高中数学 第二章 参数方程 2_4 一些常见曲线的参数方程学案 新人教b版选修4-4

2.4一些常见曲线的参数方程读教材填要点1摆线的概念一圆周沿一直线无滑动滚动时，圆周上的一定点的轨迹称为摆线，摆线又叫旋轮线2渐开线的概念把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆3圆的渐开线和摆线的参数方程(1)摆线的参数方程：.(2)圆的渐开线方程：.小问题大思维1摆线的参数方程中，字母a和参数t的几何意义是什么？提示：字母a是指定圆的半径，参数t是指圆滚动时转过的角度2渐开线方程中，字母a和参数t的几何意义是什么？提示：字母a是指基圆的半径，参数t是指OA和x轴正向所成的角(A是绳拉直时和圆的切点)求圆的摆线的参数方程例1已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程思路点拨本题考查圆的摆线的参数方程的求法解答本题需要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式，然后将相关数据代入即可精解详析令y0，可得a(1cos t)0，由于a0，即得cos t1，所以t2k(kZ)代入xa(tsin t)，得xa(2ksin 2k)又因为x2，所以a(2ksin 2k)2，即得a(kZ)又a0，所以a(kN)易知，当k1时，a取最大值为.代入即可得圆的摆线的参数方程为(t为参数)由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程要确定圆的半径，通常的做法有：根据圆的性质或参数方程(普通方程)确定其半径；利用待定系数法，将摆线上的已知点代入参数方程，从而确定半径1圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点O.圆上点M起始处沿顺时针已偏转角试求点M的轨迹方程解：xMrrcos()rsin()，yMrrsinr1cos()点M的参数方程为(为参数).求圆的渐开线的参数方程例2求半径为4的圆的渐开线的参数方程思路点拨本题考查圆的渐开线的参数方程的求法解答本题需要搞清圆的渐开线的参数方程的一般形式，然后将相关字母的取值代入即可精解详析以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量的方向为x轴正方向，建立坐标系设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OAAM.按渐开线定义，的长和线段AM的长相等记和x轴正向所夹的角为(以弧度为单位)，则|AM|4.作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线由三角和向量知识，得(4cos ，4sin )由几何知识知MAB，(4sin ，4cos )，得(4cos 4sin ，4sin 4cos )(4(cos sin )，4(sin cos )又(x，y)，所以有这就是所求圆的渐开线的参数方程解本题，关键是根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识，建立等式关系用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤：(1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y)(2)取定运动中产生的某一角度为参数(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式(4)用向量运算得到OM的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程2渐开线(0t2)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为_解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径a6，其方程为x2y236，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为2y236，整理可得1.这是一个焦点在x轴上的椭圆，其中c6，故焦点坐标为(6，0)和(6，0)答案：(6，0)，(6，0)渐开线与摆线的参数方程的应用例3设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上点的纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴思路点拨本题考查摆线的参数方程的求法及应用解答本题需要先分析题意，搞清M点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值精解详析轨迹曲线的参数方程为0t2.当t时，即x8时，y有最大值16.曲线的对称轴为x8.摆线的参数方程是三角函数的形式，可考虑其性质与三角函数的性质有类似的地方3已知圆C的参数方程是和直线l对应的普通方程是xy60.(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线满足什么关系？(2)写出平移后圆的摆线方程(3)求摆线和x轴的交点解：(1)圆C平移后圆心为O(0,0)，它到直线xy60的距离为d6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是(3)令y0，得66cos t0cos t1.