高中数学 第二章 函数 5 简单的幂函数（二）学案 北师大版必修1

5 简单的幂函数（二）学习目标1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题知识点一函数奇偶性的几何特征思考下列函数图像中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？梳理一般地，图像关于y轴对称的函数叫作_函数，图像关于原点对称的函数叫作_函数知识点二函数奇偶性的定义思考1为什么不直接用图像关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？思考2利用点对称来刻画图像对称有什么好处？梳理函数奇偶性的概念(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)就叫作偶函数其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x)关于y轴的对称点(x，f(x)也在f(x)图像上(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)就叫作奇函数其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x)关于原点的对称点(x，f(x)也在f(x)图像上(3)由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数x必须也在定义域内，所以判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称知识点三奇偶性与单调性思考观察偶函数yx2与奇函数y在(，0)和(0，)上的单调性，你有何猜想？梳理(1)若奇函数f(x)在a，b上是增函数，且有最大值M，则f(x)在b，a上是_函数，且有最小值_(2)若偶函数f(x)在(，0)上是减函数，则f(x)在(0，)上是_(3)知道了函数的奇偶性，我们可以先研究函数的一半，再利用对称性了解其另一半，从而减少工作量类型一判断函数的奇偶性例1判断并证明下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)(x1)(x1)；(3)f(x).反思与感悟利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则x也一定属于定义域跟踪训练1判断并证明下列函数的奇偶性：(1)f(x)(x2) ；(2)f(x)x|x|；(3)f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，试判断yf(x)g(x)，yf(x)g(x)，yfg(x)的奇偶性类型二奇偶性的应用例2定义在R上的奇函数f(x)在0，)上的图像如图所示(1)画出f(x)的图像；(2)解不等式xf(x)0.引申探究把例2中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题反思与感悟鉴于奇(偶)函数图像关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性跟踪训练2已知奇函数f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图像如图所示(1)画出在区间5,0上的图像；(2)写出使f(x)0时，f(x)x1，求当x0时，f(x)2xx2.求yf(x)的解析式例4设f(x)是偶函数，在区间a，b上是减函数，试证f(x)在区间b，a上是增函数反思与感悟与求解析式一样，证哪个区间上的单调性，设x1，x2属于哪个区间同样，求哪个区间上的最值，也设x属于哪个区间跟踪训练4已知偶函数f(x)在0，)上单调递减，f(2)0.若f(x1)0，则x的取值范围是_1下列函数为偶函数的是()Af(x)x1Bf(x)x2xCf(x)2x2xDf(x)2x2x2函数f(x)x(10时，f(x)x1，则x0时f(x)等于()Ax1 Bx1Cx1 Dx15定义在R上的偶函数f(x)在0，)上是增函数，若f(a)f(b)，则一定可得()AabC|a|b| D0ab01两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)为奇函数；如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)为偶函数2两个性质：函数为奇函数它的图像关于原点对称；函数为偶函数它的图像关于y轴对称3证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了4(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)f(x)，它能使自变量化归到0，)上，避免分类讨论5具有奇偶性的函数的单调性的特点：(1)奇函数在a，b和b，a上具有相同的单调性(2)偶函数在a，b和b，a上具有相反的单调性答案精析问题导学知识点一思考关于y轴对称，关于原点对称梳理偶奇知识点二思考1因为很多函数图像我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断思考2好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图像关于y轴(原点)对称，反之亦然(2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图像也能操作梳理(1)f(x)f(x)(2)f(x)f(x)知识点三思考偶函数yx2在(，0)和(0，)上的单调性相反；奇函数y在(，0)和(0，)上的单调性相同梳理(1)增M(2)增函数题型探究例1证明(1)因为函数的定义域为x|xR且x1，对于定义域内的1，其相反数1不在定义域内，故f(x)既非奇函数又非偶函数(2)函数的定义域为R，因为函数f(x)(x1)(x1)x21，又f(x)(x)21x21f(x)，所以函数为偶函数(3)函数的定义域为1,1，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)0，所以f(x)f(x)，故函数f(x)为偶函数又f(x)f(x)，故函数f(x)为奇函数即该函数既是奇函数又是偶函数跟踪训练1解(1)由0，得定义域为2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数(2)函数的定义域为R，因为f(x)(x)|x|x|x|f(x)，所以函数为奇函数(3)f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，yf(x)g(x)是奇函数f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，yf(x)g(x)是偶函数fg(x)fg(x)fg(x)，yfg(x)是奇函数例2解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(1，1)，(2,0)，连线可得f(x)的图像如图(2)xf(x)0即图像上横坐标、纵坐标同号结合图像可知，xf(x)0的解集是(2,0)(0,2)引申探究解(1)f(x)的图像如图所示：(2)xf(x)0的解集是(，2)(0,2)跟踪训练2解(1)如图，在0,5上的图像上选取5个关键点O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点O，A，B，C，D，再用光滑曲线连接即得(2)由(1)图可知，当且仅当x(2,0)(2,5)时，f(x)0.使f(x)0的x的取值集合为(2,0)(2,5)例3解设x0，f(x)(x)1x1，又函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(x)f(x)x1，当x0时，f(x)x1.跟踪训练3解设x0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)2(x)(x)22xx2.因为yf(x)是R上的奇函数，所以f(0)0.所以f(x)例4证明设x1，x2是区间b，a上任意两个值，且有x1x2.bx1x2a，ax2x1b.f(x)在a，b上是减函数，f(x2)f(x1)f(x)为偶函数，即f(x)f(x)，f(x2)f(x2)，f(x1)f(x1)f(x2)f(x1)，即f(x1)f(x2)函数f(x)在区间b，a上是增函数跟踪训练4(1,3)解析f(x)为偶函数，f(x1)f(|x1|)，又f(2)0，f(x