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文档简介
榆林学院本科毕业论文摘 要泰勒公式是微积分中一个重点和难点内容,它能将某些复杂函数近似地表示成简单的多项式函数,体现了微积分“逼近法”的思想精髓,成为解决数学问题的有力工具.基于此,本论文探讨了泰勒公式在诸多数学问题中的应用.为此,首先阐述了泰勒公式的基本思想理论;其次,重点总结介绍了泰勒公式在求解极限、证明不等式与等式、计算行列式,研究函数性态和近似计算与误差估计等方面的应用;同时,每种应用下都给予了相应的典型例题加以具体说明.通过本文的探讨介绍,充分显示出泰勒公式在解题中所发挥出的重要作用.关键词:泰勒公式,高阶导数,行列式,误差估计I中立型时滞系统 性能 时滞分细化方法ABSTRACTTaylor formula is an important and difficult content in the Calculus, it can take some complex functions approximately expressed as the simple polynomial functions, and it reflects the essence of approximation method of the calculus, so it is a powerful tool to solve many mathematical problems. Based on this, this paper discussed the application of Taylor formula in solving many mathematical problems. For this reason, firstly , described the basic idea and theory of Taylor formula; Secondly, summaried and described the application of Taylor formula in solving problems like limit calculation, proving the inequalities and the equations, studying the state of function, approximate calculation and error estimation and so on; At the same time, the corresponding typical examples are given under each application for the specific descriptions. Through the introduction of this paper, demonstrated fully the significant role of Taylor formula in solving a lot of mathematical problems.Key words:Taylor formula,Higher derivative,Determinant,Error estimationIII榆林学院本科毕业论文目 录摘 要IABSTRACTII引 言11泰勒公式21.1 泰勒公式的引入21.2常见函数的泰勒展开式42 泰勒公式的应用62.1 证明不等式与等式62.2 求解极限92.3 计算有理函数的不定积分112.4 判别级数敛散性122.5 研究函数性态152.5.1 判断函数的极值152.5.2 求函数的拐点172.5.3 判别函数的凹凸性192.6 求高阶导数202.7 计算行列式212.8 证明中值定理232.9 近似计算与误差估计273 结束语31参考文献32致 谢33III榆林学院本科毕业论文引 言多项式函数是各类函数中最简单的一种,对于一些比较复杂的函数,为了便于数值计算和理论分析,可以用多项式逼近函数,为了更好更方便地研究一些函数,则需要寻求更广泛,更高精度的近似公式来表示函数,这就引入了泰勒公式.泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓.泰勒公式在微分学中占有很重要的位置,尤其在解决一些计算和证明问题中有十分重要的作用.泰勒公式适用于函数具有二阶或二阶以上连续导数的命题,它的一般应用多见于近似计算.而在诸多数学分析教材中,对泰勒公式的介绍仅局限在如何进行函数的泰勒展开,并未对其展开深入的阐述说明.实际上,泰勒公式除应用于近似计算外,还在其他方面有着广泛且重要的应用.如用泰勒公式来求函数极限,用泰勒公式证明不等式,讨论级数收敛等等.本文详细介绍几种泰勒公式的应用,以典型例题进行具体说明,以期举一反三,拓宽思路,从而加深对泰勒公式的认识和理解.1 泰勒公式1.1 泰勒公式的引入 在初等函数中,最简单的函数就是多项式,这类函数对于数值计算和理论分析都很方便.如果将一类复杂的函数用多项式来近似表示出来,其误差又能满足一定的要求,那么就可以用多项式表示出此函数.若函数是次多项式将它改写为则 ,于是 对任意一个函数f (x),只要函数f (x)在点存在阶导数,就可以写出一个相应的多项式称为函数f (x)在点的次泰勒多项式,那么次泰勒多项式与函数f (x)在点的邻域上有何种联系呢?下面的定理回答了这个问题.定理1 若函数f (x)在点存在阶导数,则(1-1)其中 则(1-1)式称为f (x)在点的泰勒公式,其中为泰勒公式的余项.综上,得出泰勒公式的一般形式是f (x)=f ()+()(x-)+(1-2)其中为泰勒公式的余项,有以下两种类型:(i) 拉格朗日余项 (x)(ii) 佩亚诺余项 根据所带余项类型的不同,可以将泰勒公式分为以下两种类型:() 带有佩亚诺余项的泰勒公式 函数f (x)在上具有阶导数,则对任意,有 =+即 ,.() 带有拉格朗日余项的泰勒公式函数f (x)在含有的某个开区间()内具有直到阶导数,则对任意,有+ (1-3)其中 形如 的余项称为拉格朗日型余项.在式(1-3)中,令 =0,得到f(x)在点的泰勒公式+上式称为麦克劳林公式.1.2 常见函数的泰勒展开式根据函数f(x)在任一点点的泰勒公式可得到几个常见函数在任一点点处的泰勒公式,如下:; ; ;令,就得到了上述函数在点处的泰勒公式,也就是上述的麦克劳林公式.+;+;+;+;+;+.2 泰勒公式的应用2.1 证明不等式与等式利用泰勒公式证明不等式或等式,主要有下面两步:() 构造一个函数,选一个展开点,处的带有拉格朗日余项的泰勒公式,接下来需要选择在哪一点处把函数展开为泰勒公式.函数在一个区间的性质常常可由该区间中的一些特殊点来反映,如:端点、分点(中点,三等分点,四等分点等)、零点、驻点、极值点和最值点,拐点.此外,区间中的任意点也是分析函数性质不可或缺的点.运用泰勒公式时,就是将以上这些点中导数信息相对较充分的点选作展开中心.如果函数在区间中的任意点处的导数信息较为充分,那么这个任意点也可作为展开中心.() 根据所给的最高阶导数的大小,函数的界或三角形不等式等对进行放缩.如设函数点附近二阶可导,由泰勒公式得出以下结论()若,;()若,等号在时成立.当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式替代,往往可使证明方便简捷一些.例1 设.证明 设辅助函数 则的二阶泰勒公式(带有拉格朗日余项)为 即 .如果函数的二阶及二阶以上导数存在且有界,利用泰勒公式来证明这类不等式的一般思路是:(A)写出比最高阶导数低一阶的泰勒展式;(B)恰当选择等式两边的;(C)根据最高阶导数的大小对展开式进行放缩.例2 设在上有二阶导数,且内至少存在一点.