所以t2k(kZ)代入x，得x12k(kZ)，即圆的摆线和x轴的交点为(12k，0)(kZ)对应学生用书P39一、选择题1关于渐开线和摆线的叙述，正确的是()A只有圆才有渐开线B渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C正方形也可以有渐开线D对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同解析：选C本题主要考查渐开线和摆线的基本概念不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同2.(t为参数)表示的是()A半径为5的圆的渐开线的参数方程B半径为5的圆的摆线的参数方程C直径为5的圆的渐开线的参数方程D直径为5的圆的摆线的参数方程解析：选B根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B正确3已知一个圆的参数方程为02，那么圆的摆线方程中参数取对应的点A与点B(，2)之间的距离为()A.1B.C. D.解析：选C根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为把代入参数方程中可得即A，|AB| .4已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为()A. B.C. D.解析：选A圆的摆线的参数方程为令a(1cos t)0，得t2k.代入xa(tsin t)得xa(2ksin 2k)又过(1,0)，a(2ksin 2k)1.a.又a0，kN*.二、填空题5给出圆的渐开线的参数方程根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是_；当参数取时，对应的曲线上的点的坐标是_解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为所以基圆半径r3.然后把代入方程，可得即所以当参数取时，对应的曲线上的点的坐标是.答案：36我们知道关于直线yx对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线关于直线yx对称的曲线的参数方程为_解析：关于直线yx对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于yx对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换答案：7在圆的摆线上有一点(，0)，那么在满足条件的摆线的参数方程，使圆的半径最大的摆线上，参数对应的点的坐标为_解析：首先根据摆线的参数方程(为参数)，把点(，0)代入可得cos 1，则sin 0，2k(kZ)，所以，r(kZ)，又r0，所以kN，当k1时r最大为，再把代入即可答案：8圆的渐开线上与t对应的点的直角坐标为_解析：对应点的直角坐标为x1，y1.t对应的点的直角坐标为.答案：三、解答题9当，时，求出圆的渐开线上的对应点A，B，并求出A，B的距离解：把，分别代入参数方程得和即A，B两点的坐标分别为，|AB| .10如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH的圆心依次按B，C，D，A循环，将它们依次相连接，求曲线AEFGH的长解：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2.所以曲线AEFGH的长是5.11如图，若点Q在半径AP上(或半径AP的延长线上)，当车轮滚动时，点Q的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ|或|AQ|，求点Q的轨迹的参数方程解：设Q(x，y)，P(x0，y0)若A(r，r)，则当|AQ|时，有代入点Q的轨迹的参数方程为当|AQ|时，有代入点Q的轨迹方程为对应学生用书P41对应学生用书P41参数方程的求法(1)建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为(x，y)；(2)选取适当的参数；(3)根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式；(4)证明这个参数方程就是所要求的曲线的方程例1过点P(2,0)作直线l与圆x2y21交于A，B两点，设A，B的中点为M，求M的轨迹的参数方程解设M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为xty2.由消去x得(1t2)y24ty30.y1y2，即y，xty22.由(4t)212(1t2)0得t23.M的轨迹的参数方程为t23.曲线的参数方程与普通方程的互化在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意x，y的取值范围在消参前后应该是一致的也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线例2参数方程化为普通方程为()Ax2y21Bx2y21去掉(0,1)点Cx2y21去掉(1,0)点Dx2y21去掉(1,0)点解析x2y2221，又x11，故选D.答案D例3已知参数方程t0.(1)若t为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？(2)若为常数，t为参数，方程所表示的曲线是什么？解(1)当t1时，由得sin ，由得cos .1.它表示中心在原点，长轴长为2|t|，短轴长为2|t|，焦点在x轴上的椭圆当t1时，y0，x2sin ，x2,2它表示在x轴上2,2的一段线段(2)当(kZ)时，由得t.由得t.平方相减得4，即1.它表示中心在原点，实轴长为4|sin |，虚轴长为4|cos |，焦点在x轴上的双曲线当k(kZ)时，x0，它表示y轴；当k(kZ)时，y0，x.t2(t0时)或t2(t0时)，|x|2.