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天水师范学院 高等数学实验 （Mathematica篇） 任课教师：高忠社 序 一、目前常见的数学软件分类 公共基础软件：Basic、Fortran、Turbo C、 Pascal等. 矩阵实验室系统：Matlab. 计算机代数系统：Mathematica、Maple等. 交互式数学软件：MatheCAD等. 二、部分数学软件各自的特点描述 Mathematica: 数值运算和解析运算可以非常地 精确. MathCAD: 可视化数学运算工具. Matlab: 数值计算十分快捷. MatematicaMaple: 符号运算更为有力. 第一章 Mathematica用法简介 Mathematica是美国Wolfram研究公司生产的 一种数学分析型软件。主要包括：数值计算、 符号计算、图形功能和程序设计4个方面的功 能，含有功能强大、种类丰富的内部函数，用 户也可以自由地定义自己的函数并扩充到系统 函数中。 Mathematica也是一个交互式的系统，其用 户界面为图形形式，使用起来很方便，且可以 很方便的与其它软件（如字处理软件等）交换 信息，图形处理也更直观、方便，使用更广 泛。下面主要以Mathematica5.0版本为基础来介 绍其基本使用方法。 1、Mathematica 基本操作 1.1 启动与退出 假设在Windows下已安装好Mathematica， 启动Windows后，在“开始”菜单的“程序”中单 击，就启动了Mathematica，在屏幕上显示如 下图的Notebook主窗口，系统暂时取名为 Untitled-1，直到用户保存时重新命名为止。 在主窗口中，可以开始输入命令进行计算工 作。需要注意的是：Mathematica的计算核心一 般不是进入系统后马上启动的，只有在给出了 确实的计算指令后才开启，因此Mathematica的 第一条命令的执行速度相对会慢一些。 退出Mathematica与其它Windows程序一样， 可以用Alt+F4、File-Exit或关闭按钮。 1.2 输入命令 进入Mathematica后，就可以输入命令。系 统解释并执行命令后，将把输入命令编号，前 面加上Innum:=的信息（”num”代表输入命令 的序号），输出结果前将加上提示符 Outnum=。 注意：输入命令并不是以回车符(Enter)结束， 可以一次输入多行命令。执行命令一般是 Shift+Enter或数字键盘中的Enter键。 1.3 NoteBook Mathematica中的输入输出都是在NoteBook中 进行的。每一次输入和输出作为单元(cell)出 现，所有的资料，包括文本和图形都被组成有 序的单元，通过定制，可以改变单元的字体、 大小、放大缩小图形，还可以利用鼠标单元右 部的标志线选择一个或一组单元，进行单元的 操作。退出Mathematica时会询问是否保存本次 工作。 1.4 复制和剪切 尽管Mathematica可以保存自己的工作， 但也可以将算出的结果保存到其它文件中， 或者将在其它文本编辑器中编辑的命令调到 Mathematica中执行。这些操作都可以通过 Windows剪贴板来完成。 1.5 使用以前的结果 任何时候都可以在输入表达式里写百分号”%” 表示上一次计算的结果。这样就可以方便的使 用前面的计算结果构造新的计算。 例如： In1:=x2+2x*y+5x*y2 In2:=%*(x2+y) 注：%表示倒数第二个计算结果； %n表示第n个计算结果。 1.6 使用联机求助系统 在使用Mathematica的过程中，常常需要了解 一个命令的详细用法，或者想知道是否有完成 某一任务的函数。此时就需要借助帮助系统来 实现。 运算区的查询 在运算区内输入相应的命令，可以查询内部 函数（操作）的有关信息。 常见输入方式有： ?Name: 给出有关Name的有关信息； ?Name: 给出有关Name的消息信息； ?L*: 给出以L开头的所有函数（操作）的全 名。 如：?Log语句将给出函数Logx的有关信息。 Windows格式的在线查询 在Mathematica的工作窗口中，通过File- Help Browser或Shift+F1可以激活Help Browser帮助系统。窗口如下图所示： p Help Browser中主要帮助信息解析： Build-in Funtion: 查询Mathematica的所有内部命令与 函数的使用方法； Add-ons: 查询Mathematica的函数库命令与函数的用 法； The Mathematica Book: Mathematica的完整手册； Getting Started/Demos: 初学者使用说明与范例； Other Information: 其它信息，包括Mathematica集 成环境介绍、数学表达式二维格式的输入方法等； Master Index:用索引的方法查询Mathematica关键词。 