高中数学 第二章 推理与证明 2_2 直接证明与间接证明创新应用学案 新人教a版选修1-2

第1课时综合法和分析法核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P36P41的内容，回答下列问题(1)阅读教材P36“已知a，b0，求证a(b2c2)b(c2a2)4abc”的证明过程，思考下列问题：该题的条件和结论各是什么？提示：条件：a，b0；结论：a(b2c2)b(c2a2)4abc.本题的证明过程是从“已知条件”出发，还是从“要证明的结论”出发？即证明该题的顺序是什么？提示：本题是从已知条件a，b0出发，借助基本不等式证明待证结论的(2)阅读教材中证明基本不等式“(a0，b0)”的过程，回答下列问题：该证明过程是从“条件”还是从“结论”开始证明的？提示：从结论开始证明的该证明过程是综合法吗？提示：不是该证明过程的实质是寻找使结论成立的什么条件？提示：充分条件2归纳总结，核心必记(1)综合法综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法综合法的框图表示(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)(2)分析法分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明的方法叫做分析法分析法的框图表示问题思考(1)综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”(2)综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因(3)已知a，b，c为正实数，且abc1，求证：8.证明过程如下：a，b，c为正实数，且abc1.10，10，10，8，当且仅当abc时取等号，不等式成立这种证明方法是综合法还是分析法？提示：综合法课前反思(1)综合法的定义是什么？如何用框图表示综合法？；(2)分析法的定义是什么？如何用框图表示分析法？.讲一讲1设a，b，c均为正数，且abc1.证明：(1)abbcac；(2)1.尝试解答(1)由a2b22ab，b2c2 2bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.利用综合法证明问题的步骤(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的相互转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取练一练1已知xyzm.求证：x2y2z2.证明：xyzm，(xyz)2x2y2z22(xyyzzx)m2.又x2y22xy，y2z22yz，z2x22xz，2(x2y2z2)2(xyyzzx)，即x2y2z2xyyzzx，m2x2y2z22(xyyzzx)3(x2y2z2)x2y2z2.思考1分析法的证明过程是什么？名师指津：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理的过程，实际上是寻找使结论成立的充分条件思考2分析法的书写格式是什么？名师指津：分析法的书写格式是：“要证，只需证，只需证，由于显然成立(已知，已证)，所以原结论成立”其中的关联词语不能省略讲一讲2已知a0，求证： a2.尝试解答要证 a2.只需证 2a.因为a0，故只需证22，即a244a2222，从而只需证2，只需证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立 (1)当问题的证明用综合法不易寻找思路时，可从待证的结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条件，从而得原问题成立(2)含有根号、绝对值的等式或不等式的证明，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法(3)书写形式：要证，只需证，即证，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立练一练2当a2时，求证：.证明：要证，只需证，只需证()2()2，只需证a1a22aa12，只需证，只需证(a1)(a2)a(a1)，即证20，而20显然成立，所以成立讲一讲3已知a，b，c表示ABC的三边长，m0，求证：.先用分析法将要证明的不等式进行转化，然后利用综合法证明尝试解答要证明.只需证明0即可而.因为a0，b0，c0，m0，所以(am)(bm)(cm)0.因为a(bm)(cm)b(am)(cm)c(am)(bm)abcabmacmam2abcabmbcmbm2abcbcmacmcm22abmam2abcbm2cm22abmabc(abc)m2.因为ABC中任意两边之和大于第三边，所以abc0，所以(abc)m20，所以2abmabc(abc)m20，所以.对于比较复杂的证明题，常用分析综合法，即先从结论进行分析，寻求结论与条件之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或在证明过程中将两种方法交叉使用练一练3已知a、b、c是不全相等的正数，且0x1.求证：logxlogxlogxlogxalogxblogxc.证明：要证logxlogxlogxlogxalogxblogxc，只需要证明logxlogx(abc)，由0xabc.由基本不等式得0，0，0，又a，b，c是不全相等的正数，abc.即abc成立logxlogxlogxlogxalogxblogxc成立课堂归纳感悟提升1本节课的重点是综合法和分析法的应用，难点是分析综合法的应用2本节课要重点掌握的规律方法(1)利用综合法解决问题，见讲1；(2)利用分析法解决问题，见讲2；(3)利用分析综合法解决问题，见讲3.3在利用分析法证明问题时，一定要恰当使用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语，这也是本节课的易错点课下能力提升(五)学业水平达标练题组1综合法的应用1在ABC中，若sin Asin Bcos Acos B，则ABC一定是()A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形 D等边三角形解析：选C由sin Asin Bcos Acos B得cos Acos Bsin Asin B0，即cos(AB)0，cos C0，cos C0，从而角C必为钝角，ABC一定为钝角三角形2使不等式1成立的正整数a的最大值是()A13 B12 C11 D10解析：选B由1得a(1)2.