证明 由于在上具有二阶导数,故在处一阶泰勒公式成立 (2-1)其中在之间,在(2-1)中,令 =,则 又 故 (2-2)在(2-2)中,令,又 故 (2-3)(2-3)减(2-1),并取绝对值,得取 则 .例3 设,在上连续,在具有二阶导数,且存在相等的最大值,证明:存在,.分析 本题考查的知识点是连续函数介值定理与罗尔定理的应用,在参考答案中运用了两次罗尔定理来证明,此题也可用泰勒公式证明.令,就成为证明存在异号,从而证明存在.证明 令,由已知条件,可得,设 设 使得 那么 ;根据连续函数介值定理,存在,使得.将在点处展开为泰勒公式,则 注意到,由以上两式可得因 ,故 异号设 ,则存在,说明上必取得最大值,从而存在 .2.2 求解极限目前为止,在求解极限问题中,除个别函数极限如用特殊方法外,很大一类函数极限是利用初等函数的性质(连续性,极限性质)及极限运算法则求出的.例如,,这类极限都是可以直接确定的.此外,还有一些“不定型”,即以下几种形式:“0/0”、“”、“ ”、“”、“ ”、“ ”,“ ”.其中“0/0”、“”是基本的两类,其它类型可化为这两类.确定待定型的极限,有两种基本方法()用洛比达法则;()将原式中某些(较复杂的)函数换作它的泰勒展式(带佩亚诺余项),经过化简后求极限.现在来举例说明利用泰勒公式求上述不定型的极限的技巧,以体现数学以简驭繁的精神.例4 求极限.解 由知这是0/0型,若用洛比达法则求极限,计算会非常繁琐,现利用泰勒公式展开求其极限.在计算过程中应注意,无穷小的计算和泰勒展开式的项数,本题极限分子中的,只要展开到就够了,因为分母是,这就要求分子的裴亚诺余项是比的无穷小.由上述例子能够发现,可以根据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为类似多项式或有理分式的极限问题,因此,满足下列情况时可以考虑用泰勒公式来求极限:用洛比达法则时,次数较多,且求导及化简过程较繁琐.分子或分母中有无穷小的差,且此差不易转化为等价无穷小替代形式.所遇到的函数容易展开为泰勒公式.当确定了要用泰勒公式求极限时,关键是确定展开的阶数.如果分母(或分子)是阶,就将分子或分母展开为阶麦克劳林公式.如果分子分母都需要展开,可分别展开到其同阶无穷小的阶数,即合并后的首个非零项的幂次的次数.例5 计算.解 此题是0/0型,但用洛比达法则很难求出.不难验证出分子的两项内三阶可微,因为 ,从而可见分母是3的三阶无穷小,故写出的分子上各函数三阶泰勒展开式关于较高阶无穷小可省略去,又 故 所以,原式结果为3.2.3 计算有理函数的不定积分 泰勒公式对(其中是关于的次多项式)类型的有理函数不定积分的计算很简便,此时将展成在点的泰勒公式级数共有项. +则 +此时,等式右端的每一项积分都很容易求得.例6 计算.解 设点展开,有 故 .2.4 判别级数敛散性关于级数收敛的判别方法有很多,对于正项级数的收敛判别法常见的有比较判别法,柯西判别法,达朗贝尔判别法等.而当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化或统一形式,以便于利用判敛法则.下面利用泰勒公式把一些级数的通项近似表示成幂函数的线性组合,误差为高阶无穷小,根据级数的收敛情况比较容易地判别级数的敛散性,下面引用级数收敛得一些.性质1 正项级数,时,级数发散;当时,级数收敛.性质2 交错级数,当时,级数发散;当时,级数条件收敛;当时,级数绝对收敛.性质3 若级数和级数都收敛,则级数收敛.性质4 级数和级数都是正项级数,且级数和级数同敛散.性质5 若级数级数和级数都绝对收敛,则级数绝对收敛.性质6 若级数绝对收敛,级数条件收敛,则级数条件收敛.性质7 若级数绝对收敛,则对进行任意重排,得到的级数也绝对收敛.例7 设的某一邻域内具有二阶连续导数,且,证明级数绝对收敛.分析 由题设条件“的某一邻域内具有二阶连续导数”这一信息可知能够使用泰勒公式,又根据条件易推得,这使得点的展开式更加简单,便于利用比较判别法判断敛散性.