p 帮助系统使用说明： 选择搜索主题的类别之后，输入关键词，单 击GOTO按钮开始搜索主题，或者在最左边的 选项列表中选择搜索主题类别后，在逐渐缩小 查询范围，进行搜索。 如：查询Limit可以直接在Help Browser中输入 Limit，也可以选择Algebraic Computation- Calculus-Limit查询。 关于“;”的使用 Mathematica中规定“;”为其语句分隔符，当其后 不再有Mathematica语句时，其含义为要求系统不 再输出该语句的运算结果中Out后面的结果；若其 后还有其它语句时，则认为两语句为并列关系， 且最后一个语句的结果为它们顺序执行后的最终 结果。但由于绘图执行后，其图形在Out语句出现 前画出，因而图形给出，不再有Out语句后内容。 打开文件与打开程序包 主菜单中File-Open的用法与“Basic Input 工具栏，也可输入， 并 且使用工具栏可输入更复杂的数学表达式 。 如下图： 2、特殊字符的输入 Mathematica 还提供了用以输入各种特殊 符号的工具样。基本输入工具样包含了常用 的特殊字符（上图），只要单击这些字符按 钮即可输入。若要输入其它的特殊字符或运 算符号，必须使用从FILE菜单中选取 Complete Characters工具栏，如下图： 2.3 变量 1、变量的命名 Mathematica中内部函数和命令都是以大写字母 开始的标示符。为了不会与它门混淆，我们自 定义的变量应该是以小写字母开始，后跟数字 和字母的组合，长度不限。 如： a12,ast,aST都是合法的，而12a，z*a 是非法的。 另外，在Mathematica中变量是区分大小写的。 在Mathematica中，变量不仅可以存放一个数值 ，还可以存放表达式或复杂的算式。 2、给变量赋值 在Mathmatica中用等号“”为变量赋值。同 一个变量可以表示一个数值，一个数组，一 个表达式，甚至一个图形。 如： In1:=x=3 Out1=3 In2:=x2+2x Out2=15 In3:=x=%+1 Out3=16 对不同的变量可同时赋不同的值。例如： In4:=u,v,w=1,2,3 Out4=1,2,3 In5:=2u+3v+w Out5=11 对于已定义的变量，当你不再使用它时，为 防止变量值的混淆，可以随时用.清除它的 值，如果变量本身也要清除用函数Clearx。 例如： In6:=u=. In7:=2u+v Out7=2+2u 3、变量的替换 在给定一个表达式时，其中的变量可能取不 同的值，这时可用变量替换来计算表达式的不 同值。方法为用expr/var-c。例如： In1:=f=x/2+1 Out1= In2:=f/.x-1 Out2= In3:=f/.-4 Out3=3 如果表达式中有多个变量也可以同时替换， 方法为 expr/.var1-c1,varn-cn。 例如： In4:=(x+y)(x-y)2/.x-3,y-1-a Out4= 4、立即赋值和延迟赋值 在Mathematica中有两种不同的赋值方式，分别为： lhs=rhs和lhs:=rhs。 赋 值意 义 lhs=rhs立即赋值，赋值的同时计算rhs lhs:=rhs延迟赋值，当要求得到lhs时计算rhs 例：对下面两个赋值进行比较： exx_:=Expand(a+b*x)2; iexx_=Expand(a+b*x)2; In1:=exy+2 In2:=iexy+2 注：在定义函数时，“:=”和“=”都很有用，但一 定要注意它们具有不同的意义。一个经验规则 是：当想得到表达时的最终结果时，可用“=”； 当希望得到的是一个特殊的“命令”，最好用 “:=”。 如： kn_:=Sumi,i,1,n kn_=Sumi,i,1,n 在计算时当得到符号参数的结果，想继续利 用此计算结果得到参数的各个不同值时，选 择“=”更为合适。 如： In1:=DLogSinx2,x In1:=DLogSinx2,x Out1=2CotxLogSinx Out1=2CotxLogSinx In2:=dlogx_=%; In2:=dlogx_:=%; In3:=dlog1+a In3:=dlog1+a Out3=2Cot1+aLogSin1+a Out3=2CotxLogSinx 在用“=”和“:=”对变量进行赋值时，前者结 果立即被计算出来，而后者则保持没有被计 算时的形式。 