高考八大高频考点例析教学案 北师大版选修2-2

第五章 数系的扩充与复数的引入高考八大高频考点例析对应学生用书P52归纳与类比考查方式归纳与类比是最常见的合情推理，是近几年高考的热点，归纳、类比推理大多数出现在填空题中，为中、低档题，突出了“小而巧”，主要考查类比、归纳推理能力备考指要1.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，归纳的特例越多，归纳出的共性就越可靠；类比推理是由特殊到特殊的推理，一般情况下，类比的相似性越多，类比得到的结论就越可靠2.解答此类问题，需要细心观察，寻找它们内在的关系，同时还要联系相关知识，合情推理得到的结论不一定正确.例1(陕西高考)观察下列等式1211222312223261222324210照此规律，第n个等式可为_解析观察规律可知，第n个式子为12223242(1)n1n2(1)n1.答案12223242(1)n1n2(1)n11类比“在平面直角坐标系中，圆心在原点、半径为r的圆的方程为x2y2r2”，猜想“在空间直角坐标系中，球心在原点、半径为r的球面的方程为_”解析：类比平面直角坐标系中圆的方程，从形式上易得空间直角坐标系中球面的方程为x2y2z2r2.答案：x2y2z2r22(湖北高考)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等显然2位回文数有9个：11,22,33，99.3位回文数有90个：101,111,121，191,202，999.则(1)4位回文数有_个；(2)2n1(nN)位回文数有_个解析：2位回文数有9个，4位回文数与3位回文数个数相等，都有91090个而每一个4位回文数都对应着10个5位回文数，故5位回文数有910101009个，可推出2n1(nN)位回文数有910n个答案：90910n3观察下列等式：(11)21(21)(22)2213(31)(32)(33)23135照此规律，第n个等式可为_解析：观察规律可知第n个等式可为：(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)答案：(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)直接证明与间接证明考查方式高考中直接证明主要考查立体几何中的平行与垂直、等差或等比数列、函数与不等式的证明等问题，题型多以解答题为主；高考直接考查反证法的题目并不多，但大多作为证明和判断一些命题的方法，隐含于试题中备考指要在备考中，要分清综合法、分析法和反证法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决问题的类型数学归纳法是证明与正整数有关的命题的方法，应用时要严格按照两个步骤论述.例2(陕西高考)设an是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列(1)求数列an的公比；(2)证明：对任意kN，Sk2，Sk，Sk1成等差数列解(1)设数列an的公比为q(q0，q1)，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3a5a4，即2a1q2a1q4a1q3，由a10，q0得q2q20，解得q12，q21(舍去)，所以q2.(2)证明：法一：对任意kN，Sk2Sk12Sk(Sk2Sk)(Sk1Sk)ak1ak2ak12ak1ak1(2)0，所以，对任意kN，Sk2，Sk，Sk1成等差数列法二：对任意kN，2Sk，Sk2Sk1，2Sk(Sk2Sk1)2(1qk)(2qk2qk1)(q2q2)0，因此，对任意kN，Sk2，Sk，Sk1成等差数列4用反证法证明命题“若a，bN，ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()Aa，b都能被5整除Ba，b都不能被5整除Ca不能被5整除Da，b中有一个不能被5整除解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即a，b都不能被5整除答案：B5如图，几何体ABCDEP中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA平面ABCD，PAEB，且PA2BE4.(1)证明：BD平面PEC；(2)若G为BC上的动点，求证：AEPG.证明：(1)连接AC交BD于点O，取PC的中点F，连接OF，EF.EBPA，且EBPA，又OFPA，且OFPA，EBOF，且EBOF，四边形EBOF为平行四边形，EFBD.又EF平面PEC，BD平面PEC，BD平面PEC.(2)连接BP，EBABAP90，EBABAP，PBABEA，PBABAEBEABAE90，PBAE.PA平面ABCD，PA平面APEB，平面ABCD平面APEB，BCAB，平面ABCD平面APEBAB，BC平面APEB，BCAE，AE平面PBC，G为BC上的动点，PG平面PBC，AEPG.6等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列解：(1)由已知得d2.故an2n1，Snn(n)(2)证明：由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bbpbr，即(q)2(p)(r)，(q2pr)(2qpr)0，p，q，rN，2pr，(pr)20.pr，与pr矛盾数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列7已知点Pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1(nN)，且点P1的坐标为(1，1)(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nN，点Pn都在(1)中的直线l上解：(1)由题意，有a11，b11，b2，a21，P2(，)直线l的方程为，即2xy1.