证明 由 ,并且的某一邻域内具有二阶连续导数,可得,将的邻域内展成一阶泰勒公式 根据题设条件,在邻域内包含原点的一个小闭区间上连续,故存在,且 于是 令 因为收敛,所以绝对收敛.例8 讨论级数的敛散性.分析 直接由通项去判断该级数是正项级数还是非正项级数比较困难,因而无法适当地选择判敛方法,但注意到,若将其泰勒展开为的幂的形式,开二次方后恰与相呼应,使判敛容易进行.解 因为因此 故 故该级数是正项级数.因为 所以 由于级数收敛,故由正项级数比较判别法知原级数收敛.本题利用泰勒公式后还结合运用了放缩等技巧,这是应用比较判别法时经常会用到的技巧.2.5 研究函数性态2.5.1 判断函数的极值应用带有佩亚诺型余项的泰勒公式,将函数极值的第二充分条件进行推广,借助高阶导数,可得到函数极值的另外一种判别法.定理2 若在点及邻域内具有阶连续导数,且()若为奇数,则不是极值点;()若为偶数,则当时,为极大值;当时,为极小值.证明 由已知条件及泰勒公式有则 (2-4)因,则存在点的某一邻域,使得当时,式(2-4)等号右端由第一项决定符号.当为奇数,在点的某一邻域内,当;当为偶数,且当时,有.即对一切,有,故为极大值.同理可证时,为极小值.当时,即在点的左右侧,式(2-4)右端变号,因此不是极值点.例9 已知函数在邻域内二阶可导,且当时取得极小值,问在能否取得极值,如有极值,求出极值.解 在处的泰勒公式 由于在时取得极小值,因此,.此时 可以表示为因为 又 故在处取得极大值,极大值为1.2.5.2 求函数的拐点利用数学分析教材中运用二阶导数的符号判定拐点,进一步可得到下面结论:定理3 若在点及邻域内具有三阶连续导数,且,为曲线的拐点.证明 由导数定义有由于 可设 由极限的保号性,存在点的某一去心邻.即当,;,.因此点为曲线的拐点.由以上结论可以得到更一般的情形,概括为下面的定理4.定理4 若在点及邻域内具有阶连续导数,且=,则()若为偶数,则点一定不是曲线的拐点;()若为奇数,则点为曲线的拐点.证明 情形(),令,由条件 ,.若为偶数,则为偶数,由极值判定定理可知在处取得极值,也就是在点取得极值.由极值定义,在点的某个去心邻域内,对任意一,有或,故一定不是拐点.情形(),令 ,可得 ,.若为奇数则为偶数,由定理可知在点取得极值.因此二阶导数在点两侧异号,故为拐点.例10 求函数的拐点.解 由 所以求得函数的驻点为 ,.求得的二阶导数为,.所以,在时取得极大值,三阶导为 ,.由定理知,为奇数.在不可能取得极值,由定理知为曲线的拐点.四阶导为 所以 由定理知,为偶数.所以在时取得极小值,则由定理得点一定不是曲线的拐点.2.5.3 判别函数的凹凸性定义1 设在上连续,如果对内的任意两点与,恒有关系式成立,则称在上的图形是凹的;如果恒有,则称在上的图形是凸的.此处利用二阶泰勒展开式给出一个凹凸性判别定理,并证明了定理.定理5 (凹凸性判别定理)设在上连续,在内具有一阶及二阶导数,那么()若在内,则在上的图形是凹的;()若在内,则在上的图形是凸的.证明 情形(),设 设 记 ,则 ,由泰勒公式,知 (2-5) (2-6) (2-7)因此所以,在上的图形是凹的.情形(),若 ,则根据(2-7)式可推出.所以,在上的图形是凸的.2.6 求高阶导数在解题中经常会遇到这样一类问题,即已知函数,求解.一般地,由的较为复杂的形式导致求解困难.而如果从的已知泰勒展开式中求会很容易.定理6 若在的邻域内,已知的泰勒展开式 (2-8)则 证明 对(2-8)两端对分别求导后,将代入,得推论 若在的邻域I内已知的麦克劳林展开式 ,则.例11 求在处的阶导数 .解 由泰勒公式以及 故 2.7 计算行列式对于行列式值的求法,常用的是代数知识.现可从泰勒公式入手,若一个行列式可看作的函数(一般为的次多项式),记为,只要函数行列式函数的各阶导数较易计算,那么按泰勒公式在某点处展开就可以求得一些行列式的值,使得计算行列式值变得很便利.