高中数学 第二章 平面解析几何初步章末复习课学案 新人教b版必修2

第二章 平面解析几何初步学习目标1.熟练掌握直线方程的四种形式，并会判断两直线的位置关系.2.会运用两点间距离、点到直线的距离及两平行线间的距离公式解决一些实际问题.3.理解圆的标准方程和一般方程，熟练掌握直线与圆的位置关系的相关应用1直线倾斜角的范围直线倾斜角的范围是0180.2写出直线的斜率公式(1)直线l的倾斜角满足a90，则直线斜率k_.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l上两点，且x1x2，则直线l的斜率为k_.3直线方程的几种形式(1)点斜式：_.(2)斜截式：_.(3)两点式：_(x1x2，y1y2)(4)截距式：_(a0，b0)(5)一般式：_.4两直线平行与垂直的条件直线方程l1：yk1xb1，l2：yk2xb2l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20平行的等价条件l1l2k1k2且b1b2l1l2垂直的等价条件l1l2k1k21l1l2A1A2B1B20由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线方程5距离问题类型已知条件公式两点间的距离A(x1，y1)，B(x2，y2)d点到直线的距离P(x0，y0)l：AxByC0d两条平行直线间的距离l1：AxByC10，l2：AxByC20(A，B不同时为0)d6.平行直线系和垂直直线系(1)与直线AxByC0平行的直线方程为AxBym0(mC)(2)与直线AxByC0垂直的直线方程为BxAyn0.7圆的方程(1)圆的标准方程：_.(2)圆的一般方程：_.8直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则(1)l与圆C相离_.(2)l与圆C相切_.(3)l与圆C相交_.9圆与圆的位置关系设O1的半径为r1，O2的半径为r2，两圆的圆心距为d.当|r1r2|dr1r2时，两圆相交；当r1r2d时，两圆外切；当|r1r2|d时，两圆内切；当r1r2d时，两圆外离；当|r1r2|d，两圆内含10空间直角坐标系空间两点间距离公式：设空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，两点的距离公式是d(A，B)|AB|_.特别提醒：(1)计算直线被圆截得的弦长的常用方法几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算代数方法运用根与系数的关系及弦长公式|AB|xAxB|.注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法(2)对称问题点关于点的对称：求点P关于点M(a，b)的对称点Q的问题，主要依据M是线段PQ的中点，即xPxQ2a，yPyQ2b.直线关于点的对称：求直线l关于点M(m，n)的对称直线l的问题，主要依据l上的任一点T(x，y)关于M(m，n)的对称点T(2mx,2ny)必在l上点关于直线的对称：求已知点A(m，n)关于已知直线l：ykxb的对称点A(x0，y0)的一般方法是依据l是线段AA的垂直平分线，列出关于x0，y0的方程组，由“垂直”得一方程，由“平分”得一方程，即直线关于直线的对称：求直线l关于直线g的对称直线l，主要依据l上任一点M关于直线g的对称点必在l上类型一两直线的位置关系例1已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值(1)l1l2，且l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等反思与感悟已知两直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20(1)对于l1l2的问题，先由A1B2A2B10解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l1和l2是否重合，若重合，舍去(2)对于l1l2的问题，由A1A2B1B20解出字母的值即可跟踪训练1已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)当l1l2时，求a的值类型二直线的方程例2过点P(1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程反思与感悟求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方程，常用以下两种方法求解：(1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果；(2)待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程跟踪训练2已知经过点A(2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，1)和点Q(a，2a)的直线l2互相垂直，求实数a的值类型三圆的方程例3已知圆经过点A(2，1)，圆心在直线2xy0上，且与直线xy10相切，求圆的方程反思与感悟(1)求圆的方程的方法求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题(2)采用待定系数法求圆的方程的一般步骤选择圆的方程的某一形式由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)解出a，b，r(或D，E，F)代入圆的方程跟踪训练3在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点坐标分别为A(3,0)，B(2,0)，C(0，4)，经过这三个点的圆记为M.(1)求BC边的中线AD所在直线的一般式方程；(2)求圆M的方程类型四直线与圆的位置关系例4已知点M(3,1)，直线axy40及圆(x1)2(y2)24.