高考数学 热点难点突破技巧 第10讲 数列不等式的证明方法1

第10讲 数列不等式的证明方法【知识要点】证明数列不等式常用的有数学归纳法、放缩法和分析法.一、数学归纳法一般地，证明一个与自然数有关的命题，有如下步骤：（1）证明当取第一个值时命题成立.对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当（，为自然数）时命题成立，证明当时命题也成立.综合（1）（2），对一切自然数（），命题都成立.二、放缩法证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法.放缩的技巧：添加或舍去一些项，如：将分子或分母放大或缩小，如：利用基本不等式等，如：三、分析法证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法.用分析法证明时，要注意格式，一般格式是“要证明，只需证明”.对于较难的题目，一般用分析法寻找思路，用综合法写出证明过程.【方法点评】方法一数学归纳法解题步骤一般按照数学归纳法的“两步一结论”步骤来证明.【例1】用数学归纳法证明:【证明】（1）当时， ， 命题成立.（2）假设当时， 成立当时，+当时命题成立. 所以对于任意都成立.【点评】（1）利用数学归纳法证明不等式时，关键在于第二步，证明这一步时，一定要利用前面的假设和已知条件. 否则是“伪数学归纳法”（2）利用数学归纳法证明时，为了利用前面的假设，所以在证明时，一般要配凑出时的结论，再运用.【反馈检测1】已知，（其中）（1）求及；（2）试比较与的大小，并说明理由方法二放缩法解题步骤一般放缩数列通项，得到一个不等式通项，再求和. 或先求和再放缩求和的结果.【例2】已知函数（1）当时，求函数在上的极值；（2）证明：当时，；（3）证明： .【解析】（1）当 变化如下表+0-0+极大值极小值， （2）令 则 上为增函数. （3）由（2）知 ，令得， 【点评】(1)本题就是利用放缩法证明不等式，是高考的难点和重点.(2)利用放缩法证明不等式，有时需要先放缩通项，得到一个不等式通项，再求和. 有时是需要先求和再放缩求和的结果，本题两种放缩都用上了.(3)放缩要得当，所以放的度很重要，有时需要把每一项都放缩，有时需要把前面两项不放缩，后面的都放缩，有时需要把后面的项不放缩，所以要灵活调整，以达到证明的目的【反馈检测2】已知数列满足（1）求及通项公式；（2）求证：【反馈检测3】将正整数按如图的规律排列，把第一行数1，2，5，10，17， 记为数列，第一列数1，4，9，16，25， 记为数列 （1）写出数列，的通项公式；（2）若数列，的前n项和分别为，用数学归纳法证明：；（3）当时，证明：【反馈检测4】已知函数（1）当时，比较与1的大小；（2）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（3）求证：对于一切正整数，都有.【反馈检测5】已知函数.（1）讨论的单调性与极值点；（2）若，证明：当时，的图象恒在的图象上方；（3）证明：.方法三分析法解题步骤从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件.【例3】已知函数是奇函数，且图像在点 处的切线斜率为3（为自然对数的底数）（1）求实数、的值；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；（3）当时，证明：【解析】（1）是奇函数，所以，即 所以，从而 此时，. 依题意，所以. （2）当时，设，则 设，则，在上是增函数 （3）要证，即要证即证， 设， . 则设，则，在上为增函数，从而，在上为增函数因为，所以，所以 【点评】本题的第3问，由于结论比较复杂，一下子看不出证明的方向，所以要采用分析法来证明.【反馈检测6】已知函数.（1）当时，试确定函数在其定义域内的单调性；（2）求函数在上的最小值；（3）试证明：. 高中数学热点难点突破技巧第10讲：数列不等式的证明方法参考答案【反馈检测1答案】（1），；（2）当或时，,当时，【反馈检测1详细解析】（1）取，则；取，则， 猜想：当时，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，时结论成立，假设当时结论成立，即，两边同乘以 得：时，. 即时结论也成立，当时， 成立. 综上得，当或时，；当时，【反馈检测2答案】（1）， ；（2）见解析.【反馈检测2详细解析】（1）解：时，有，解得 时，由得，两式相减得，解得， 满足，故 （2） 所以【反馈检测3答案】（1），；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 假设时等式成立，即，则时， ，时等式也成立 根据，都成立 （3）当时， 又 综上可知：成立 【反馈检测4答案】（1）或；（2）见解析. 【反馈检测4解析】（1）当时，其定义域为因为，所以在上是增函数.故当时，；当时，；当时，. 所以函数在上递增，在上递减，在上递增且的极大值为，极小值为又当时，；当时，因为函数仅有一个零点，所以函数的图象与直线仅有一个交点.所以或（3）方法一：根据（1）的结论知当时，即当时，即. 令，则有从而得， 故得即所以（3）方法二：用数学归纳法证明：当时，不等式左边，右边因为，所以，即时，不等式成立假设当时，不等式成立，即那么，当时， 由（1）的结论知，当时，即所以即即当时，不等式也成立综合知，对于一切正整数，都有【反馈检测5详细解析】（1），当时，在上恒成立，所以在单调递增，此时无极值点.当时，在上的变化情况如下表：1+-+递增极大值递减极小值递增由此表可知在和上单调递增，在上单调递减.为极大值点，为极小值点.（2）当时，令，当时，时，在上递减，在上递增，时，恒成立.即时，恒成立，当时，的图象恒在的图象上方.（3）由（2）知，即，令，则，不等式成立.【反馈检测6答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）；（3）见解析.（2），当时，此时函数在区间上单调递减，函数在处取得最小值，即；当时，令，当时，即当，此时函数在区间上单调递减，函数在处取得最小值，即；当，即当时，当，当时，此时函数在处取得极小值，亦即最小值，即，综上所述，； 由（1）知