下面介绍如何利用泰勒公式来计算行列式得值,一般思路为()根据所求行列式的特点,构造相应的行列式函数;()把这个行列式函数按泰勒公式在某点处展开;()求出行列式函数的各阶导数值.例12 求阶行列式的值:.解 把行列式看做的函数,即 则 将在处按泰勒公式展开为这里 以下求行列式函数的各阶导数(根据行列式求导法则),有 类似地,有 ,由递推关系还可推出,则有 ,代入在的泰勒展开式 若 则 若 则 令 ,则当 时,;当 时,.2.8 证明中值定理泰勒公式法证明中值定理适用于函数具有二阶或二阶以上连续导数的命题.首先将函数在所需点处进行泰勒展开(一般根据右边表达式确定展开点),然后对泰勒余项进行适当处理(一般是利用介值定理),如下给出例题具体说明.例13 设在内二阶可导,证明存在使.分析 函数具有二阶或二阶以上连续导数的命题,联想到进行泰勒展开.首先将函数在所需点处进行泰勒展开;然后将分别代入泰勒展式,最后用达布定理处理余项.证明 将函数在点处进行泰勒展开,并代入得 上述两式左右相加,得例14 设函数在上具有连续的二阶导数,证明在内存在一点,使.分析 定积分的证明,应先作辅助函数,再按前面说明的步骤进行展开与处理并证明.证明 令 则 ,在点处的二阶泰勒公式为 其中 得 ,并分别代入上式,相减,得 其中 不妨设 则 由的连续性及介值定理,可知在之间至少存在一个,使 故 .例15 设函数在上具有三阶连续导数,且,以及,证明在内至少存在一点,使.证明 由麦克劳林公式,得 分别令 ,并将所得两式相减,得 由的连续性知,在上有最大值和最小值,则有 由连续函数得介值定理知,至少存在一点,使得 .例16 设在上二阶连续可微,其中,则在该区间上存在一个,使.证明 令 将在处展成二阶泰勒公式为 (2-9)令 ,则由(2-9),可得 (2-10)令 ,则由(2-9),可得 (2-11)(2-10)减(2-11),得令 ,又因 则有 因为在上连续,据介值定理知存在,使得 .所以 .2.9 近似计算与误差估计泰勒公式对已知的函数在给定点的附近用多项式近似表达所给函数的公式.例如:,等几个常用的基本初等函数在点的展开式,因此可以对其式在误差允许的范围内进行近似计算并进行误差估计.例17 计算.分析 把改写成,先计算,因此先求出函数的展开式.若展开到的一次项 这里 因为 , ,则所以 .有了上面的讨论,现在来估计误差. .如果要求误差不超过或,则上述近似公式已达到了要求;如果要求误差不超过,则不能使用上述公式了,还需要进一步把多展开几项.例如,展开到含有的二次项 再进一步算出,得 ,.因而如果要求误差不超过,则用作近似就行了,把算出的近似值乘上7就得到的近似值.一般地,如果预先给定一个精度的要求,例如要求误差不超过正数,则需要考虑不等式(上例中)为了达到上述要求,通常这样考虑:如果预先给定(上例中),则需要规定,使保证上述不等式成立,一般说来,越大,精确度越高,但计算也变得复杂(因为对应的多项式二次数也越高).通常在保证满足精确度的要求下,尽量把取小些;如果预先已经确定,即预先限定用多少次多项式作近似,则为了能达到所要求的精确度,需从上述不等式确定的适用范围.例18 求定积分的近似值.解 该被积函数的原函数不是初等函数,故用公式是无法求出其精确解的,而若用泰勒展开则能方便的求出其近似解.所以 因为 故 其中 .实际上,能够精确计算定积分的函数只是大量函数中很少的一部分.在实际计算定积分时大量采用的是近似计算的方法,而在这其中运用泰勒公式对某些函数的定积分进行近似计算不失为一种很好的方法.例19 求正弦曲线的弧长,并精确到.解 弧长 由于则如取上述写出的诸项近似表示弧长的值,则其误差为于是 .这样就得到了符合精度要求的结果.3 结束语 泰勒公式是微积分中一个重要内容,其核心是用简单的多项式高精度地逼近一些复杂的函数,从而便于函数的研究.
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