(2)证明：当n1时，2a1b121(1)1成立假设nk(k1且kN)时，2akbk1成立则2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1，当nk1时，命题也成立由知，对于nN，都有2anbn1，即点Pn在直线l上.导数的几何意义及运算考查方式从近几年的高考试题分析，对该部分内容的考查，主要是利用导数的几何意义求切线方程，导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导；题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等左右，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识备考指要利用导数的几何意义求切线方程时，关键要搞清楚所给的点是不是切点，注意区分“在某点处的切线方程”与“过某点的切线方程”的区别导数的运算要熟练掌握基本函数的导数及导数的四则运算法则.例3(北京高考)设L为曲线C：y在点(1,0)处的切线(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方解(1)设f(x)，则f(x).所以f(1)1，即L的斜率为1.又L过点(1,0)，所以L的方程为yx1.(2)证明：令g(x)x1f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)0(x0，x1)g(x)满足g(1)0，且g(x)1f(x).当0x1时，x210，ln x0，所以g(x)0，故g(x)单调递减；当x1时，x210，ln x0，所以g(x)0，故g(x)单调递增所以，g(x)g(1)0(x0，x1)所以除切点之外，曲线C在直线L的下方8(新课标全国卷)已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是()A(，0B(，1C2,1 D.2,0解析：y|f(x)|的图像如图所示，yax为过原点的一条直线，当a0时，与y|f(x)|在y轴右侧总有交点，不合题意当a0时成立当a0时，有ka0，其中k是y|x22x|在原点处的切线斜率，显然k2，于是2a0)，所以f(x)1，所以f(1)2.答案：2利用导数研究函数的单调性考查方式利用导数研究函数的单调性是导数最重要的应用之一主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性，在高考命题中，三种类型均有可能出现，若以选择题或填空题的形式出现，难度则以中、低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主.备考指要利用导数研究函数的单调性，其方法是研究不等式f(x)0或f(x)0解的情况，应注意f(x)0不能恒成立在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来确定函数的单调区间特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“”连接 .例4(新课标全国卷)已知函数f(x)exln(xm)(1)设x0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m2时，证明f(x)0.解(1)f(x)ex.由x0是f(x)的极值点得f(0)0，所以m1.于是f(x)exln(x1)，定义域为(1，)，f(x)ex.函数f(x)ex在(1，)上单调递增且f(0)0，因此当x(1,0)时，f(x)0.所以f(x)在(1,0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2) 证明：当m2，x(m，)时，ln(xm)ln(x2)，故只需证明当m2时，f(x)0.当m2时，函数f(x)ex在(2，)上单调递增，又f(1)0，故f(x)0在(2，)上有唯一实根x0，且x0(1,0)当x(2，x0)时，f(x)0，从而当xx0时，f(x)取得最小值由f(x0)0得ex0，ln(x02)x0，故f(x)f(x0)x00.综上，当m2时，f(x)0.11(大纲版全国卷)若函数f(x)x2ax在是增函数，则a的取值范围是()A1,0 B1，)C0,3 D.3，)解析：f(x)2xa，因为函数在是增函数，所以f(x)0在上恒成立，即a2x在上恒成立设g(x)2x，g(x)2，令g(x)20，得x1，当x时，g(x)0，故g(x)maxg3，故选D.答案：D12判断函数f(x)exex在0，)上的单调性解：f(x)exex.当x0，)时，ex1，f(x)0，f(x)exex在0，)上为增加的13(新课标全国卷)设函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y4x2. (1)求a，b，c，d的值；(2)若x2时，f(x)kg(x)，求k的取值范围解：(1)由已知得f(0)2，g(0)2，f(0)4，g(0)4.而f(x)2xa，g(x)ex(cxdc)，故b2，d2，a4，dc4.从而a4，b2，c2，d2.(2)由(1)知，f(x)x24x2，g(x)2ex(x1)设函数F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2，则F(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1)由题设可得F(0)0，即k1.令F(x)0得x1ln k，x22.()若1ke2，则2x10，从而当x(2，x1)时，F(x)0；当x(x1，)时，F(x)0，即F(x)在(2，x1)上单调递减，在(x1，)上单调递增，故F(x)在2，)的最小值为F(x1)而F(x1)2x12x4x12x1(x12)0.故当x2时，F(x)0，即f(x)kg(x)恒成立()若ke2，则F(x)2e2(x2)(exe2)从而当x2时，F(x)0，即F(x)在(2，)上单调递增而F(2)0，故当x2时，F(x)0，即f(x)kg(x)恒成立()若ke2，则F(2)2ke222e2(ke2)0.从而当x2时，f(x)kg(x)不可能恒成立综上，k的取值范围是1，e2.