(1)求过点M的圆的切线方程；(2)若直线axy40与圆相切，求a的值；(3)若直线axy40与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值反思与感悟直线与圆位置关系的判断方法主要有代数法和几何法一般常用几何法，而不用代数法因为代数法计算复杂，书写量大，易出错，而几何法较简单跟踪训练4与直线xy20和曲线x2y212x12y540都相切的半径最小的圆的标准方程是_类型五数形结合思想的应用例5设点P(x，y)在圆x2(y1)21上(1)求的最小值；(2)求的最小值反思与感悟(1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题跟踪训练5当曲线y1与直线yk(x2)4有两个相异交点时，实数k的取值范围是()A. B.C. D.1经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则实数m的取值范围是()Am1 Bm1C1m1 Dm1或m12以点(3,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是()A(x3)2(y4)216B(x3)2(y4)216C(x3)2(y4)29D(x3)2(y4)293直线l：xy10关于y轴对称的直线方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy104若直线mx(m2)y20与3xmy10互相垂直，则点(m,1)到y轴的距离为_5已知直线xmy30和圆x2y26x50.(1)当直线与圆相切时，求实数m的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长为时，求实数m的值1求直线的方程时需要充分利用平面几何知识，主要求解方法有数形结合法、待定系数法、轨迹法等在求解时，一定要注意直线方程的各种形式的局限性平行与垂直是平面内两条直线特殊的位置关系高考一般考查平行或垂直的判断、平行或垂直条件的应用2在求解圆的有关问题时，常使用几何法常使用的圆的几何性质如下：(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理(3)与直径有关的几何性质：直径是圆最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角答案精析知识梳理2(1)tan (2)3(1)yy0k(xx0)(2)ykxb(3)(4)1(5)AxByC07(1)(xa)2(yb)2r2(2)x2y2DxEyF0(D2E24F0)8(1)dr(2)dr(3)dr10.题型探究例1解(1)l1l2，a(a1)b0.又l1过点(3，1)，3ab40.由，得(2)l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率也存在，k1k2，即1a.坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即(b)联立，解得或经检验此时的l1与l2不重合，故所求值为或跟踪训练1解(1)若l1l2，则a1，当a1时，l1l2.(2)当直线l2的斜率不存在时，a1.则l2：x0，l1：x2y60.显然l1与l2不垂直，当直线l2斜率存在时，a1.则k2，k1.l1l2，k1k21.a.例2解(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x1，x0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，符合题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为yk(x1)，y2kx.令y0，得x1，x.由题意，得|1|1，即k1.两条直线的方程分别为yx1，yx2，即为xy10，xy20.综上可知，所求的直线方程为x1，x0或xy10，xy20.跟踪训练2解l1的斜率k1a，当a0时，l2的斜率k2.l1l2，k1k21，即a1，得a1.当a0时，P(0，1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(2,0)、B(1,0)，这时直线l1为x轴，显然l1l2.综上可知，实数a的值为1或0.例3解设圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)圆心在直线2xy0上，b2a，即圆心为C(a，2a)又圆与直线xy10相切，且过点(2，1)，r，(2a)2(12a)2r2，即(3a1)22(2a)2(12a)2，解得a1或a9，或综上所述，所求圆的方程为(x1)2(y2)22或(x9)2(y18)2338.跟踪训练3解(1)方法一由B(2,0)，C(0，4)知，BC的中点D的坐标为(1，2)又A(3,0)，所以直线AD的方程为，即中线AD所在直线的一般式方程为x2y30.方法二由题意，得|AB|AC|5，则ABC是等腰三角形，所以ADBC.因为直线BC的斜率kBC2，所以直线AD的斜率kAD，由直线的点斜式方程，得y0(x3)，所以直线AD的一般式方程为x2y30.(2)设圆M的方程为x2y2DxEyF0.将A(3,0)，B(2,0)，C(0，4)三点的坐标分别代入圆的方程，得解得所以圆M的方程是x2y2xy60.例4解(1)由题意知，圆心C(1,2)，半径为r2，当直线的斜率不存在时，方程为x3.由圆心C(1,2)到直线x3的距离d312r知，此时，直线与圆相切；当直线的斜率存在时，设方程为y1k(x3)，即kxy13k0.由题意知，2，解得k.直线方程为y1(x3)，即3x4y50.故过点M的圆的切线方程为x3或3x4y50.(2)由题意有2，解得a0或a.(3)圆心到直线axy40的距离为，224，解得a.跟踪训练4(x2)2(y2)22解析曲线可化为(x6)2(y6)218，其圆心到直线xy20的距离为d5，根据图示可知，所求的最小圆的圆心在直线yx上，其到直线xy20的距离为，所以圆心坐标为(2,2)故圆的标准方程为(x2)2(y2)22.例5解(1)式子的几何意义是圆上的点与定点(2,0)之间的距离因为圆心(0,1)与定点(2,0)的距离是，圆的半径是1，所以的最小值是1.(2)式子的几何意义是点P(x，y)与定点(1，2)连线的斜率如图，当切线为l1时，斜率最小设k，即kxyk20，由直线与圆相切，得1，解得k.故的最小值是.跟踪训练5C曲线y1是以(0,1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线yk(x2)4是过定点(2,4)的直线设切线PC的斜率为k0，则切线PC的方程为yk0(x2)4，圆心(0,1)到直线PC的距离等于半径2，即2，得k0.又直线PA的斜率为k1，所