而(1)23812221242412.68.因此使不等式成立的正整数a的最大值为12.3在锐角ABC中，已知3b2asin B，且cos Bcos C，求证：ABC是等边三角形证明：ABC为锐角三角形，A，B，C，由正弦定理及条件，可得3sin B2sin Asin B.B，sin B0.32sin Asin A.A，A.又cos Bcos C，且B，C.BC.又BC，ABC.从而ABC是等边三角形题组2分析法的应用4. 0 Bab0且abCab0且ab Dab(ba)0解析：选D ，()3()3，ab33ab， ，ab2a2b，ab(ba)1)，证明方程f(x)0没有负实根尝试解答假设方程f(x)0有负实根x0，则x00且x01且ax0，由0ax0101，解得x02，这与x0180，这与三角形内角和为180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设ABC中有两个直角，不妨设A90，B90.上述步骤的正确顺序为_答案：3等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列解：(1)设公差为d，由已知得解得d2，故an2n1，Snn(n)(2)证明：由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bbpbr，即(q)2(p)(r)，所以(q2pr)(2qpr)0.又p，q，rN*，所以所以2pr.(pr)20，所以pr，这与pr矛盾所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列题组2用反证法证明“至多”、“至少”型命题4用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，假设正确的是()A假设三内角都不大于60B假设三内角都大于60C假设三内角至少有一个大于60D假设三内角至多有两个大于60解析：选B“至少有一个”即“全部中最少有一个”5设实数a、b、c满足abc1，则a、b、c中至少有一个数不小于_解析：假设a、b、c都小于，则abc1与abc1矛盾故a、b、c中至少有一个不小于.答案：6若x0，y0，且xy2，求证：与中至少有一个小于2.解：假设与都不小于2，即2，2.又x0，y0，1x2y,1y2x.两式相加得2xy2(xy)，即xy2.这与已知xy2矛盾所以假设不成立，所以与中至少有一个小于2.题组3用反证法证明“唯一性”命题7用反证法证明命题“关于x的方程axb(a0)有且只有一个解”时，反设是关于x的方程axb(a0)()A无解 B有两解C至少有两解 D无解或至少有两解解析：选D“唯一”的否定上“至少两解或无解”8“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()Aa，b，c都是奇数Ba，b，c都是偶数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析：选D自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数9求证：两条相交直线有且只有一个交点证明：因为两直线为相交直线，故至少有一个交点，假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾综上所述，两条相交直线有且只有一个交点能力提升综合练1用反证法证明命题“a，bN，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是()Aa，b都能被5整除 Ba，b都不能被5整除Ca不能被5整除 Da，b有1个不能被5整除解析：选B用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B正确2有以下结论：已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知a，bR，|a|b|2.故的假设是错误的，而的假设是正确的3设a、b、c都是正数，则三个数a，b，c()A都大于2 B至少有一个大于2C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2解析：选D因为a、b、c都是正数，则有6.故三个数中至少有一个不小于2.4已知数列an，bn的通项公式分别为anan2，bnbn1(a，b是常数)，且ab，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有()A0个 B1个 C2个 D无穷多个解析：选A假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得anbn，由题意ab，nN*，则恒有anbn，从而an2bn1恒成立，不存在n使得anbn.5已知平面平面直线a，直线b，直线c，baA，ca，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设_解析：空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，应假设b与c平行或相交答案：b与c平行或相交6完成反证法证题的全过程题目：设a1，a2，a7是1,2，7的一个排列，求证：乘积p(a11)(a22)(a77)为偶数证明：假设p为奇数，则_均为奇数因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数_0.这与0为偶数矛盾，说明p为偶数解析：证明过程应为：假设p为奇数，则有a11，a22，a77均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，故有奇数(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)0.这与0为偶数矛盾，说明p为偶数答案：a11，a22，a77(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)7设a，b是异面直线，在a上任取两点A1，A2，在b上任取两点B1，B2，试证：A1B1与A2B2也是异面直线证明：假设A1B1与A2B2不是异面直线，则A1B1与A2B2可以确定一个平面，点A1，A2，B1，B2都在平面内，于是A1A2，B1B2，即a，b，这与已知a，b是异面直线矛盾，所以假设错误所以A1B1与A