利用导数研究函数的极值和最值考查方式利用导数研究函数的极值是高考对导数考查的一个重点内容，经常与函数单调性，函数图像的考查融合在一起，研究方程根的情况、不等式的证明等本部分内容是高考的重点和热点在高考试题中，既有选择题、填空题，也有解答题基本上是中档或中档偏难题目备考指要利用导数研究函数的极值和最值应明确求解步骤，求解时切记函数的定义域，正确区分最值与极值不同，函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值比较大小而最值是在整个区间上对函数值比较大小函数的极值可以有多个，但最值只能有一个，极值只能在区间内取得，而最值还可以在端点处取得，最值只要不在端点处，必是一个极值.例5(江苏高考)若函数yf(x)在xx0处取得极大值或极小值，则称x0为函数yf(x)的极值点已知a，b是实数，1和1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g(x)f(x)2，求g(x)的极值点解(1)由题设知f(x)3x22axb，且f(1)32ab0，f(1)32ab0，解得a0，b3.(2)由(1)知f(x)x33x.因为f(x)2(x1)2(x2)，所以g(x)0的根为x1x21，x32，于是函数g(x)的极值点只可能是1或2.当x2时，g(x)0；当2x0，故2是g(x)的极值点当2x1时，g(x)0，故1不是g(x)的极值点所以g(x)的极值点为2.例6(浙江高考)已知aR，函数f(x)x33x23ax3a3.(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当x0,2时，求|f(x)|的最大值解(1)由题意得f(x)3x26x3a，故f(1)3a3.又f(1)1，所以所求的切线方程为y(3a3)x3a4.(2)由于f(x)3(x1)23(a1)，0x2，故当a0时，有f(x)0，此时f(x)在0,2上单调递减，故|f(x)|maxmax|f(0)|，|f(2)|33a.当a1时，有f(x)0，此时f(x)在0,2上单调递增，故|f(x)|maxmax|f(0)|，|f(2)|3a1.当0a1时，设x11，x21，则0x1x20，f(x1)f(x2)4(1a)0.从而f(x1)|f(x2)|.所以|f(x)|maxmaxf(0)，|f(2)|，f(x1)()当0a|f(2)|.又f(x1)f(0)2(1a)(23a)0，故|f(x)|maxf(x1)12(1a).()当a1时，|f(2)|f(2)，且f(2)f(0)又f(x1)|f(2)|2(1a)(3a2)，所以当a|f(2)|.故|f(x)|maxf(x1)12(1a).当a0)，f(x)x5.令f(x)0，解得x12，x23.当0x3时，f(x)0，故f(x)在(0,2)，(3，)上为增函数；当2x3时，f(x)g(x).解：(1)f(x)xln x，f(x)1，当0x1时，f(x)0，此时f(x)单调递减；当1x0，此时f(x)单调递增f(x)的极小值为f(1)1.(2)证明：f(x)的极小值为1，即f(x)在(0，e上的最小值为1，f(x)min1.又g(x)，当0x0，g(x)在(0，e上单调递增g(x)maxg(e)，在(1)的条件下，f(x)g(x).导数在实际问题中的应用考查方式以实际问题为背景，考查导数在生活中的优化问题，是近年高考的热点，试题多以解答题形式出现，难度一般为中等偏难题目备考指要利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法：(1)首先把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系yf(x)，根据实际问题确定yf(x)的定义域；(2)求f(x)，令f(x)0，得出所有实数解；(3)比较函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值.例7(重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元根据题意得200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)由h0，且r0可得0r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8，即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大16水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，以i1ti表示第i月份(i1,2，12)根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为V(t)(1)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期问同一年内哪几个月份是枯水期？(2)求一年内该水库的量大蓄水量(取e2.7计算)解：(1)当0t10时，V(t)(t214t40)e500.解得t10.又0t10，故0t4.当10t12时，V(t)4(t10)(3t41)5050，化简得(t10)(3t41)0.解得10t.又10t12，故10t12.综上所述，得0t4或10t12.故知枯水期为1月、2月、3月、11月、12月共5个月(2)由(1)知V(t)的最大值只能在4,10内达到令V(t)0，解得t8(t2舍去)当t变化时，V(t)与V(t)的变化情况如下表：t(4,8)8(8,10)V(t)0V(t)极大值由上表可知，V(t)在t8时取得最大值V(8)8e250108.32(亿立方米)故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米.定积分的应用考查方式定积分及其应用是新课标中的新增内容，考纲对该部分知识点的要求均为“了解”，所以该部分不作为高考考查的重点，但在近年高考中时有出现，均以选择题或填空题的形式考查，题目较为简单，考查的重点是简单定积分的求解与曲边梯形面积的求解.备考指要定积分是解决求平面图形，特别是不规则图形的面积、变速直线运动的路程及变力做功等问题的强有力的工具求解时，要求我们熟练记忆定积分的几个常见公式；还要注意找出被积函数和积分上、下限.