高中数学 （学习目标+合作探究+反思感悟）21 数 列学案（pdf） 苏教版必修5.pdf

新新学案高中数学必修“ ! &! 学 习 札记 第 # 章 数!列 # !数 数! !列 列 学习目标 “!从函数的观点认识数列! #!知道数列的通项公式是关于项与它的序号之间的关 系的式子! $!能利用数列的通项公式求出数列的各项 情境创设 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研 究数学问题( 他们在沙滩上画点或用小石子来表示数!比如( 他们研究过“( $(“ *( .( 由于这些数都能够表示成三角形 * 如图#“+ ( 他们就将其称为三角形数( 类似地(“(1(%( “ ( .能够表示成正方形* 如图#“#+ ( 他们就将其称为正 方形数!实际上它们就是我们本节要学习的数列! （ ）（ ）（ ）（ ） 图#“ （ ）（ ）（ ）（ ） 图#“# 合作探究 探究一!数列的概念及表示方法 讨论! 数列“( $(&(和数列“(&($是否为同一数列) 探究! 虽然组成这两个数列的数均为相同的1个数( 但 由于排列顺序不同( 故不是同一数列! 提 升 总 结 数列的概念$ 按照一定次序排列的一列数称为数列# 数列中每个数都 叫做这个数列的项# 数列的一般形式可以写成 “# )# b# )# 简写成*b+ # 其中“称为*b+ 的第“项! 或称首项“ # #称为第#项# )#b称为第b项! 温 馨 提 示 !“ 判断两个数列是否为相同的数列# 主要 看顺序和项是否相同! !#“ 数列与数集的区别$ 数集是由数组成的集合# 并且集 合中的元素具有确定性& 互异性和无序性# 而数列中的数是 按一定次序排列的# 因此# 如果组成两个数列的数相同而排 列次序不同# 那么它们就是不同的数列!例如数列#1#2 和数列2# #1#是不同的数列# 而集合*#1#2+ 与集合 *2# #1#+ 表示同一集合! 另外# 在数列的定义中# 并没有规定数列中的项必须不 同# 因此# 同一个数在数列中是可以重复出现的! !$“ * b+ 与b的区别$ *b+ 与b是两个不同的概念# * b+ 表示数列“#$# )#b# )# 而b只表示数列*b+ 中 的第b项!数列的项是指出现在这个数列中的某一个确定的 数 b# 它是一个函数值# 即c!b“ # 而项数是指这个数在数列 中的位置序号# 它是这个函数值c!b“ 对应的自变量的值# 即b! 做一做! 写出数列的一个通项公式( 使它的前几项分别 是下列各数( 并分别作出它们的图象! *“+-“( “(-“(“(-“(“( ., *#+“(#($(1(&( ., *$+#( 1(2(“ *( ., *1+“($(&(%( ., *&+“( #(1(2(“ ( ., *+“(1(%(“ (# &( ., *(+“( “ # ( “ $ ( “ 1 ( “ & ( .! 探究! 我们用列表法分别给出这些数列的前&项! !次数b 组别! “#$1& *“+ -“-“-“ *#+ “#$1& *$+ #12“ * *1+ “$&(% *&+ “#12“ *+ “1%“ # & *(+ “ “ # “ $ “ 1 “ & !归纳可发现 *“+b&*-“+ b, * #+b&b, *$+b&#b, *1+ b&#b-“, *&+b&# b-“, * +b&b #, * (+b&“ b “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ ! 数!列第#章 ! ! 学!习 札记! 图象如图#“$所示! （ ）（ ） *$+*(+ 略 图#“$ 提 升 总 结 数列的表示方法$ !“ 列表法! 又称列举法“ # 即通过列举出数列的前几项 来表示的方法!其特点是$ 内容具体# 方法简单!常用于项数 较少的有穷数列的表示# 当数列的项数较多或是无穷数列 时# 通常要求所写出的项能反映数列的构成规律或与通项公 式法结合写出该数列的第b项# 否则该数列将不能确定! !#“ 图象法# 即通过作出数列的图象来表示数列的方法! 因为数列是一类特殊的函数# 所以可仿照函数图象的画法画 出数列的图形# 具体方法是以项数b为横坐标# 相应的项 b 为纵坐标# 即以! b#b“ 为坐标在平面直角坐标系中作出对应 的点# 所得的图形是一群离散的点!因为横坐标为正整数# 所 以这些点都在5轴的右侧# 而点的个数取决于数列的项数! 从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大的变化 而变化的趋势# 其缺点是不够精确! !$“ 通项公式法!正如有些函数可以用解析式来表示一 样# 数列也往往可以用一个公式来表示# 如果数列* b+ 的第 b项b与b之间的函数关系可以用一个公式来表示# 这个 公式就叫做这个数列的通项公式! 温 馨 提 示 对于数列通项公式的理解注意以下几点$ !“ 数列的通项公式实际是一个以正整数集*5或它的 有限子集*“# # )#7+ 为定义域的函数的表达式b&c!b“ # 故数列的图象是一些孤立的点! !#“ 如果知道了数列的通项公式# 那么依次用“#$# ) 去替代公式中的b就可以求出这个数列的各项% 同时# 用数 列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的一项! !$“ 像所有的函数关系不一定都有解析式一样# 并不是 所有的数列都有通项公式! 