高中数学解题中“转化与化归”思想的应用.doc

例谈“转化与化归”思想在高中数学解题中应用摘 要：化归与转化的思想方法是高中数学的一种非常重要的思想方法，掌握好化归与转化的思想方法的特点，对我们学习数学是非常有帮助的 本文从陌生与熟悉的转化、常量与变量的转化、正与反的相互转化、方程与函数的转化、数与形的转化、抽象与具体的转化，例谈化归与转化思想在高中数学应用中所涉及的基本类型的解题策略关键词：高中数学；转化与化归；解题“转化与化归”是一种重要的数学思想方法，通过问题的转化、归类就会使问题变得简单 虽然转化的方法有很多，但都遵循转化与化归的原则熟悉化原则、简单化原则、直观化原则、正难则反原则 化归与转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式学生在学数学时掌握好“转化与化归”等数学数学思想方法，会大大提高分析、处理和解决数学问题的能力 本文结合实例，例谈转化与化归思想在数学解题中的一些应用陌生与熟悉的转化例1 已知m1=，m2=，m3= 求证：m1+m2+m3=m1m2m3解析：原条件可化为m1=，m2=，m3=，令=tan，=tan，则m1=tan+，m2=tan+，m3=tan因为+=，所以tan+=tan，即= tan，整理得tan+tan+tan=tan+tan+tan，所以m1+m2+m3=m1m2m3成立点评：将陌生问题转化为熟悉的问题，以利于运用熟知的知识、经验和问题来解决，本题巧妙地将陌生的分式经过整理变形，转化为熟悉的两角和差正切公式来解决常量与变量的转化例2 对于满足0p4的一切实数，不等式x2+px4x+p3恒成立，试求x的取值范围解析：习惯上把x当做自变量，记函数y=x2+（p4）x+3p，于是问题转化为：当 p0，4时，y0 恒成立，求x的取值范围 解决这个等价的问题需应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的设函数f（p）=（x1）p+（x24x+3），显然x1，则f（p）是p的一次函数，要使f（p）0 恒成立，当且仅当f（0）0，且f（4）0时，解得x的取值范围是（-，1）（3，）点评：本题看上去是一个不等式问题，但经过等价转化，把它化归为关于p的一次函数，利用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色 在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定式的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的 但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解正与反的相互转化例3 已知函数f（x）=4x2ax+1在（0，1）内至少有一个零点，试求实数a的取值范围解析：至少有一个零点的情况比较复杂，而其反面为没有零点，比较容易处理（法一） 当函数f（x）=4x2ax+1在（0，1）内没有零点时?圳4x2ax+1=0在（0，1）内没有实数根，即在（0，1）内，a4x+ 而当x（0，1）时，4x+2=4，得4x+4，+） 要使a4x+，必有a0，故对称轴必须在y轴的右侧?摇（1）当0有=a2160，f（0）0?圯a4或a4，ar?圯a4或a4，此时4a5，此时有a8综合（1）（2）得实数a的取值范围是4，+）?摇点评：运用法二直接求解时，要有较强的数形结合能力、分类讨论能力和较强的洞察力（注意到f（0）=10），有一定的难度；若转为先考虑它的反面情形（法一），则解题目标与思路会变得更集中与明确 “正难则反”有时会给我们的解题带来意想不到的妙处方程与函数的转化例4 若关于x的方程cos2x+4asinx+a2=0在区间0，上有两个不同的解，则实数a的取值范围是_解析：cos2x+4asinx+a2=12sin2x+4asinx+a2=2sin2x+4asinx+a1令t=sinx，t0，1，则原题转化为方程2t2+4at+a1=0在0，1上有两个根令f（t）=2t2+4at+a1，由二次函数图象可知0，f（0）0，f（1）0，0点评：本题涉及多种转化，一是三角函数的异名化同名，三角函数转化为代数问题，二是方程的问题转化为函数的问题，经过转化题目就迎刃而解了 宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批的处理问题的效果数与形的转化例5 求函数f（x）=+的最小值解析：f（x）=+ =+图1设a（2，3），b（6，1），p（x，0），则上述问题转化为求pa+pb的最小值如图1，点a关于x轴的对称点为c（2，3），因为pa+pb=pc+pbbc=4，所以f（x）的最小值为4点评：本题如果直接对原式进行变形，其运算量是比较大的，效率当然也不高，但是将式子转化为这种点与点距离公式之后，它的几何意义就凸显出来了；然后再利用数形结合的方法，把代数问题转化为几何问题，这样的转化使题目变得简单多了抽象与具体的转化例6 设f（x）定义域在实数集r上，当x0时，f（x）1，且对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）f（y），同时f（1）=2，解不等式f（3xx2）4解析：由f（x+y）=f（x）f（y）中取x=y=0得f（0）=f（0）2 若f（0）=0，则令x0，y=0，f（x）=0与x0时，f（x）1矛盾 所以f（0）=1当x0时，f（x）10；当x0，f（x）10，而f（x）f（x）=1，所以f（x）=0 又因为f（0）=1，所以xr，f（x）0 设x1，x2r且x10，f（x2x1）1，f（x2）f（x1）=fx1+（x2x1）f（x1）=f（x1）f（x2x1）f（x1）= f（x1）f（x2x1）10，所以y=f（x）在r上为单调增函数 又因为f（1）=2，所以f（3xx2）f（1）f（1）=f（1+1）=f（2） 由f（x）的单调性可得3xx22，解得10，a1） 由f（2）=f（1+1）=f（1）f（1）=4，则将不等式化为f（3xx2）f（2），只需证明f（x）