如：In1:=rd1=Random Out1=0.327946 In2:=rd2:=Random （使用时才计算） In3:=rd1,rd2 Out3=0.327946,0.450938 In4:=rd1,rd2 Out4=o.327946,0.334043 在许多计算中，可能要对同一函数访问多次 ，在这种情况下，可以让Mathematica记住它 发现的所有函数值的方法来节省时间。 定义： fx_:=fx=rhs （定义一个能记住它发现的所有值的函数） 如：定义函数f，该函数存取它发现的所有值。 fx_:=fx=fx-1+fx-2 f0=f1=1 2.4 函数 1、系统函数 注：Mathematica中的函数与数学上的函数有些 不同的地方，Mathematica中函数是一个具有 独立功能的程序模块，可以直接被调用。同 时每一函数也可以包括一个，或多个参数， 也可以没有参数。参数的数据类型也比较复 杂。 2、函数的定义 函数的立即定义 立即定义函数的语法如下：fx_=expr。 函数名为f，自变量为x，expr是表达式。在 执行时会把expr 中的x都换为f的自变量x( 不是x_)。 函数的自变量具有局部性，只对所在的函 数起作用。函数执行结束后也就没有了，不 会改变其它全局定义的同名变量的值。 对于定义的函数我们可以求函数值，也可绘 制它的图形。 对于定义的函数我们可以使用命令Clearf 清除掉，而Removef则从系统中删除该函 数。 多变量函数的定义 格式为：fx_,y_,z_,=expr 自变量为x,y,z.,相应的expr中的自变量会 被替换。例如：定义函f(x,y)=xy+ycosx 延迟定义函数 延迟定义函数从定义方法上与即时定义的区 别为“=”与“：=”延迟定义的格式为fx_： =expr其它操作基本相同。那么延迟定义和 即时定义的主要区别是什么？即时定义函数 在输入函数后立即定义函数并存放在内存中 并可直接调用。延时定义只是在调用函数时 才真正定义函数。 使用条件运算符定义和If命令定义函数 如果要定义如： 这样的分段函数应该如何定义，显然要根据x 的不同 值给出不同的表达式。一种办法是使用条件运算符， 基本格式为fx_:=expr/;condition 当condition条件满足时才把expr赋给f。 如： If语句的格式为If条件，值1，值2如果条件 成立取“值1”，否则取“值2”。如： 2.5 表 将一些相互关联的元素放在一起，使它们成 为一个整体。既可以对整体操作，也可以对整 体中的一个元素单独进行操作。在Mathematica 中这样的数据结构就称作表（List）。表主要 有两个用法：表a,b,c可以表示一个向量 ；表a,b,c,d可表示一个矩阵。 1、建表 在表中元素较少时，可以采取直接列表的方 式列出表中的元素，如1,2,3。 In1:=1,2,3 Out1=1,2,3 下面是符号表达式的列表 In2:=1+%x+x% Out2=1+2x,1+2x+x2,1+3x+x3 下面是对列表中的表达式对x求导 In3:=D%,x Out3=2,2+2x,3+2x In4:=%/.x-1 Out4=2,4,5 如果表中的元素较多时，可以用建表函数进行 建表，如下图： o Tablef,i,min,max,step 以step为步长给出f的数 值表，i由min变到max， o Tablef,min,max 给出f的数值表，I由min变到 max 步长为1 o Tablef,max 给出max个f的表 o Tablef,i,imin,imax,j,jmin,jmax,. 生成一 个多维表 o TableFormlist 以表格格式显示一个表 o Rangen 生成一个1,2,的列表 o Rangen1,n2,d 生成n1,n1+d,n1+d,.,n2 的列表 举例： In1:=Tablex*i,i,2,6 Out1=2x,3x,4x,5x,6x In2:=Tablex2,4 Out2=x2,x2,x2,x2 In3:=Range10 Out3=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 In4:=Range8,20,2 Out4=8,10,12,14,16,18,20 In5:=Table2i+j,i,1,3,j,3,5 Out5=5,6,7,7,8,9,9,10,11 5 6 7 In6:=%/TableForm Out6/TableForm= 7 8 9 9 10 11 2、表的元素的操作 当t表示一个表时，ti表示t中的第i个子 表。如果t=1,2,a,b那么t3表示“a”。 如： In1:=t=Tablei+2,ji,1,3,j,3,5 Out1=7,9,11,8,