如槡 #的近似值# 精确到“#*! “#*! * “#*! * * “#*! * * *“# ) 所构成的数列“#“! 1#“! 1 “#“! 1 “ 1#“! 1 “ 1# )就没有通项 公式! !1“ 有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的# 例 如数列$-“# “#-“#“#-“#“# )可以写成b&!-“ b# 也可 以写成 b& -“#b为奇数# “#b为偶数 1 # 还可以写成 b&!-“ b2#等形 式!这些通项公式形式上虽然不同# 但都表示同一个数列! !&“ 有些数列# 只给出它的 前 几 项# 并 没 有 给 出 它 的 构成规律# 那么仅由前面几项归纳出的数列通 项公式并 不唯一! 例!根据下列给出的数列的前几项写出它的一个通 项公式( 使其前几项符合条件! *“+-#( (-“ #(# *( ., *#+$( 2(“ &(# 1( ., *$+“( $ # ( ( 1 ( “ & 2 ( ., *1+ “ # (-#( % # (-2( # & # ( ., *&+2(2 2(2 2 2(22 2 2( ., *+“$ “ *( 1$ # *( ($ 1 *( “ *$ 2 *( .! 分 析 通过观察& 分析寻找每一项与其项数的统一规律! 跟踪练习! 根据数列的前几项( 写出数列的一个通项公式! *“+-$( *($(%( ., *#+$(&(%(“ ($ $( ., *$+ “ # ( $ 1 ( ( 2 ( “ & “ ( $ “ $ #( ., *1+ # $ (-“( “ * ( (-“ ( % ( # “ “( -$ ( “ $( ., *&+*! %( *! % %(*! % % %(*! % % %( ., *+$( &($(&($(&( .! 跟踪练习#!,设数列1 b2 的通项公式为b&$b-$( 则 下列说法中正确命题的序号是! !此数列不可以用图象表示, “此数列的图象为直线5&$.-$, #此数列的图象只在第一象限, &此数列的图象为直线5& $.- $上满足.4* 5的点集 “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ ! 新新学案高中数学必修“ ! (! 学 习 札记 探究二!通项公式的应用 思考! 已知数列1 b2 的通项公式b&$b #-# 2 b! *“+ 写出数列的第1项和第项! *#+-1 %是否是该数列中的一项) 如果是( 是哪一项) 2是否是该数列中的一项呢) 探究! 由通项公式求第几项( 只需把几的值代入即可, 判 断一个数是不是数列的项( 代入通项公式( 解得b的值( 看是 否满足b4*5! 解! *“+ 1&$7“ 6# 2716 1( &$7$ 6# 276 *! *#+ 设$b #-# 2 b&-1 %( 解得b&(或b& ( $ * 舍去+! *b&( 即-1 %是该数列的第(项! 设$b #-# 2 b& 2( 解得b&$ 1 $ 或b&-#! 4 $ 1 $6* 5( -#6*5(* 2不是该数列的项! 提 升 总 结 判断某数值是否是数列中的项# 需假定它 是数列中的项# 列方程# 若方程的解为正整数# 则是数列 的一项% 若方 程 无 解 或 解 不 是 正 整 数# 则 不 是 该 数 列 的 一项! 例#!已 知 数 列 1b2 满 足“&d*d为 正 整 数+ ( b2“& b # ( b为偶数( $b2“(b为奇数 7 8 9! 若&“( 则d所有可能的取值 为! 跟踪练习$!,已知数列#(槡“ *( 1( .(#*$b-“ 槡 + ( .( 则2是该数列的第!项! ! 探究三!通项b与前b项和0b的关系 思考! 已知数列1 b2 的前b项和0b&$b #-# b( 求数列的 通项公式! 探究! 当b: #时( b&0b-0b- “&*$b #- # b+- $*b-“+ #2 #*b-“+&b-&, 当b&“时(“&0“&$6#“7“6&! 所以 b&b-&! 提 升 总 结 b与0b的关系! !“0b表示数列* b+ 的前b项和# 即0b&“2#2$2 )2 b-“2b! !#“ 在任何数列中# “&0“都成立! !$“ 当b:#时# b&0b-0b-“! !1“ 当b&“时# “也适合b&0b-0b-“的表达式# 就合 写# 否则应分段写成 b& 0“!b&“ # 0b-0b-“!b:#“ 1 ! 温 馨 提 示 由数列* b+ 的前b项和0b求*b+ 的通项公 式时容易漏掉b&“的情况# 这一点需要我们重视! !例$!已知下列各数列1b2 的前b项和0b的公式( 求 1 b2 的通项公式! *“+0b&*-“+ b2“ b, *#+ 0b&$ b-#, *$+ 0b&b # b*b:#+ (“&“! 跟踪 练 习%!,设0b为 数 列 1b2的 前b项 和( 0b&7 b #2 b(b4*5( 其中7是常数!求“及b! 反思感悟 “!知识结构 特殊函数! 11 * 1 1 1 1 1 1 1 数列 * 1 1 1 1 定义 *通项公式 * 1 1 1 1 1 1 图象表示 * 1 1 1 1 * 分类 * * * 11 项数 * 11 ! * 1 1 1 1 * ! * * * * * 1 1 1 1 项的大小 * 11 ! * 11 ! * 1 1 1 1 ! *! #!在探求数列的相邻项b和b-“的关系时( 要注意从 特例出发( 观察前几项“( #($( .的