例 u 例：用 int 函数计算定积分： 解： syms x; f=1/(1+x2); int(f,x,0,1) f=sym(1/(1+x2); int(f,x,0,1) int(1/(1+x2),x,0,1) 或 int(1/(1+x2),0,1) 或 或 int 举例 double(a) 将 a 转化为双精度型，若 a 是字符，则取对应的 ASCII 码 a=3; double(a) double(a) 例：ans = 3 ans = 97 其它相关函数 x=1:0.001:2; y=exp(x.(-2); trapz(x,y) l 梯形法： l 抛物线法： quad(exp(x.(-2),1,2,10e-10) l 符号积分法： syms x int(exp(x(-2),x,1,2) 例 1：用 Matlab 函数近似计算积分 数值实验 l 抛物线法： dblquad(inline(x+y2),0,2,-1,1) l 符号积分法： f=int