方程为y0(|x|2)它表示x轴上以(2,0)和(2,0)为端点的向左、向右的两条射线.直线与圆的参数方程求直线的参数方程，根据参数方程参数的几何意义，求直线上两点间的距离，求直线的倾斜角，判断两直线的位置关系；根据已知条件求圆的参数方程，根据圆的参数方程解决与圆有关的最值、位置关系等问题例4设曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的方程为x3y20，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为()A1B2C3 D4解析曲线C的标准方程为(x2)2(y1)29.它表示以(2，1)为圆心，3为半径的圆因为圆心(2，1)到直线x3y20的距离d，且3，故过圆心且与l平行的直线与圆相交的两点为满足题意的点答案B例5直线yx与圆心为D的圆02交于A，B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为()A. B.C. D.解析由已知得圆D：(x)2(y1)23，则圆心D到直线yx的距离等于，故cosADB，ADB，ADB.又ADBD，所以有DBA.而直线yx的倾斜角是，因此结合图形可知，在直线AD，BD中必有一条直线的倾斜角等于，另一条直线的倾斜角等于.因此AD，BD的倾斜角之和为2.答案C例6设直线l的参数方程为(t为参数，为倾斜角)，圆C的参数方程为(02)(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围解(1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，1)，所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率为k.(2)法一：由圆C的参数方程得圆C的圆心是C(1，1)，半径为2.由直线l的参数方程为(t为参数，为倾斜角)，知直线l的普通方程为y4k(x3)(斜率存在)，即kxy43k0.当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，即.即直线l的斜率的取值范围为.法二：将圆C的参数方程为化成普通方程为(x1)2(y1)24，将直线l的参数方程代入式，得t22(2cos 5sin )t250.当直线l与圆C交于两个不同的点时，方程有两个不相等的实数解，即4(2cos 5sin )21000，即20sin cos 21cos2，两边同除以cos2，由此解得tan ，即直线l的斜率的取值范围为.例7直线与圆x2y2a(a0)相交于A，B两点，设P(1,0)，且|PA|PB|12，求实数a的值解法一：直线参数方程可化为y(x1)联立方程消去y，得4x26x3a0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)(不妨设x10，x1x2，x1x2，.由解得a3.法二：将直线参数方程代入圆方程得t2t1a0.设方程两根为t1，t2，则14(1a)0a.t1t21，t1t21a.由参数t的几何意义知或.解得a3.圆锥曲线的参数方程能根据条件求椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，并利用圆锥曲线的参数方程解最值、直线与圆锥曲线的位置关系等问题例8已知点P(3,2)平分抛物线y24x的一条弦AB，求弦AB的长解设弦AB所在的直线方程为(t为参数)代入方程y24x整理得t2sin24(sin cos )t80.点P(3,2)是弦AB的中点，由参数t的几何意义可知，方程的两个实根t1，t2满足关系t1t20.sin cos 00.|AB|t1t2|8.例9已知抛物线y22px(p0)，过顶点的两弦OAOB，求以OA，OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程解设A(2pt，2pt1)，B(2pt，2pt2)，则以OA为直径的圆的方程为x2y22ptx2pt1y0，以OB为直径的圆的方程为x2y22ptx2pt2y0.所以t1，t2为方程2pxt22pytx2y20的两个根由根与系数的关系，得t1t2.又OAOB，所以4p2tt4p2t1t20，即t1t20(舍)或t1t21.所以x2y22px0，即(xp)2y2p2.所以点Q的轨迹是以(p,0)为圆心，以p为半径的圆对应学生用书P43一、选择题1已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t，点O为原点，则直线OM的斜率为()A2 B2C. D.解析：选At，x1，y2，kOM2.2设r0，那么直线xcos ysin r(是常数)与圆02的位置关系是()A相交 B相切C相离 D视r的大小而定解析：选B心到直线的距离d|r|r，故相切3已知双曲线那么它的两条渐近线所成的锐角是()A30 B45C60 D75解析：选C由y21，两条渐近线的方程是yx，所以两条渐近线所夹的锐角是60.4若动点(x，y)在曲线1(b0)上变化，则x22y的最大值为()A. B.C.4 D2b解析：选A设动点的坐标为(2cos ，bsin )，代入x22y得x22y4cos22bsin24.当0b4时，(x22y)max4；当b4时，(x22y)max(2)242b.二、填空题5直线(t为参数)的倾斜角的大小为_解析：原参数方程变为(t为参数)，故直线的倾斜角为20.答案：20.6直线(t为参数)被圆x2y24截得的弦长为_解析：直线为xy10，圆心到直线的距离d，弦长d2 .答案：7圆的渐开线参数方程为(为参数)，则基圆的面积为_解析：易知，基圆半径为.面积为23.答案：38已知曲线(t为参数，p为正常数)上的两点M，N对应的参数分别为t1，t2，且t1