例谈数学课程标准.ppt

例谈义务教育数学课程标准 （2011年版） 孙晓天 （中央民族大学） 2012年6月武汉 内容： 1. 重要变化 2. 例谈1：数学基本思想 3. 例谈2：运算能力 4. 思考与建议 基本精神基本精神 巩固与深化新一轮课程改革理念巩固与深化新一轮课程改革理念 重视创新精神和实践能力的培养重视创新精神和实践能力的培养 1.1.重要变化重要变化关键词关键词 之前： 数感 符号感 空间观念 统计观念 应用意识 推理能力 2011版： 数感 符号意识 运算能力 模型思想 空间观念 几何直观 推理能力 数据分析观念 应用意识 创新意识 1.1.重要变化重要变化目标目标从“双基”到“四基” u基础知识 u基本技能 “双基” u基础知识 u基本技能 u基本思想 u基本活动经验 “四基” 1.1.重要变化重要变化 目标从目标从“两两 能能”到到”四能四能” 增加了增加了“ “发现和提出问题的能力发现和提出问题的能力” ”。 1.1.重要变化重要变化提出了提出了学习习惯要学习习惯要 求求 明确指出使学生养成明确指出使学生养成 “ “认真勤奋、认真勤奋、 独立思考、合作交流、反思质疑等独立思考、合作交流、反思质疑等 学习习惯学习习惯”。 1.1.重要变化重要变化规范了课程目标的规范了课程目标的 行为动词行为动词 了解,理解,掌握,运用,经历,体验, 探索 第一学段删去概率的内容第一学段删去概率的内容; ; 第二学段删去关于第二学段删去关于“中位数、众数中位数、众数”的内容的内容 第三学段的第三学段的变化变化较为复杂较为复杂 1.1.重要变化重要变化“ “内容标准内容标准” ” 的修改的修改 思 考 “四基”是标准（2011版）最重大的进重大的进 展展 把思想、活动经验这些“软任务”提升为与“双 基”同等的“硬指标”，这将在观念转变、经验 积累、研究方式更新、资源建设等诸多方面 ，对数学课程发展产生新的、有力度的推动 。 万事开头难，有苗不愁长，对“四基”可能带 给数学课程改革的实质性进展，我们有理由 乐观。 2.例谈1:标准（2011）中的“ 数学基本思想” “思想”在哪里？ 在“理念”中： 数学课程内容不仅包括数学的结果， 也包括数学结果形成的过程和蕴含的数 学思想方法。 在“目标”中： u基础知识 u基本技能 “双基” u基础知识 u基本技能 u基本思想 u基本活动经验 “四基” 在“内容”中： 与”经历、体验、探索“相关，如： 经历从生活中抽象出数的过程 体验数据中蕴含的信息 探索现实问题中的数量关系 覆盖面很大 数学基本思想的涵义 （1）推进、支撑数学产生与发展的思想 （2）从数学学习中习得的思想、（1）在数 学学习过程中的“再发现“ 领域（科学、教育）不同，涵义相同 （1）的代表作：古今数学思想，科 学出版社 （2）的代表作：弗兰登塔尔作为教育 任务的数学，上海教育出版社；史宁中 数学思想概论东北师范大学出版社 数学基本思想的涵义 联合国教科文组织的刻画： 抽象从现实问题到数学问题的发展 推理从数学问题到数学对象、结论的 发展 模型多级抽象和推理的结果、对象、 结论的呈现形式 先后关联、起承转合、相互交织 关于推理含义的两个例子： 1923年，当时北洋政府颁布的小学算术课程纲要 中：“1.宜注意从学生生活里使学生发展需要工 具的动机。2.计算宜注重练习，以便养成正确而 迅速的习惯。3.问题以切合学生生活的为主，成 人的事务非学生所能想象的，虽是实用，也不相宜 。 4.方法、原理、宜用归纳的建 造，不宜用演绎的推广。” 这就是基本思想 2. 1940年当时国民政府颁布的小学算术科课程标准： “（二）一二学年计算的问题，要具体而有兴趣， 让儿童直观，第三学年以上也应使问题儿童生活化。（ 四）教学新的方法和原理应从实在的 需要出发，先使儿童从观察实测具体 的事实和计算日常生活中的问题，明 白方法的功用，然后用归纳法一步一 步的进行，切忌用演绎法推求。（五） 解决问题的计算法应从儿童的经验和常识之证验，不必多 用伦理的分析。” 这就是基本思想 推理的意义是什么？ “归纳地建造” 就是发现。这个七、八十年 前“归纳地建造”的提法，远比今天有关思想 、方法的一些复杂表述具体有效 “不宜用演绎的推展”“切忌用演绎法推求”， 听上去更是斩钉截铁，如此明确的态度，很 值得我们深思。 2. 数学基本思想的涵义 弗兰登塔尔： 数学化（=水平数学化+垂直数学化 ） 数学化： 从情景问题中发现数学问题 利用生活中积累的常识和已习得的知识 与方法，去寻求解决问题 在解决问题的过程中探索新的概念和方 法，进入未知的数学领域 一步步地实现数学的抽象化及形式化。 