高中数学 第四章 导数应用 2_2 最大值、最小值问题（二）学案 北师大版选修1-1

2.2最大值、最小值问题(二)学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题知识点生活中的优化问题1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为_2利用导数解决优化问题的实质是求函数最值3解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的_过程类型一几何中的最值问题命题角度1平面几何中的最值问题例1如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？反思与感悟平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值跟踪训练1如图所示，在二次函数f(x)4xx2的图像与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值命题角度2立体几何中的最值问题例2请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值反思与感悟(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程跟踪训练2把边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？类型二实际生活中的最值问题命题角度1利润最大问题例3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润收入成本；(2)利润每件产品的利润销售件数跟踪训练3某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0x21)的平方成正比已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？命题角度2费用(用材)最省问题例4为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值反思与感悟(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f(x)0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值跟踪训练4据统计，某种型号的汽车在匀速行驶时，每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为yx3x8(020，y25.两栏面积之和为2(x20)18 000，由此得y25.广告的面积Sxyx25x，S2525.令S0得x140，令S0得20x140.函数在(140，)上是增加的，在(20,140)上是减少的，S(x)的最小值为S(140)当x140时，y175.即当x140，y175时，S取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小跟踪训练1解设点B的坐标为(x,0)，且0x2，f(x)4xx2图像的对称轴为x2，点C的坐标为(4x,0)，|BC|42x，|BA|f(x)4xx2.矩形面积为y(42x)(4xx2)16x12x22x3，y1624x6x22(3x212x8)令y0，解得x2，0x2，x2.当0x0，函数是增加的；当2x2时，y0，函数是减少的，当x2时，矩形的面积有最大值.例2解(1)由题意知包装盒的底面边长为x cm，高为(30x) cm，所以包装盒侧面积为S4x(30x)8x(30x)8()28225，当且仅当x30x，即x15时，等号成立，所以若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x15.(2)包装盒容积V2x2(30x)2x360x2(0x0，得0x20；令V0，得20x30.所以当x20时，包装盒容积V取得最大值，此时包装盒的底面边长为20 cm，高为10 cm，包装盒的高与底面边长的比值为12.跟踪训练2解设箱底边长为x，则箱高为h(0xa)，箱子的容积为V(x)x2sin 60hax2x3(0x0；当x时，V(x)0，所以函数V(x)在xa处取得极大值，这个极大值就是函数V(x)的最大值，Va23a3.所以当箱子底边长为a时，箱子容积最大，最大容积为a3.例3解(1)因为当x5时，y11，所以1011，所以a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2,3x6.从而f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值42由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大跟踪训练3解(1)若商品降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件由已知条件，得k2224，解得k6.若记一个星期的商品销售利润为f(x)，则有f(x)(30x9)(4326x2)6x3126x2432x9 072，x0,21(2)由(1)知，f(x)18x2252x432，x0,21，令f(x)0，则x12，x212.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f(x)00f(x)9 072极小值极大值x12时，f(x)取得极大值f(0)9 072，f(12)11 664，定价为301218(元)，能使一个星期的商品销售利润最大例4解(1)由题设知每年能源消耗费用为C(x)，再由C(0)8，得k40，因此C(x)，而建造费用为C1(x)6x.因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f(x)6.令f(x)0，即6，解得x5(x舍去)，当0x5时，f(x)0；当5x0，故x5为f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.即当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元跟踪训练4解(1)当x40时，汽车从甲地到乙地行驶了2.5(小时)，要耗油2.517.5(升)，即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升(2)当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)x2(0x120)，h(x)(0x120)令h(x)0，得x80.当x(0,80)时，h(x)0，h(x)是增加的所以当x80时，h(x)取