例8(湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5 B825lnC425ln 5 D.450ln 2(2)(江西高考)若S1x2dx，S2dx，S3exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()AS1S2S3 BS2S1S3CS2S3S1 D.S3S2S1解析(1)令v(t)0，得73t0，解得t4或t(舍去)，所以sv(t)d tdt7tt225ln(1t)744225ln 5425ln 5，故选C.(2)S1x3，S2ln xln 2ln e1，S3exe2e2.722.74.59，所以S2S10，T3.答案：318. (sin x2cos x)dx_.解析： (sin x2cos x)dx(cos x2sin x)1.答案：119由直线x0，x2与抛物线y24x围成的封闭区域的面积是_解析：由y24x得y，S2dx4dx4x2.答案：复数的概念与运算考查方式从近几年高考情况看，本章在高考中基本出现在选择题、填空题中，主要考查复数的相关概念及代数形式的四则运算，尤其是乘法、除法，难度很小，大部分在选择题的前几道题目中备考指要1.掌握复数的概念及分类复数问题实数化是解决复数问题的最基本的也是最重要的思想方法，依据是复数相等的充要条件2.复数的四则运算，尤其是复数的乘除运算，其中渗透着复数的模、共轭复数等概念，熟练掌握运算法则，是迅速求解的关键.例9(1)(新课标全国卷)()A1i B1iC1i D.1i(2)(山东高考)复数z满足(z3)(2i)5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为()A2i B2iC5i D.5i(3)(北京高考)在复平面内，复数(2i)2对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D.第四象限解析(1)1i.(2)因为(z3)(2i)5，所以z32i35i，所以5i.(3)(2i)244ii234i，对应的复平面内点坐标为(3，4)答案(1)B(2)D(3)D20(安徽高考)设i是虚数单位，若复数a(aR)是纯虚数，则a的值为()A3 B1C1 D.3解析：复数aa(a3)i为纯虚数，则a30，即a3.答案：D21已知i为虚数单位，a为实数，复数z(a2i)(1i)在复平面内对应的点为M，则“a1”是“点M在第四象限”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：由题意得，a1时，复数z(12i)(1i)3i，所以复数z对应的点在第四象限，若复数z(a2)(a2)i对应的点M在第四象限，则解得2a2，a1不一定成立答案：A22设z1i(i是虚数单位)，则复数_.解析：对于z2(1i)21i2i1i，故(1i)(1i)2.答案：2模块综合检测(时间：90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知复数z(1i)(23i)(i为虚数单位)，则z的共轭复数()A1iB1iC5i D.5i解析：z(1i)(23i)(23)(23)i5i，5i.答案：D2用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；假设直线AC，BD是共面直线则正确的序号顺序为()A BC D.解析：反证法的步骤是：反设归谬结论结合本题，故选B.答案：B3观察式子：1，1，1，则可归纳出一般结论为()A1B1C1D1答案：C4已知函数f(x)xsin xcos x，则f()A. B0C1 D.1解析：f(x)xsin xcos x，f(x)xcos x，fcos 0.故选B.答案：B5(新课标全国卷)下面是关于复数z的四个命题：p1：|z|2, p2：z22i，p3：z的共轭复数为1i, p4：z的虚部为1.其中的真命题为()Ap1，p3 Bp1，p2Cp2，p4 D.p3，p4解析：复数z1i，|z|，z2(1i)2(1i)22i，z的共轭复数为1i，z的虚部为1，综上可知p2，p4是真命题答案：C6已知函数yxln x，则这个函数的图像在点x1处的切线方程是()Ay2x2 By2x2Cyx1 D.yx1解析：当x1时，y0；yln x1，k1，所以切线方程为yx1.答案：C7(湖北高考)若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx0，则称f(x)，g(x)为区间1,1上的一组正交函数给出三组函数：f(x)sinx，g(x)cosx；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g(x)x2.其中为区间1,1上的正交函数的组数是()A0 B1C2 D.3解析：对于，sinxcosxdxsin xdx0，所以是一组正交函数；对于，(x1)(x1)dx (x21)dx0，所以不是一组正交函数；对于，xx2dxx3dx0，所以是一组正交函数选C.答案：C8已知函数f(x)(xR)满足f(2)3，且f(x)在R上的导数满足f(x)10，则不等式f(x2)x21的解为()A(，)B(，)C(，)(，)D(，)解析：令g(x)f(x)x，则g(x)f(x)10，g(x)在R上单调递减，f(x2)x21，f(x2)x21，即g(x2)1.又g(2)f(2)21，g(x2)2，即x或x.答案：C9如图，抛物线yx22x1与直线y1形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是()A1 B.C. D.2解析：由知或故所求面积S(x22x1)dx1 dxx.答案：B10两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类下图中实心点的个数5,9,14,20，被称为梯形数根据图形的构成，记第2 014个梯形数为a2 014，则a2 014()A2 0152 013 B2 0152 014C2 0151 008 D.2 0151 009解析：523a1,9234a2,1