抽象、推理、模型都蕴涵其中 大体是两步走 （1）把现实问题转化为数学问题（水平 数学化） 确定情景问题中包含的数学成分 建立数学成分与已知的数学模型之间的联系 通过不同方法使这些数学成分形象化和公式化 找出蕴含其中的关系和规则 考虑相同数学成分在不同情景问题中的表现 作出形式化的表述 （抽象：从现实问题到数学问题的发展） (2)把数学问题转化为抽象的数学形式（ 垂直数学化） 用公式表示关系; 对有关规则做出必要推理; 尝试建立和使用不同的数学模型; 对得出的数学模型进行调整和加工; 综合不同数学模型的共性,形成功能更强的新模 型; 用数学公式和语言精确表述得到的新概念和新方 法; （推理：从数学问题到数学对象、结论的发展） 数学化 数 学 系 统（垂直数学化） 数学问题概念、方法 解 决 问 题 描 述 现实情景问题（水平数学化） 两个说法基本一致 抽象+推理+模型 =（ ？）数学 化 基本思想的特征 具有隐性知识的特性：所知比能言多 形式多样：诀窍、技巧、直觉、思维、 意识、约定俗成的默契；信念、价值取 向 载体的非技术性：大脑，环境，氛围， 内容不确定性：没有形成完整体系，不 能精确阐述 流通困难：灌输不进去，只能靠经历、 体验、探索、领悟、传递、转化 价值分析 （1）以基本思想为目标，使学生有可能通 过自己的发现习得新的数学知识内容，在 一个探究过程中，领悟数学概念和方法的 来龙去脉及用场。 （2）基本思想本身反映了数学作为“成 长载体”的教育价值，使那些可以普 遍迁移的、如兴趣、好奇心（洞察力 ）、质疑能力、探究能力、反思精神 、合作精神、创新精神的养成有可能 成为现实。 （3）有助于改变“只听不想、只学不 问、只知不识”的教学状态；促进 重新审视：“教什么？怎么教?教的 怎么样？学什么?怎么学？学的怎么 样？这些带有根本性的问题，为转 变教学模式、教学观念、教学行为 提供基本支点。 教学实现举例： 老师在黑板上写下算式 老师用书挡住： 让学生解释： 学生好像清楚了，发出“哦”的声音。 接下来大家一起讨论了“？= -2”的不可能性， 所以结论应当是： =2 老师又用书挡住： 问“？+6=2”，学生都清楚是-4+6=2。所以答案出来了： =-4 老师再次用书挡住x，显然有x= 时等式成立 于是问题解决了。 分析： 老师几乎没有用通常解方程的那些步骤和技 巧，连移项这样的基本手段都没有用，只是 不断的用书去“捂”。 捂住的是已知量和未知量之间的关系，发现 和建立这种关系所做的推理是解这一过程最 核心的部分。相比之下，技巧远没有一而再 、再而三的“捂”重要。 把握基本思想是“本”。 这里的求解不是“教”的结果，而是通过一个 过程由学生自己“经历、体验、探索”和领悟 的结果。 结论：明确了什么是数学基本思想有 助于 从把数学仅仅看成是供记忆复制的一套 程序转向思考、探索 从强调机械操练转向强调猜想、发现和 解决问题 从把数学看成一个孤立的概念和程序的 结合体转向把数学看成一个思想和应用 相互交织的整体 使强项适度、在弥补弱项上下功夫 建议： 注意思想的朴实、自然性 避免泛化、定义化 关注过程、“四基”一体 多想“为什么”，在心中有数的基础上 贯彻落实 3.例谈2：运算能力 质疑的声音不少（均引自文献）： 现在新的课程标准和新的教材对计算能 力的要求较以前减弱 最近几年学生的运算能力越来越差 引入计算器之后，很多学生对计算器有 了依赖，口算，笔算能力都有退化的迹 象。 中国学生的计算能力目前到底居于 一个什么样的水平？ 1.2009PISA 2.2010中日小学生数学学力对比 调研内容 试卷试卷A A：从：从“ “知识知识” ”层面考察学生，其中包括计算题和简层面考察学生，其中包括计算题和简 单常规问题，共单常规问题，共9 9大题（大题（1919小题）。小题）。 试卷试卷B B：从：从“ “灵活运用灵活运用” ”层面考察学生，题目均较贴实际层面考察学生，题目均较贴实际 生活，题型为选择题和问答题，选择题有单项和多项生活，题型为选择题和问答题，选择题有单项和多项 ，某些问答题需要学生写下自己的解答和思考过程。，某些问答题需要学生写下自己的解答和思考过程。 共共6 6大题（大题（1212小题）。小题）。 测试时间：试卷测试时间：试卷A A为为2020（25-3025-30）分钟、试卷）分钟、试卷B B为为4040 （25-3025-30）分钟。）分钟。 “ “知识知识” ”是指是指“ “不掌握就会对今后的学习内容产生影响不掌握就会对今后的学习内容产生影响” ”、“ “希望时常希望时常 能够灵活运用能够灵活运用” ”的知识、技能，就是的知识、技能，就是“ “学年相应的基础性知识学年相应的基础性知识” ”和和“ “为为 了培养生存能力的实践性知识了培养生存能力的实践性知识” ”。 “ “灵活运用灵活运用” ”是指是指“ “将知识、技能灵活运用到实际生活的各种各样的将知识、技能灵活运用到实际生活的各种各样的 场合的能力场合的能力” ”和和“ “为了解决各种各样的课题而建立构想、进行实践、为了解决各种各样的课题而建立构想、进行实践、 评价、改善的能力评价、改善的能力” ”。它不仅是获得知识，而是有效地运用自如的。它不仅是获得知识，而是有效地运用自如的 能力。能力。 中国与日本小学生数学学力比较结果中国与日本小学生数学学力比较结果 N极小值极大值均值标准差偏度 中国试卷A1940.499.685.00013.7639-1.980 日本试卷A1954.398.482.20513.0807-.791 N极小值极大值均值标准差偏度 中国试卷B1420.493.767.91419.7610-1.173 日本试卷B1418.291.063.37920.8857-.810 下表分别为试卷A和试卷B的各个描述统计量 结果分析： 在计算技能上，中国学生明显胜于日本 学生，这既反映了我国数学教学的传统 和优势，可能也反映出在我国数学教学 中对计算要求可能过高过严。另一方面 ，中国学生在掌握一些重要的数学概念 方面不如日本学生扎实，如第三大题的 第二小题关于数轴和刻度的概念的理解 与应用，中国学生表现出明显的差距。 结果分析： 中国学生数学阅读和数据处理的能力明显低 于日本，表明中国学生数学读图能力有待提 高。中国学生从统计图中获取、收集信息和 作出判断的能力较差，如试题B中第三题第2 题要求学生阅读条形统计图，知道从事渔业 的总人数的变化情况，写出从事渔业的总人 数是怎样变化的。中国学生比日本学生低了 20分。又如，第三题第3题，要求读百分比图 作出选择和判断，中国学生得分只有20分， 低于日本学生24分。 从以上实例看，中国学生计算能力远超 国际水平。 计算能力已经是我们的强项 仍在加强，如当前：我国的小学数学试 卷中，涉及计算内容的题目占85%以上 （1 李光元. 从口算入手提高学生的计算能力J. 小学 教学参考数学, 2007.5:28.） 什么是我们的弱项？ 孰强孰弱？ 直观、想象、运用经验、抽象是弱项， 提问题、想办法、主动探究更弱 直观、想象、经验、抽象、计算、演绎 缺一不可 在计算问题上“用力过度”的倾向应 当引起关注 如果我们有余力，应该在弥补弱项上下 功夫 当前：强项适度，弱项为要 就运算能力而言，则是训练适度，理解 为要 标准中的运算能力： “主要是指能够根据法则和运算律正确地进 行运算的能力。培养运算能力要有助于 学生理解运算的算理，寻求合理简洁的 运算途径解决问题。” 关键词：理解算理、寻找运算途径（算 法） 要关注对算理、算法的认知 要努力避免算理、算法的泛化，使 运算成为活生生的数学 何谓算理？ （注：我个人的理解，供参考） 小学的算理是指： 关于什么是运算以及如何运算的道理 大体可分为三个递进的层次： 1.什么是运算： 2.运算的总体规则 3.运算的具体规则 一 什么是运算 映射（AAA）； “俩得一个” 隐性的、最具成长性的算理 二.运算的总体规则 （具有支撑作用的算理） 进位制 相等、等式（及其性质） 算律（交换、结合、分配） 显性的、最具成长性的算理 三.运算的具体规则 （具有操作性的算理） 1.加法：a b：从a向前数到b 2.减法：a b：从a向后数到b 3.乘法：a b： a 个相同的b连加 4.除法：a b ： 从a里连减b 四则运算可执行的基本原理，一切“算 法”之本 除上述算理之外都是算法 何谓算法 基于算理，能“合理简洁”（巧、快、灵 、省）进行的运算途径（例如：“凑十 法”中的 “想大算小”；乘法口诀； 竖式；通分；） 以除法的竖式为例： 112836，如何基于算理寻找 合理简洁的运算途径？ 举例 36 1128 36010 768 360 10 408 360 10 48 36 1 更进一步 36 1128 36010 768 720 20 48 36 1 12 稍微调整一下就是通用的除法 竖式了 36 1128 108030 48 36 1 12 思考 算的“慢”、“笨”一点未必不好，是“数 ”（三声）和0、