高中数学 第一章 立体几何初步 1_2_3 第5课时 线面垂直的综合应用学案 苏教版必修2

第5课时线面垂直的综合应用学习目标1.理解斜线在平面内的射影及与平面所成角的概念，会求简单的线面角.2.理解点到平面的距离的概念，会求简单的点面距离.3.线面平行与垂直的有关定理的综合运用.知识点一直线与平面所成的角思考直线与平面所成的角是如何定义的？取值范围是什么？梳理有关概念对应图形斜线一条直线与一个平面_，但不和这个平面_，图中_斜足斜线与平面的_，图中_射影过平面外一点P向平面引斜线和垂线，那么过_和_的直线就是斜线在平面内的正投影(简称射影)，线段_就是斜线段PA在平面内的射影直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，图中为_，规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是_；一条直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是_的角取值范围设直线与平面所成的角为，则_知识点二两种距离1.点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和_间的距离，叫做这个点到这个平面的距离.2.直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上_到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.类型一与线面角有关的问题例1已知BAC在平面内，P，PABPAC.求证：点P在平面内的射影在BAC的平分线上.反思与感悟(1)求直线和平面所成角的步骤寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.(2)在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口.跟踪训练1如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，C1HAB，证明：点H是C1在平面ABC内的射影.类型二直线与平面垂直的判定与性质的综合应用例2如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点.求证：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.反思与感悟证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直又可借助于线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.跟踪训练2如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACa，AA12a，D为棱B1B的中点.(1)证明：A1C1平面ACD；(2)求异面直线AC与A1D所成角的大小；(3)证明：直线A1D平面ADC.1.下列说法：平面的斜线与平面所成的角的取值范围是090；直线与平面所成的角的取值范围是090；若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等.其中正确的是_.(填序号)2.AB是平面的斜线段，其长为a，它在平面内的射影AB的长为b，则垂线AA的长为_.3.在长方体ABCDA1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MNBC于M，则MN与AB的位置关系为_.4.若长方体ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，则A1C1到底面ABCD的距离为_.5.如图所示，平面ABB1A1为圆柱OO1的轴截面，点C为底面圆周上异于A，B的任意一点.(1)求证：BC平面A1AC；(2)若D为AC的中点，求证：A1D平面O1BC.立体几何中经常遇到由一个点向一个平面引垂线的问题，垂线的位置是由这个点在平面内的射影来确定的，因此这个点的射影就是一个关键量，一般来说，可以直接由这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助一些常见结论进行确定，如：(1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上.(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在的直线.答案精析问题导学知识点一思考平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0的角直线与平面所成的角的取值范围是0，90梳理相交垂直直线PA交点点A斜足A垂足OOAPAO直角0090知识点二1垂足2.任意一点题型探究例1证明如图所示，作PO，PEAB，PFAC，垂足分别为O，E，F，连结OE，OF，OA.RtPAERtPAFAEAF.AB平面PEOABOE.同理，ACOF.在RtAOE和RtAOF中，AEAF，OAOA，所以RtAOERtAOF.于是EAOFAO，因此，点P在内的射影O在BAC的平分线上跟踪训练1证明连结AC1.BAC90，ABAC，又ACBC1，BC1ABB，AC平面ABC1.又C1H平面ABC1，ACC1H.又ABC1H，ABACA，C1H平面ABC，点H是C1在平面ABC上的射影例2证明(1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE. (2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知，AECD，又PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，又ABAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.跟踪训练2(1)证明在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACA1C1.又A1C1平面ACD，AC平面ACD，A1C1平面ACD.(2)解在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，A1AAC.又BAC90，ACAB.AA1ABA，AC平面A1ABB1，又A1D平面A1ABB1，ACA1D.异面直线AC与A1D所成的角为90.(3)证明A1B1D和ABD都为等腰直角三角形，A1DB1ADB45，A1DA90，即A1DAD.由(2)知，A1DAC，且ADACA，A1D平面ADC.当堂训练12.3.垂直4.解析依题可知B1AB60，A1C1平面ABCD，A1A平面ABCD，A1A即为A1C1到底面ABCD的距离由题意得A1AB1B.5证明(1)AB为O的直径，点C为O上的任意一点，BCAC.又在圆柱OO1中，AA1底面O，AA1BC，又AA1ACA，BC平面A1AC. (2)取BC的中点E，连结DE，O1E，D为AC的中点，在ABC中，DEAB，且DEAB，又在圆柱OO1中，A1O1AB，且A1O1AB，DEA1O